MAMD1_U1_EA_JOPS

Vista previa del material en texto

Universidad Abierta y a Distancia de México
Algebra Moderna 1
Unidad 1
Evidencia de aprendizaje
Alumno: Josué Samuel Priego Sanabria
Doceavo Semestre
1. Considere el conjunto y como la multiplicación usual. ¿Qué axiomas de grupo cumple M?, ¿es grupo Abeliano?
El conjunto bajo la multiplicación usual de números complejos no forma un grupo, ya que no cumple con la propiedad de clausura. Por ejemplo, si consideramos los elementos en M, su producto es:
El resultado -√7 no pertenece a M, por lo que M no es cerrado bajo la multiplicación usual de números complejos.
Sin embargo, si consideramos el conjunto y definimos la multiplicación de la siguiente manera:
donde a, b, c, d son números racionales, entonces M' sí forma un grupo abeliano bajo esta operación de multiplicación.
Para demostrar que M' es un grupo, debemos verificar que cumple con los axiomas de grupo:
Propiedad asociativa: Esta propiedad se cumple automáticamente porque la multiplicación usual de números complejos es asociativa.
Elemento neutro: El elemento neutro es , ya que para cualquier a, b en Q.
Inversos: Para cada elemento en M', su inverso será , siempre y cuando .
Propiedad conmutativa: La multiplicación usual de números complejos es conmutativa, por lo que esta propiedad también se cumple en M'.
En cuanto a la pregunta de si M' es un grupo abeliano, la respuesta es sí, ya que la propiedad conmutativa se cumple, como se mencionó anteriormente.
2. Sea G grupo Abeliano y , ∈ G elementos de orden finito con . Demuestre que . 
Como G es un grupo Abeliano, la propiedad distributiva de la multiplicación se cumple. Entonces, para cualquier entero positivo n y m, se tiene:
Expandiendo esto, tenemos:
Ahora, como , se tiene que los órdenes de y son primos relativos. Por lo tanto, existe un entero positivo k tal que y .
Entonces, para cualquier entero positivo n, se tiene:
Pero como , podemos reemplazar por en el lado izquierdo de la ecuación, y obtener:
De manera similar, como , podemos reemplazar por en el lado derecho de la ecuación, y obtener:
Ahora, si consideramos n como el mínimo común múltiplo de y , entonces n es un múltiplo tanto de como de . Por lo tanto, podemos simplificar la ecuación anterior como:
Esto implica que divide a n, ya que el orden de un elemento en un grupo es el mínimo entero positivo n tal que (donde e es el elemento neutro del grupo). Además, se cumple que divide a y a , ya que ambos son órdenes de elementos en el grupo.
Ahora, supongamos que es menor que . Entonces, debe ser un múltiplo propio de y . Pero esto contradice el hecho de que el mínimo común múltiplo de dos números es divisible por sus factores primos comunes elevados a la mayor potencia. Por lo tanto, debe ser igual a .
Por lo tanto, hemos demostrado que cuando y son elementos de orden finito con en un grupo Abeliano G.
3. Sea 
Pruebe que M es subgrupo de . 
La identidad de M, que es la matriz [1 0; 0 1], debe estar en M.
Si A y B son dos matrices en M, entonces su producto A·B también debe estar en M.
Si A es una matriz en M, entonces su inversa A^(-1) también debe estar en M.
Verificación de la condición 1:
La matriz identidad pertenece a M, ya que si tomamos θ = 0, entonces la matriz en M se convierte en:
Por lo tanto, la identidad de está en M.
Verificación de la condición 2:
Si A y B son dos matrices en M, entonces:
Entonces, el producto A·B es:
Por lo tanto, A·B también pertenece a M.
Verificación de la condición 3:
Sea A una matriz en M. Entonces, su inversa está dada por:
Para hallar la inversa, podemos utilizar la fórmula de la matriz inversa:
Donde .
Por lo tanto, está en M.
Dado que se han verificado las tres condiciones, podemos concluir que M es un subgrupo de .
4. Sea G un grupo y , tales que y . Muestre que .
Comenzamos manipulando la segunda ecuación dada:
Multiplicando por a ambos lados, obtenemos:
Luego, elevando al cuadrado ambos lados, utilizando que y reemplazando por según la ecuación dada, obtenemos:
Lo que implica que:
Entonces, podemos expresar como:
Ahora, utilizamos la segunda ecuación dada para reemplazar por :
Entonces, podemos expresar como:
Reemplazando por , según la ecuación anterior, obtenemos:
Multiplicando por a izquierda y a derecha, tenemos:
Luego, podemos seguir reemplazando por por , y así sucesivamente, hasta llegar a:
Referencias
Gallian, J. (2017). Contemporary Abstract Algebra (Novena ed.). Stamford: Cengage Learning.
Lang, S. (2002). Algebra (Tercera ed.). Berlin: Springer.
UnADM. (s.f.). Algebra Moderna 1. Recuperado el 27 de Septiembre de 2022, de Unidad 1. Grupos y Subgrupos: https://campus.unadmexico.mx/contenidos/DCEIT/BLOQUE2/MT/07/MAMD1/U1/descargables/MAMD1_U1_contenido.pdf
Zaldivar, F. (2006). Introduccion a la teoria de grupos. DF: Sociedad matematica mexicana y reverté ediciones, SA de CV.