teoria y problemas fisica (55)

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𝐾gÌ = 𝐾) + 𝐾, = 50 + 100 = 150[𝑁 𝑚⁄ ] 
 
 Plantear el teorema trabajo-energía: 
 
𝑊´ = (𝐸­, + 𝐸¡,) − (𝐸¡) + 𝐸­)) 
 
𝑊´_^V`d − 𝜇𝑀𝑔𝑑 = 𝑀𝑔𝑅 −
1
2𝐾gÌ𝑥e
, 
 
𝑊´_^V`d = 𝑀𝑔𝑅 −
1
2𝐾gÌ𝑥e
, + 𝜇𝑀𝑔𝑑 
 
𝑊´_^V`d = 99.25[𝐽] 
 
Ejemplo 4.28. En el sistema de la figura, determinar: (a) El trabajo 
realizado por la fuerza de rozamiento y (b) El trabajo realizado por 
otras fuerzas externas diferentes a la fuerza de rozamiento.Si M = 5 
[kg]; K1 = 50[N/m]; K2 = 100[N/m]; K3 = 150[N/m]; K4 = 200[N/m]; µ1 = 
0.6; µ2 = 0.4; d=4[m]; x = 3[m]; x1 = 0.5[m]; x2 = 0.6[m]; f = 40º. 
Estrategia de resolución. Debido a que se cuenta con un sistema 
de resortes en paralelo y otro en serie, deberán hallarse las 
constantes equivalentes para cada sistema. En el planteamiento se 
dice que existen otras fuerzas no conservativas además de la fuerza 
de rozamiento, por tanto habrán dos trabajos de fuerzas no 
conservativas. 
 
1. Hallar Keq(1) para los resortes en paralelo: 
𝐾gÌ()) = 𝐾) + 𝐾, = 50 + 100 = 150[𝑁 𝑚⁄ ] 
 
2. Hallar Keq(2) para los resortes en serie: 
1
𝐾gÌ(,)
=
1
𝐾-
+
1
𝐾Í
=
1
150 +
1
200 
𝐾gÌ(,) = 86[𝑁 𝑚⁄ ] 
3. Usar el teorema trabajo- energía. 
𝑊YV +𝑊_^V`d = 𝐸, − 𝐸) 
 
𝑊_^V`d = 𝐸, − 𝐸) −𝑊YV
= 𝐸­, + 𝐸­¥, − 𝐸­¥) −𝑊YV 
 
𝑊_^V`d = 𝑀𝑔𝐻 +
1
2𝐾gÌ)𝑥)
, −
1
2𝐾gÌ,𝑥,
, −𝑊YV 
4. Calcular cada uno de los términos: 
𝑀𝑔𝐻 = 𝑀𝑔(𝑑 + 𝑥))𝑠𝑒𝑛∅ = (5)(10)(4.5)𝑠𝑒𝑛40
= 145[𝐽] 
1
2𝐾gÌ)𝑥)
, =
(150)(0.5),
2 = 19
[𝐽] 
1
2𝐾gÌ,𝑥,
, =
(86)(0.6),
2 = 15
[𝐽] 
𝑊YV = −𝜇,𝑚,𝑔𝑐𝑜𝑠∅(𝑑 + 𝑥)) − 𝜇)𝑁)(𝑥 + 𝑥,) 
𝑊YV = −415[𝐽] 
5. Reemplazar: 
𝑊_^V`d = 145 + 19 + 15—415 = 564[𝐽] 
Ejemplo 4.29. Un bloque de 2.4[kg] de masa tiene una velocidad 
inicial de 3.8[m/s] dirigida hacía arriba sobre un plano rugoso 
inclinado 37º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el 
bloque y el plano es 0.30; a) Qué distancia sobre el plano sube el 
bloque?; b) ¿Cuál es su velocidad cuando llega al punto de partida en 
el viaje de regreso hacía abajo? 
 
 
 
 
Estrategia de resolución. El bloque sube una distancia x, se 
detiene un instante y luego baja. Debido a que hay pérdidas de 
energía, la velocidad con la que vuelve será menor que la velocidad 
con la que inició su movimiento; para hallar esa velocidad se debe 
considerar la realización de dos trabajos, uno de ida y el otro de 
vuelta. 
a) 1. Plantear el teorema trabajo energía. 
	
𝑊´ = 𝐸, − 𝐸) ⟹ −𝜇𝑁𝑥 = 𝑀𝑔ℎ −
1
2𝑀𝑣
, 
b) 2. Determinar el valor de N: 
Del DCL se observa: 
 
𝑁 = 𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠	37 
 
c) Calcular el valor de h por trigonometría: 
 
𝑠𝑒𝑛37 =
ℎ
𝑥 
ℎ = 𝑥𝑠𝑒𝑛37 
d) Reemplazar en la primera ecuación: 
−𝜇𝑀𝑔𝑥𝑐𝑜𝑠	37 = 𝑀𝑔𝑥𝑠𝑒𝑛37 −
1
2𝑀𝑣
, 
1
2𝑣
, = 𝑔𝑥𝑠𝑒𝑛37 + 𝜇𝑔𝑥𝑐𝑜𝑠37 
1
2𝑣
, = 𝑥𝑔(𝑠𝑒𝑛37 + 𝜇𝑐𝑜𝑠37) 
𝑥 =
𝑣,
2𝑔(𝑠𝑒𝑛37 + 𝜇𝑐𝑜𝑠37) =
(4.8),
20(𝑠𝑒𝑛37 + 𝜇𝑐𝑜𝑠37) = 1.4
[𝑚] 
 
Hallar la velocidad de vuelta. 
 
e) Calcular el trabajo de fr: 
𝑊´ = −𝜇𝑀𝑔𝑥𝑐𝑜𝑠37 = −(0.3)(2.4)(10)(1.4)𝑐𝑜𝑠37 = 8.1[𝐽] 
f) Determinar la velocidad al pie del plano :En este punto, el 
teorema trabajo-energía toma la forma: 
2𝑊´ = 𝐸Y − 𝐸e =
1
2𝑀𝑣
, −
1
2𝑀𝑣)
, 
𝑣) = ³
2
𝑀 ¼
1
2𝑀𝑣
, − 2𝑊´½ = ³
2
24º
(2.4)(4.8), − 2(8.1)
2 » 
𝑣) = 3.1[𝑚 𝑠⁄ ] 
 
 
 
Ejemplo 4.30. Se aplica una fuerza F de 100[N] sobre un bloque de 
2[kg] inicialmente en reposo, acelerándolo a razón de1[m/s2] e 
imprimiéndole una velocidad de 2[m/s]. El bloque es detenido por dos 
resortes de constantes elásticas de 100[N/m] y 200[N/m], 
respectivamente. Determinar el trabajo realizado por la fuerza F y la 
compresión máxima de cada resorte. 
 
Estrategia de resolución. Considerandoque los resortes están en 
paralelo, ambos tendrán la misma compresión y deberá hallarse Keq. 
Con los datos cinemáticos se puede encontrar el desplazamiento d y 
con él determinar el trabajo, luego se utilizará el tercer teorema 
trabajo – energía para conocer el valor de la compresión x. 
1. Hallar la constante equivalente: 
 
𝐾gÌ = 𝐾) + 𝐾, = 100 + 200 = 300[𝑁 𝑚⁄ ] 
 
2. Determinar el desplazamiento: 
 
𝑣, = 𝑣e, + 2𝑎𝑑 
 
𝑑 =
𝑣,
2𝑎 = 2
[𝑚] 
 
3. Calcular el trabajo realizado por la fuerza externa F: 
 
𝑊´ = �⃗� ∘ 𝑑 = 𝐹𝑑 = (100)(2) = 200[𝐽] 
 
4. Plantear el teorema trabajo – energía: 
 
𝑊´ = 𝐸, − 𝐸) 
 
𝑊´ = 𝐸­¥ + 𝐸¡ =
1
2𝐾𝑥
, +
1
2𝑚𝑣
, 
 
5. Despejando x y reemplazando datos se tiene: 
 
𝑥 = 1.14[𝑚] 
Ejemplo 4.31. En el sistema de la figura, un bloque de 0.5[kg] 
comprime 0.2[m] al resorte de constante elástica K1=1000[N/m] que 
se encuentra en la parte más baja. El bloque recorre la trayectoria 
escalonada encontrándose sobre la superficie todo el tiempo, en 
dicha trayectoria sólo existe rozamiento en el segundo escalón, los 
otros dos son completamente lisos; al llegar a la parte superior, 
comprime al resorte de constante K2 y regresa a la parte inferior 
donde nuevamente comprime al resorte de K1. ¿Cuál es la distancia 
comprimida por el resorte en el viaje de vuelta? 
 
Estrategia de resolución. Es preciso notar que el bloque recorre dos 
veces la trayectoria mostrada, una vez en la subida y la otra en la 
bajada, por tanto, la fuerza de rozamiento realizará dos trabajos 
idénticos. Se aplicará el tercer teorema trabajo – energía en el punto 
A, puesto que se está considerando el ciclo completo de ida y vuelta. 
1. Plantear el teorema trabajo – energía: 
 
2𝑊´ = 𝐸�¥¦(��ga^`) − 𝐸�¥¦(��`) 
2𝑓V ∘ 𝑑 =
1
2𝐾𝑥
, −
1
2𝐾𝑥)
, 
 
−2𝜇𝑁𝑑 =
1
2𝐾𝑥
, −
1
2𝐾𝑥)
, 
 
𝑥) = ³
𝐾𝑥), − 2𝜇𝑁𝑑
𝐾 
Pero N = mg