3 - 8 - Método logarítmico

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Método logarítmico de derivación.
Derivada de funciones implícitas.
Derivadas de orden superior.
Hasta ahora, hemos aprendido a derivar funciones de la forma:
Sabemos que su derivada será:
 
Método logarítmico de derivación
Por otro lado, también hemos aprendido a derivar funciones de la forma:
Sabemos que su derivada será:
Base variable
Exponente constante
Exponente variable
Base constante
Método logarítmico de derivación
¿Cómo hacemos para derivar una función en la que tanto la base como el exponente son variables (dependen de x)?
Si ahora nos piden que calculemos la derivada de:
 
Base variable
Exponente variable
Aplicamos logaritmo natural en ambos miembros (considerando sólo aquellos valores de en donde la función tome valores positivos) 
Derivamos miembro a miembro:
Despejamos :
Aplicamos propiedad de logaritmo:
Método logarítmico de derivación
Usaremos este método cuando tengamos que derivar una función de la forma: 
Es decir, cuando tanto la base como el exponente de una potencia sean funciones de .
Ya que
 
Ejemplo:
Vamos a calcular la derivada de:
Aplicamos logaritmo natural en ambos miembros:
Aplicamos propiedad de logaritmo:
Derivamos miembro a miembro:
Despejamos :
Hasta ahora, hemos trabajado siempre con funciones explícitas, es decir, funciones donde y además conocemos exactamente cómo es la dependencia de con respecto a .
 ¿Pero qué sucede si tenemos una función como
 ? 
 En este ejemplo, el problema que tenemos es que no es posible despejar , y por lo tanto, no sabemos en forma explícita cómo depende de y entonces no sabemos cómo encontrar la derivada de .
Derivada de funciones implícitas
En estos casos es que vamos a derivar en forma implícita.
Derivada de funciones implícitas
¿En qué consiste derivar en forma implícita?
Derivaremos en forma implícita cuando tengamos una función que no pueda llevarse a la forma explícita .
Lo que haremos es derivar ambos miembros de la igualdad con respecto a , siempre teniendo en cuenta que depende de . Para esto, tendremos que utilizar le regla de la cadena cuando sea necesario.
 Después de derivar, despejaremos 
Ejemplo:
Vamos a calcular la derivada de:
Está función está dada en forma implícita, ya que no conocemos explícitamente cuál es nuestra función 
Para calcular , derivamos ambos miembros, siempre teniendo en cuenta que , es decir, utilizando la regla de la cadena cuando sea necesario:
Ejemplo:
Vamos a encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto .
Como la función está dada en forma implícita, derivamos ambos miembros y despejamos 
Sabemos que la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto dado es igual al valor de la derivada de la función en dicho punto. Por lo tanto, debemos calcular la derivada de la función y evaluarla en el punto indicado. 
Ahora reemplazamos por el punto para obtener el valor de es ese punto, y obtenemos 
Por último, recordemos que la ecuación de la recta tangente a la función en el punto está dada por:
Reemplazando por el punto y por , obtenemos que la ecuación de la recta tangente en el punto es:
Derivadas de orden superior
 Si una función es derivable, cuando obtenemos su derivada decimos que hemos calculado la derivada primera de la función .
	
El adjetivo “primera” sirve para indicar que hemos derivado una sola vez la función original. Se dice que el orden de dicha derivada es uno.
 Si la función obtenida también es derivable, podemos entonces derivar la función y así obtener la derivada segunda de , que denotamos con .
	
Diremos entonces que el orden de esta derivada es dos, o bien que es una derivada de segundo orden.
 Si se puede derivar, obtenemos la derivada tercera de f, la cual denotaremos por (el orden de esta derivada es tres).
Así, a medida que derivamos sucesivamente una función, vamos encontrando las llamadas derivadas sucesivas de la misma. 
Derivadas de orden superior
La derivada de la función obtenida después de derivaciones sucesivas se denomina la n-ésima (o enésima) derivada o derivada de orden n de y se la denota por 
Ejemplo:
Calculemos las derivadas sucesivas de:
Entonces:
Y por lo tanto:
 si 
Ejemplo:
Vamos a calcular la derivada n-ésima de:
Comenzamos calculando algunas derivadas sucesivas:
De esta manera, vemos que: