clase-11

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lOMoARcPSD|3707762 
 
 
 
eq km 
E' 
Xkm 
EB 
STN 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como primera instancia, es necesario determinar la potencia máxima que fluye a través de una ĺınea, si 
tomamos como base el flujo de potencia activa del sistema de la figura 11.1 obtendremos la ecuación (11.1). 
 
 
Figura 11.1: Pequeño sistema 
 
 
PE = 
E′ · EB 
Xeq 
 
· sen(δ) (11.1) 
∀ X = x′ + x 
 
Naturalmente el flujo máximo de potencia activa a través de la ĺınea se logra solo cuando sen(δ) = 1. Por lo 
tanto definimos la siguiente ecuación: 
Pmax = 
E′ · EB 
xeq 
(11.2) 
 
 
 
 
 
 
 
Pm 
 
 
 
 
π/2 π 
 
Figura 11.2: Representación del flujo de potencia activa de una ĺınea 
 
De lo anterior podemos inferir que el ángulo de la tensión desempeña un papel importante en la estabilidad 
del sistema (a mayor ́angulo mayor inestabilidad), además de limitar la pertenećıa máxima transferible, en 
la figura 11.3 se ilustra con mayor claridad ésta premisa. 
Retomando el criterio de pequeña señal, tenemos que. 
M ∆ω̇ = Pm − Pmax · sen(δ) − ξ∆ω (11.3) 
∆˙δ = ∆ω 
11-1 
IE902: Estabilidad de sistemas eléctricos Universidad Tecnológica de Pereira 
Clase 11: Modelo clásico 
Profesor: Alejandro Garcés Notas: Jhon Jairo Herrera 
Pmax 
 
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11-2 Clase 11: Modelo clásico 
 
 
 
 
P 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
δ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
δ 
 
 
 
 
 
 
Figura 11.3: Estabilidad del sistema según el ángulo 
 
Si tenemos en cuenta que de la figura 11.2 solo tenemos dos puntos de equilibrio (A) y (B) como se muestra 
en 11.4 y en 11.5. 
 
 
Figura 11.4: Puntos de equilibrio a) Estable (asintótico con fricción) b) Inestable 
 
Linealizando la ecuación de la potencia eléctrica tenemos. 
 
 
 
Por tanto: 
PE Pmax · sen (δA) − Pmax · cos (δA) · ∆δ + 0 · (|∆δ|2) (11.4) 
Pm = PE 
Pm − Pmax · sen (δA) =∼ −Pmax · cos (δA) · ∆δ + 0 · (|∆δ|2) (11.5) 
Damping asintoticamente 
estable 
Δω 
+∞ 
(inestabilidad) 
 
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Clase 11: Modelo clásico 11-3 
 
 
 
P 
 
 
 
 
 
 
Pm 
 
 
 
 
A B 
 
Figura 11.5: Puntos de equilibrio en la gráfica de flujo de potencia 
Ahora reemplazando la ecuación (11.5) en (11.3) 
M ∆ω̇ = −Pmax · cos(δA)∆δ − ξ∆ω (11.6) 
 
∆˙δ = ∆ω (11.7) 
 
Ahora organizando las ecuaciones (11.6) y (11.7) de forma matricial tenemos la ecuación (11.8) 
 
∆˙ω 
˙ 
 
−ξ 
= M 
 
−Pmax cos (δA) 
M 
 
∆ω · 
∆δ 
 
(11.8) 
∆δ 1 0 
 
Recordar que: 
 
 
det(A) = 
Y 
λi (11.9) 
 
 
Tr(A) = 
Σ 
λi (11.10) 
 
Para todo λ que representa un eigenvalue. 
∀ Tr(A) = 
−ξ 
< 0 
M 
 
λ1 + λ2 < 0 
 
det(A) = 
Pmax · cos (δA) > 0 
M 
 
det(A) = λ1 · λ2 
PE 
 
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 A B 
cos( A) > 0 
A 
cos( B) < 0 
11-4 Clase 11: Modelo clásico 
 
 
 
 
P 
 
Figura 11.6: valores de los ángulos evaluados en la función seno y coseno 
 
∴ tienen el mismo signo (positivo ó negativo). conclusión como λ1 < 0 y λ2 < 0 el sistema es estable. 
Ahora si revisamos la estabilidad en δB y con la ayuda de la figura 11.6 podemos determinar lo siguiente: 
 
cos (δB) < 0 
 
 
det(A) = 
Pmax cos (δB ) < 0 
M 
 
Como los λi tienen signos distintos el sistema es inestable. 
Nota: Cualquier punto por encima de 90o es inestable. 
ejemplo: Sea H= 15 [s] 
ξ = 10 
x′ = 0,3 
xkm = 0,1 
P = 1,4 [pu] 
Como primer paso se analiza el equilibrio en δA y δB 
 
xeq = 0,3 + 0,1 = 0,4 
 
 
1 
Pmax = 
eq 
 
= 2,5 
x 
 
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Clase 11: Modelo clásico 11-5 
 
 
 
2,5 · sen (δ) = 1,4 
 
 
δ = arcsen 
1,4 
 
 
2,5 
 
δA = 0,5943 δB = 2,54 
 
M = 
2H 
= 
30 = 0,079 
ω0 2π · 60 
 
Con (δA) se tiene que los eigenvalues toman los valores de λ1 = −9,95 y λ2 = −2,61, por tanto es estable. 
Mientras que con (δB) se obtienen los valores de λ1 = −14,37 y λ2 = 1,8, por consiguiente es inestable.