DCOPF

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Flujo óptimo DC
Jesús María López Lezama
Facultad de Ingeniería
Universidad de Antioquia
1
Aproximación DC
Ecuación de flujo 
Ecuación de balances 
2
Flujo de potencia DC 
Ejemplo: calcular B’
Para el cálculo de esta matriz no se tiene en cuenta el nodo de referencia, pues en este nodo ya se conoce el ángulo.
Esta es la matriz 
que necesito
3
Flujo DC vs Flujo óptimo DC 
Flujo DC
Entradas: 
Datos de líneas (reactancia) 
Potencia de generadores
Demandas
Salidas:
Flujos en las líneas
= 35MW
= 85MW
0,1 
0,1 
0,1 
= 100MW
= 20MW
?
?
?
No requieres un proceso de optimización
Se utiliza para estudios de expansión y conexión de nuevos elementos
Presenta un diagnóstico de la red
Cuáles son los flujos resultantes para un perfil dado de generación y demanda ?
4
Flujo DC vs Flujo óptimo DC 
Flujo óptimo DC
Entradas: 
Datos de líneas (reactancia) 
Potencia de generadores
Cargas
Límites de líneas
Límites de generadores 
Costo/oferta de la generación
Salidas:
Potencia de los generadores
Flujos en las líneas
= ?
= ?
Cuál debe ser la potencia entregada por cada generador para atender la demanda a mínimo costo teniendo en cuenta las restricciones de la red?
5
Flujo de potencia óptimo DC 
Se desea minimizar el costo de atender la demanda. Se debe despachar un número dado de generadores.
Costo x Potencia generada
Se selecciona un ángulo como referencia
Sujeto a las siguientes restricciones:
Balance nodal de potencias
Límites de generadores
Límites de flujos de potencia
6
Formulación del Problema 
C1 < C2 : idealmente se querría despachar Pg1 en su máximo
7
Flujo de potencia óptimo 
clear all
clc
B=[ 20 -10 -10;
 -10 20 -10;
 -10 -10 20];
 
Mg=[1 0; 0 1; 0 0;];
 
ref=[1 0 0 0 0 ];
 
Aeq=[ref;
 B -Mg];
 
beq=[0 ; 0; -35; -85];
 
zeropg=zeros(3,2);
zeroth=zeros(2,3);
Ipg=eye(2);
Apmax=[zeroth Ipg];
Apmin=[zeroth -Ipg];
Pgmax=[90 ;70];
Pgmin=[15 ;10];
Fmax=[50 ;50 ;50];
 
Fmax=[50 ;50 ;50];
 
Fmin=-Fmax;
 
C=[ 10 -10 0 ;
 10 0 -10 ;
 0 10 -10 ];
 
A=[ zeroth Ipg;
 zeroth -Ipg;
 C zeropg;
 -C zeropg];
b=[Pgmax ;-Pgmin; Fmax; -Fmin];
 
f=[0 0 0 50 55];
 
[x fval flag ] = LINPROG(f,A,b,Aeq,beq);
th=[x(1) x(2) x(3)]';
x
fval
Flujos= C*th
LINPROG permite que las variables de decisión puedan ser también negativas (ángulos en las barras) 
8
Flujo de potencia óptimo 
Caso 1: Despacho inicial
x =
 -0.0000
 -1.5000
 -5.0000
 65.0000
 55.0000
fval =
 6.2750e+003
Flujos =
 15.0000
 50.0000
 35.0000
Ángulos
Pg1
Pg2
Pg1 max= 90
A pesar de que Pg1max =90 MW y de que la suma de la capacidad de transporte de las líneas conectadas al nodo 1 es 50MW+50MW= 100MW, el generador 1 no puede entregar su potencia máxima pues la línea 1-3 llega a su límite (congestión).
9
Flujo de potencia óptimo 
Caso 2: Aumento la capacidad de línea 1-3 a 60MW
x =
 -0.0000
 -3.1667
 -5.8333
 90.0000
 30.0000
fval =
 6.1500e+003
Flujos =
 31.6667
 58.3333
 26.6667
No hay ninguna línea congestionada. La única variable en su limite superior es Pg1. Aumentando la capacidad de la línea en 10MW Pg1 puede pasar de entregar 65MW a 90MW. 
10
Flujo de potencia óptimo 
Caso 3: Qué pasa si falla la línea 1-3? Fmax 1-3 =0 
No es posible cumplir con la restricción de balance de potencias en el nodo 3. Problema infactible. 
11
Flujo de potencia óptimo 
Se debe colocar un generador ficticio que represente el racionamiento 
Rac= 35MW
El costo de Pgf debe ser igual al costo de racionamiento. Mayor a cualquiera de las ofertas/costos de los otros generadores.
Se debe modificar el programa en Matlab
35 MW
12
Flujo de potencia óptimo 
clear all
clc
B=[ 20 -10 0;
 -10 20 -10;
 0 -10 10];
 
Mg=[1 0 0;
 0 1 0;
 0 0 1;];
 
ref=[1 0 0 0 0 0];
 
Aeq=[ref;
 B -Mg];
 
beq=[0; 0; -35; -85];
zeropg=zeros(3,3);
zeroth=zeros(3,3);
Ipg=eye(3);
Apmax=[zeroth Ipg];
Apmin=[zeroth -Ipg];
 
Pgmax=[90 ;70; 85];
Pgmin=[15 ;10; 0];
Fmax=[50 ;50];
Fmin=-Fmax;
 
C=[ 10 -10 0 ;
 0 10 -10 ;
 ];
A=[ zeroth Ipg;
 zeroth -Ipg;
 C zeros(2,3);
 -C zeros(2,3)];
 
b=[Pgmax ;-Pgmin; Fmax; -Fmin];
 
f=[0 0 0 50 55 100];
 
[x fval flag out lambda ] = LINPROG(f,A,b,Aeq,beq);
 
th=[x(1) x(2) x(3)]';
x
fval
Flujos= C*th
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Flujo de potencia óptimo 
x =
 -0.0000
 -5.0000
 -10.0000
 50.0000
 35.0000
 35.0000
fval =
 7.9250e+003
Flujos =
 50.0000
 50.0000
35 MW
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Precios Marginales 
Precio marginal: mide la tasa de variación del costo con respecto a una variación en la producción. 
Se suele expresar como el incremento en el costo cuando se incrementa la producción en una unidad.
Matemáticamente los precios marginales son los valores de los multiplicadores de Lagrange asociados a las restricciones del igualdad, en el punto de solución. 
Precio nodal: costo de la energía en un nodo de la red (costo de suministrar un MW adicional). Es igual al precio marginal.
15
Precios Marginales 
Cuáles serían los precios nodales para el caso 2?
lambda.eqlin
 -0.0000
 55.0000
 55.0000
 55.0000
35 MW
16
Precios Marginales 
Cuáles serían los precios nodales para el caso 1?
>> lambda.eqlin
 -0.0000
 50.0000
 55.0000
 60.0000 
Los precios marginales son diferentes cuando hay congestión en la red
(también cuando hay pérdidas).
Por qué el precio marginal en el nodo 3 es 60?
35 MW
17
Precios Marginales 
x =
 -0.0000
 -1.5000
 -5.0000
 65.0000
 55.0000
fval =
 6.2750e+003
Flujos =
 15.0000
 50.0000
 35.0000
Ángulos
Pg1
Pg2
Caso 1
Caso 1 + Delta de 1MW nodo 3 
x =
 -0.0000
 -1.4000
 -5.0000
 64.0000
 57.0000
fval =
 6.3350e+003
Flujos =
 14.0000
 50.0000
 36.0000
Pg1
Pg2
Fval Caso1 +Delta - Fval Caso1 = 6335 - 6275 = 60
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Precios Marginales 
Precio sombra: indica cómo el valor máximo o mínimo de la función objetivo responde a un cambio unitario en una restricción (cambio de límites o recursos). 
Cuál es el precio sombra asociado a la restricción de transporte del Caso 1?
lambda.ineqlin
 0.0000
 0.0000
 0.0000
 0.0000
 0.0000
 15.0000
 0.0000
 0.0000
 0.0000
 0.0000
Flujo 1-2
Flujo 1-3
Flujo 2-3 
Flujos en sentido contrario
Si aumento la capacidad de la línea en 1MW tengo una mejora en la FO de $ 15 
19
Precios Marginales 
x =
 -0.0000
 -1.7000
 -5.1000
 68.0000
 52.0000
fval =
 6.2600e+003
Flujos =
 17.0000
 51.0000
 34.0000
Caso 1 + Aumento de 1MW en 
Capacidad de línea 1-3 (51MW) 
 $6275 – $6260 = $15
Fmax 1-3 = 51
Fmax 1-3 = 50
20
Problema multiperiodo
Cómo tener en cuenta diferentes periodos de tiempo?
		T=1	T=2	T=3
	D1	35	65	40
	D2	85	65	40
		T=1	T=2	T=3
	Pg1	65	85	70
	Pg2	85	45	10
Se pueden solucionar de forma desacoplada, pero…
Si Pg2 no puede bajar más de 35MW entre intervalos de tiempo?
Plantear el problema para despacho multiperiodo considerando velocidad de toma de carga de los generadores.
21
Problema de confiabilidad 
¿ Cómo se pueden tener en cuenta las contingencias en el despacho?
Elaborar un modelo de despacho que considere el criterio n-1.
Suponga que el despacho de los generadores debe permanecer constante tras cada contingencia .
Calcule el valor esperado de racionamiento 
22
2
()
kmkkmkmkmkmkmkm
PVgVVgCosbSen
qq
=-+
()
kkmkmkmkmkm
mK
PVVGCosBSen
qq
Î
=+
å
km
km
km
P
x
qq
-
=
'
kkmkm
mK
PBPB
qq
Î
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å
0
km
g
»
kmkm
Sen
qq
»
1
km
km
b
x
»-
532
'352
224
B
--
éù
êú
=--
êú
êú
--
ëû
minmax
FCF
q
££
minmax
PgPgPg
££
1
()
ng
ii
i
MinfxcPg
=
=
å
0
ref
q
=
BMgPgD
q
-=-
Pg2 max=70 MW
Pg2 min=10 MW
C2 =55 $/MWh
Pg1 max=90 MW
Pg1 min=15 MW
C1 =50 $/MWh
Pg1Pg2
1
2
3
Max 50 MW 
D1=35MW
D2=85 MW
x=0.1
x=0.1
x=0.1
Max 50 MW Max 50 MW 
Pg1
Pg2
1
2
3
85MW
65 MW
50 MW
15 MW
35 MW
55 MW
Pg1
Pg2
1
2
3
85 MW
31.6667 MW
58.333 MW
26.6667 MW
90 MW30 MW
Pg1
Pg2
1
2
3
85 MW
Max 50 MW
Pgf
Pg1
Pg2
1
2
3
85 MW
Max 50 MW
Max 50 MW
35MW50 MW35 MW