Informe 1 Carlos Osuna

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Informe 1 
Por
Carlos Andrés Osuna F.
Docente:
Luis Alfonso Gallego P.
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
Facultad de ingeniería
Departamento de ingeniería eléctrica
2021
Introducción
Dentro del sistema de comercialización de energía eléctrica la mayoría de los estudios de optimización que buscan disminuir el costo de instalación y perdidas se realizan en la etapa de transmisión. En la etapa de distribución por lo general se hacen estudios de confiabilidad, cargabilidad y mantenimiento debido a la variabilidad en el tipo y distribución de las cargas en esta etapa. Sin embargo, es posible hacer optimización durante la etapa de distribución observando las características de la red y realizando instalación de equipos que permitan reducir las pérdidas manteniendo niveles de voltaje y corriente adecuados. Para obtener un sistema de distribución más eficiente es posible añadir elementos como capacitores que pueden reducir las pérdidas al bajar la cantidad de corriente reactiva que pasa por las líneas desde el alimentador hacia la carga. Para mantener un nivel de tensión adecuado pueden usarse capacitores variables que de acuerdo con el periodo de carga ajustan la capacitancia con el fin de mantener un perfil de tensión constante. Al observar el problema y la posible solución lo más conveniente seria entonces instalar la mayor cantidad de capacitores variables en la red para reducir las pérdidas en cada tramo de la línea y mantener el perfil de voltaje en el valor nominal. Sin embargo, la inviabilidad de esta alternativa se da al tener en cuenta el costo de adquisición y de instalación de estos dispositivos el cual supera el ahorro en las pérdidas que se pueda tener. El procedimiento que se debe seguir entonces es realizar un algoritmo que pueda minimizar las perdidas en la red ubicando de la manera más conveniente bancos de capacitores para minimizar las pérdidas y mantener el perfil de tensión en un rango aceptable sin incurrir en sobrecostos de compra e instalación.
Flujo de potencia no lineal
Primero se hacen unas adecuadas suposiciones las cuales son
· El sistema se representa por un diagrama unifilar equivalente por fase
· Las pérdidas de potencia en las líneas se representan como una potencia de salida en la barra de inicio de la línea
· La potencia que consumen las cargas se considera constante.
· Solo hay una subestación que proporciona la energía a todas las cargas
· A diferencia de las líneas de transmisión donde el efecto capacitivo de las líneas es considerable, para los sistemas de distribución es despreciable
Para conocer las características del sistema se debe seguir deben desarrollarse las ecuaciones que lo modelan su comportamiento. Se parte de un esquema de 3 barras . La impedancia de la línea es . De forma análoga la impedancia de la línea entre las barras es En la barra k se agrupan las pérdidas de la línea que está entre las barras dadas por . De forma análoga en la barra i se agrupan las pérdidas de la línea que está entre las barras dadas por . La potencia aparente de la barra k a la barra i es . De forma análoga de la barra i a j es . La potencia aparente demandada en la barra i y k respectivamente es y 
Fig 1. Diagrama que representa parte del sistema de distribución.
Dentro de los problemas de optimización se deben identificar 4 puntos:
· Función objetivo: Es la variable que se desea minimizar o maximizar
· Restricciones: Es el valor mínimo o máximo que pueden tomar las variables
· Variables de decisión: Son variables que se pueden manipular dentro del problema
· Parámetros: Son características del problema que no pueden ser manipulados
También existen dos categorías en las que pueden agruparse los problemas que son lineal y no lineal. En el primero las variables son expresiones lineales para la segunda existen variables con potencias mayores a 1 y multiplicación entre variables. El segundo suele requerir más esfuerzo para ser solucionado, sin embargo, existen métodos para abordarlos de forma más sencilla.
Para el flujo de potencia del sistema anterior se tiene:
Función objetivo: debe minimizarse las perdidas de potencia activa en la red (minimizar la suma de las perdidas en cada línea)
Restricciones: Leyes de Kirchhoff y limites de corriente y tensión (estos dependen del calibre del conductor y el aislamiento respectivamente)
Variables de decisión: Corriente, voltaje, potencia activa, potencia reactiva
Parámetros: Resistencia y reactancia de los conductores, potencia activa y reactiva demandada en las barras
Se define el conjunto de barras
 (conjunto de números que identifican una barra en particular).
Se define conjunto de líneas
 (conjunto de números que identifican una línea en particular).
La función objetivo es
Las restricciones son:
Balance de potencia en las barras (potencia suministrada es igual a la demandada menos las perdidas)
Caída de voltaje en las barras. La diferencia de tensión entre dos barras es igual a la impedancia de la línea entre las barras por la corriente al cuadrado, que circula por la línea.
Al sustituir (5) en (4)
Si se sabe que
Se separan las partes real e imaginaria
Si se elevan al cuadrado (12), (13) se suman y usando se llega a la expresión
Dividiendo la ecuación (15) por 
La magnitud de la corriente y el módulo de la impedancia se calculan como
La ecuación 16 se reescribe como
El flujo de potencia aparente en cada rama de la red
Límites de las variables
En resumen, el sistema de ecuaciones que modelan el problema son:
Sujeto a las restricciones:
Al tener variables con exponente mayor a 1 el problema se convierte en uno no lineal.
Fig 2. Codigo de optimización implementado en el lenguaje Ampl.
Luego de correr el codigo se obtienen los siguientes resultados en las barras
Grafica 1. Resultado del flujo de potencia entregado por Ampl
En la grafica 1 se observa que se cumplen los limites de tensión en las barras de .9pu como valor minimo y 1pu como valor máximo.
Flujo de potencia modificado
Para tener el codigo requiera de una menor cantidad de recursos computaciónales se recurre a un cambio de variable en las ecuaciones (1), (2), (3), (17), (18), (19), (20) de la siguiente manera
 
Sujeto a las restricciones:
El código queda finalmente
Fig 3. Codigo implementado con cambios de variable.
Grafica 2. Comparación de voltaje en barras usando con y sin reemplazo.
Al hacer la superposición de los voltajes obtenidos al correr el flujo de potencia con y sin el cambio de variable (Grafica 2) se observa que el cambio de variable no genera ningún cambio perceptible en las gráfica. Sin embargo si hay un cambio en la catidad de tiempo que le toma al programa llegar al resultado siendo menor con el cambio de variable.
Fujo de potencia lineal
A diferencia de los sistemas de potencia, los sistemas de distribución cuentan con una mayor cantidad de barras y lineas. Correr flujos de potencia para sistemas de distribución demanda una gran cantidad de recursos computacionles y tiempo. Para bajar el tiempo de ejecución y evitar requerir de computadoras muy costosas para resolver los problemas se recurre a la linealización de las ecuaciones. Las ecuaciones lineales requieren de menor tiempo y procesamiento para llegar a una solución. La desventaja de usar este metodo es que se debe sacrificar exactitud en la solución que entrega el programa. Si el error en la solución está dentro de un margen aceptable entonces se debe considerar como una muy buena opción al momento de resolver problemas de flujos de potencia. La cantidad de error aceptable en la solución queda a criterio del diseñador.
Parte del trabajao de la linealización es una discretización donde se toma parte del problema y se subdivide en partes menos complejas. Para este caso se usan intervalos numericos más grandes que ahorran calculos pero disminuyen la exactitud del resultado.
Para encontrar la solución de estos problemas se usan variables binarias las cuales tienen el siguiente planteamiento
Tabla 1. Resultadode multiplicación entre variables binarias
Los resultados de esta operación son se obtienen así:
De las ecuaciones (30) y (32) se llega al resultado de 1 usando expresiones lineales.
Se puede tener entonces un número como la suma de variables binarias
De (34v) se tienen que P es el valor maximo de 
La ecuación (33) queda de la forma
La ecuación (36) queda como la multiplicación de variables binarias. Si se hace la siguiente comsideración.
Las expresiones en su forma lineal quedan de la siguiente forma:
Para la multiplicación de variables binarias se tiene entonces
La multiplicación de las variables en (42) queda en su forma linealizada como
El valor de M se hace mucho mas grando que el de sigma M>>
Para la multiplicación de variables binarias se define Z, alpha, y beta. Beta es la parte entera mas la parte decimal que se expresa como una fración de 10 a la potencia k. k es el número de digitos decimales del número
La parte entera de beta se representa como la suma de variables binarias
La forma en la que se multiplican las variables continuas es entonces:
De la ecuación (48) los productos de las variables se pasan a la forma lineal:
Al terminar la linealización el producto de las variables queda de la siguiente foma:
Fig 4a. Codigo implementado con linealización.
Fig 4b. Codigo implementado con linealización.
Fig 4c. Codigo implementado con linealización.
Grafica 3. Comparación de voltaje sin linealizar y al linealizar.
La diferencia es practicamente inperseptible. Y se lega a la misma solución. Aunque se requiera de una programación mas compleja al momento de ejecutar el programa se llega a una solución mas rapida y con una menor capacidad de procesamiento lo que al momento de analizar sistemas reales es bastante notable la diferencia.
La programación y el concepto detrás de este tipo de implementación son mucho mas complejos que el metodo normal. Dependiendo del nivel de conocimientos del diseñador puede llegar a ser un poco complicado implementarlo. 
Ubicación de capacitores fijos
Para la instalación de capacitores fijos se debe tener en cuenta en la función de costo (función objetivo) el costo del baco de capacitores y el costo de instalación de los mismos. reperesenta la dependencia del tiempo del problema. La ecuación (1) y (3) cambia entonces por:
Grafica 5. Tensión en barras sin capacitores y con capaitores para un periodo de tiempo t.
Se observa una pequeña mejora en el perfil de tensión. Su instalación tuvo un buen impacto en la red sin embargo el costo es mayor. La reducción en las perdidas eventualmente podrá cubrir ese costo.
Capacitores variables
Para este caso se instalan capacitores que tienen la ventaja de regular su capacitancia por pasos. De esta forma se vana adaptando a las dinámicas de la red a conveniencia. Su costo es mayor que los costos de un capacitor fijo.
La ecuación (55) cambia el termino del capacitor fijo por uno variable. En la función de costos de la ecuación (54) debe usarse ahora el costo de los capacitores variables.
Fig 5a. Codigo implementado con capacitor variable.
Fig 5b. Codigo implementado con capacitor variable.
 
Fig 5c. Codigo implementado con capacitor variable.
Grafica 6. Tensión en barras sin capacitores y con capaitores para un periodo de tiempo t.
Conclusiones
· La utilización de modelos linealizados trae ventajas en velocidad e costo computacional que comparados con el error respecto al modelo exacto lo hacen una buena alternativa al momento de escribir los problemas de optimización.
· Usar modelos linealizados no es muy conveniente si se va a analizar un sistema pequeño debido a que su programación es más compleja y si el tiempo en el que el programa entrega el resultado no difiere mucho del modelo tradicional.
· Se puede tener una red de distribución realizando un correcto planeamiento antes de que se detecten los problemas de un mal diseño