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Universidad Abierta y a Distancia de México 
 
 
Algebra Moderna 1 
 
 
Unidad 1 
 
 
Actividad 3. Subgrupos. 
 
 
Alumno: Josué Samuel Priego Sanabria 
 
Doceavo Semestre 
 
 
1. Sea H un subconjunto del grupo G. Pruebe que H es subgrupo de G si y solo si H ≠ ∅ y 
para cualesquiera 𝑔1, 𝑔2 ∈ 𝐻, entonces 𝑔1𝑔2
−1 ∈ 𝐻. 
Para demostrar que un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G, debemos 
verificar dos condiciones: que H no sea vacío y que para cualquier par de elementos g_1 y 
g_2 de H, 𝑔1𝑔2
−1 también pertenezca a H. 
Primero, supongamos que H es un subgrupo de G. Entonces, por definición, H no 
puede ser vacío, ya que debe contener al elemento neutro de G. Si H fuera vacío, entonces 
H no podría ser un subgrupo de G. 
Además, si 𝑔1 y 𝑔2 son elementos de H, entonces 𝑔1𝑔2
−1 también pertenece a H, ya que 
H es cerrado bajo la operación de multiplicación y la inversión de elementos. En 
particular, como el elemento neutro de G está en H, entonces 𝑔1𝑔1
−1 = 𝑒 (el elemento 
neutro) está en H para cualquier elemento 𝑔1 de H. 
Por otro lado, supongamos que H no es vacío y que para cualquier par de elementos 𝑔1 
y 𝑔2 de H, 𝑔1𝑔2
−1 también pertenece a H. Debemos demostrar que H es un subgrupo de G. 
Primero, como H no es vacío, podemos elegir un elemento h en H. Como 𝑔1 y 𝑔2 
también pertenecen a H, entonces ℎ(ℎ−1𝑔2)
−1 = 𝑔2
−1 está en H. Ahora, como h y 𝑔2 
están en H, entonces ℎ(𝑔2
−1)−1 = 𝑔2 está en H. Por lo tanto, H es cerrado bajo la 
operación de multiplicación y la inversión de elementos. 
Además, para cualquier elemento g en H, 𝑔−1 = 𝑒𝑔−1 está en H, ya que e y 𝑔−1 están 
en H. Por lo tanto, H es cerrado bajo la inversión de elementos. 
 
 
Si H fuera vacío, entonces no habría ningún elemento en H que pudiera servir como 
elemento neutro del subgrupo, lo cual violaría una de las condiciones necesarias para que 
un subconjunto sea un subgrupo de un grupo. Por lo tanto, si H fuera vacío, no sería un 
subgrupo de G. 
Por lo tanto, hemos demostrado que H es un subgrupo de G si y solo si H no es vacío y 
para cualquier par de elementos 𝑔1 y 𝑔2 de H, 𝑔1𝑔2
−1 también pertenece a H. 
2. Sea 𝐺 = ℂ − {0} y sea 
𝐻 = {𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ 𝐺|𝑎2 + 𝑏2 = 1} 
Muestre que H es subgrupo de G verificando las tres condiciones de subgrupo. 
a. Cerradura: Si 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑐 + 𝑑𝑖 están en H, entonces 
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 
también debe estar en H. Debemos demostrar que la suma de dos números 
complejos de módulo 1 también tiene módulo 1: 
|(𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖|2 = (𝑎 + 𝑐)2 + (𝑏 + 𝑑)2
= 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 + 𝑐2 + 𝑑2 + 2𝑐𝑑 = 1 + 2(𝑎𝑏 + 𝑐𝑑) 
Pero por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, sabemos que 
𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 ≤ (𝑎2 + 𝑏2)
1
2(𝑐2 + 𝑑2)
1
2 = 1, por lo que 1 + 2(𝑎𝑏 + 𝑐𝑑) ≤ 3, y por lo 
tanto, la suma de dos números complejos de módulo 1 también tiene módulo 1. 
Por lo tanto, H es cerrado bajo la adición. 
 
 
b. Inversos: Si 𝑎 + 𝑏𝑖 está en H, entonces su inverso aditivo −(𝑎 + 𝑏𝑖) también 
debe estar en H. Debemos demostrar que si 𝑎 + 𝑏𝑖 tiene módulo 1, entonces su 
inverso aditivo también tiene módulo 1: 
|(𝑎 + 𝑏𝑖) + (−(𝑎 + 𝑏𝑖))|
2
= |1 + 0𝑖|2 = 1 
Por lo tanto, −(𝑎 + 𝑏𝑖) es el inverso aditivo de 𝑎 + 𝑏𝑖, y como 𝑎 + 𝑏𝑖 está en H, 
también lo está su inverso aditivo. 
c. Elemento neutro: En este caso, no podemos tomar el elemento neutro como 0 +
0𝑖, ya que este número no está en G. Podemos encontrar un elemento neutro en H 
de la siguiente manera: 
Sea 1 + 0𝑖 un número complejo de módulo 1. Entonces, (1 + 0𝑖)2 = 1, por lo 
que 1 + 0𝑖 está en H. Además, para cualquier número complejo 𝑎 + 𝑏𝑖 en H, 
tenemos: 
(1 + 0𝑖) + (𝑎 + 𝑏𝑖) = (1 + 𝑎) + (0 + 𝑏)𝑖 
que también tiene módulo 1, por lo que (1 + 0𝑖) es un elemento neutro válido 
para H. 
3. Sea G un grupo finito y H ⊆ G tales que para cualesquiera 𝑔1, 𝑔2 ∈ 𝐻 se cumple que 
𝑔1𝑔2 ∈ 𝐻}. Pruebe que H es subgrupo de G. 
a. Cerradura: Si 𝑔1 y 𝑔2 están en H, entonces 𝑔1𝑔2 también debe estar en H. 
Debemos demostrar que H es cerrado bajo la operación de grupo: 
Para ello, consideramos la lista de todos los elementos de H: ℎ1, ℎ2, … , ℎ𝑛. 
Entonces, para cualquier par de elementos ℎ𝑖 , ℎ𝑗 en H, también tenemos ℎ𝑖ℎ𝑗 en 
 
 
H, ya que ℎ𝑖 ∗ ℎ𝑗 también está en H según la hipótesis. Por lo tanto, todos los 
productos de elementos en H están en H, y H es cerrado bajo la operación de 
grupo. 
b. Inversos: Si 𝑔 está en H, entonces su inverso 𝑔−1 también debe estar en H. 
Debemos demostrar que H contiene los inversos de todos sus elementos: 
Para ello, consideramos la lista de todos los elementos de H: ℎ1, ℎ2, … , ℎ𝑛. Si 
alguno de los elementos de H es la identidad del grupo, entonces ya contiene su 
propio inverso. En caso contrario, como G es finito, no puede haber más de n-1 
elementos distintos de ℎ1, ℎ2, … , ℎ𝑛. Por lo tanto, hay algún elemento ℎ𝑖 en la lista 
que es el inverso de otro elemento ℎ𝑗 en la lista. Como ℎ𝑖 y ℎ𝑗 están en H, su 
producto ℎ𝑖 ∗ ℎ𝑗 es también un elemento de H y es igual a la identidad del grupo. 
Por lo tanto, ℎ𝑖 es el inverso de ℎ𝑗 , y H contiene los inversos de todos sus 
elementos. 
c. Identidad: La identidad del grupo está en H, ya que la identidad es un elemento 
del grupo y H es un subconjunto de G. 
Como H cumple las tres condiciones de subgrupo, concluimos que H es un 
subgrupo de G. 
4. Sea G grupo Abeliano y sea 
𝐻 = {𝑥 ∈ 𝐺|𝑥2 = 𝑒} 
Muestre que H es subgrupo de G verificando las tres condiciones de subgrupo. ¿El 
resultado se sigue cumpliendo si G no es Abeliano? 
 
 
a. Cerradura: Si 𝑥 y 𝑦 están en H, entonces 𝑥2 = 𝑒 y 𝑦2 = 𝑒. Debemos demostrar 
que 𝑥𝑦 también está en H, es decir, que (𝑥𝑦)2 = 𝑒. Tenemos: 
(𝑥𝑦)2 = 𝑥2𝑦2 = 𝑒𝑒 = 𝑒 
Por lo tanto, 𝑥𝑦 también está en H, y H es cerrado bajo la operación del grupo. 
b. Inversos: Si x está en H, entonces su inverso 𝑥−1 también debe estar en H. 
Debemos demostrar que 𝑥−2 = 𝑒. Tenemos: 
(𝑥−1)2 = 𝑥−1𝑥−1 = (𝑥𝑥−1)−1 = 𝑒−1 = 𝑒 
Por lo tanto, 𝑥−1 también está en H, y H contiene los inversos de todos sus 
elementos. 
c. Identidad: La identidad del grupo es e, que está en H, ya que 𝑒2 = 𝑒. 
Como H cumple las tres condiciones de subgrupo, concluimos que H es un 
subgrupo de G. 
Este resultado se sigue cumpliendo incluso si G no es Abeliano, ya que las 
demostraciones de las tres condiciones de subgrupo no dependen de la propiedad 
conmutativa de G. 
 
 
 
Referencias 
Gallian, J. (2017). Contemporary Abstract Algebra (Novena ed.). Stamford: Cengage Learning. 
Lang, S. (2002). Algebra (Tercera ed.). Berlin: Springer. 
UnADM. (s.f.). Algebra Moderna 1. Recuperado el 27 de Septiembre de 2022, de Unidad 1. 
Grupos y Subgrupos: 
https://campus.unadmexico.mx/contenidos/DCEIT/BLOQUE2/MT/07/MAMD1/U1/desc
argables/MAMD1_U1_contenido.pdf 
Zaldivar, F. (2006). Introduccion a la teoria de grupos. DF: Sociedad matematica mexicana y 
reverté ediciones, SA de CV.