teoria y problemas fisica (60)

Vista previa del material en texto

a) Si se representa a la atracción gravitacional mediante fuerzas, 
estas fuerzas son paralelas. 
b) Si se tiene un cuerpo homogéneo, todas las partículas de éste 
tienen la misma atracción, es decir, la aceleración de la gravedad 
es constante. 
El centro de gravedad de un cuerpo tiene una posición que estará 
representada por las coordenadas del centro de gravedad: XCG e YCG. 
	𝑟%%⃗ #? = @𝑥#?, 	𝑌#?A 
Con: 
		𝑥#? =
𝑔∑𝑚6𝑥6
𝑀𝑔 
	𝑌#? =
𝑔∑𝑚6𝑦6
𝑀𝑔 
Centroide de Figuras planas. 
También pueden encontrarse los centroides de figuras planas, 
considerando que éstos se encuentran en el centro del área de la que 
se quiere conocer la posición, adaptando las ecuaciones 6.3 y 6.4, de 
la siguiente manera: 
 
𝑋D =
∑𝐴6𝑥6
∑𝐴6
 
𝑌D =
∑𝐴6𝑦6
∑𝐴6
 
Ejemplo 5.1. Ubicar el centro de masa del sistema de cuatro 
partículas que se encuentran colocadas como muestra la figura, si m1 
= 1[Kg]; m2 = 2[Kg]; m3 = 3[Kg] y m4 = 4[Kg]. 
 
Estrategia de resolución. Se utilizará la ecuación 5.1 (para 
determinar la masa total del centro de masa) y las ecuaciones 5.3 y 
5.4 para encontrar cada una de las coordenadas del centro de masa, 
luego se ubicará el vector posición. 
1. Hallar la masa total. 
𝑀 = 𝑚. +𝑚0 +𝑚3 +𝑚F 
𝑀 = (1 + 2 + 3 + 4) = 10[𝑘𝑔] 
2. Encontrar xcm: 
 
𝑋#$ =
𝑚.𝑥. +𝑚0𝑥0 +𝑚3𝑥3 +𝑚F𝑥F
𝑀 =
4.2
1 = 4.2 
3. Determinar Ycm: 
𝑌#$ =
𝑚.𝑦. +𝑚0𝑦0 +𝑚3𝑦3 +𝑚F𝑦F
𝑀 =
3.6
1 = 3.6 
4. Ubicar el centro de masa: 
𝑟 = (4.2[𝑚]; 	3.6[𝑚]) 
 
Comentarios. Puede notarse que, a pesar de que las partículas 
forman un cuadrado, el centro de masa no se encuentra en el centro 
de esa figura geométrica, puesto que se desplaza hacia arriba y hacia 
la derecha debido a que en los puntos (3) y (4) las masas son 
mayores. 
Ejemplo 5.2. Ubicar el centro de masa del cuerpo mostrado en la 
figura siguiente. 
Estrategia de Resolución. Se colocará un sistema de ejes 
coordenados. Teniendo en cuenta que lo que se desea calcular es el 
centro de masa de la figura achurada y considerando que el centro de 
masa de una figura plana se encuentra en su centro geométrico, se 
determinarán las áreas del cuadrado y del triángulo y se restarán 
para hallar el área de la figura y su centro de masa. 
 
1. Calcular el area achurada: 
𝐴 = 𝐴#RST8STU − 𝐴W86á5?RYU = 𝑎0 −
𝑎0
2 
𝐴 =
𝑎0
2 
2. Hallar las coordenadas Xcm,Ycm 
𝑋#$ =
𝐴.𝑥. − 𝐴0𝑥0
𝐴 =
(𝑎0) [S
0
\ − [S
]
0
\ [S
0
\
S]
0
 
												𝑋#$ =
𝑎
2 
	
					𝑌#$ =
𝐴.𝑦. − 𝐴0𝑦0
𝐴 =
(𝑎0)[S
0
\ − [S
]
0
\ [^
_
𝑎\
S]
0
 
𝑌#$ =
𝑎
6 
3. Ubicar el centro de masa: 
𝑟#$ = [
𝑎
2 ,
𝑎
6\ 
Ejemplo 5.3. Calcular en centro de masa de una barra uniforme. 
 
Estrategia de Resolución. Primero se establece un sistema de 
coordenadas, colocando el eje X a lo largo de la barra y con el origen 
en uno de sus extremos. La densidad lineal l será igual a la masa 
por unidad de longitud de la barra. 
 
Puesto que la barra es uniforme, su densidad lineal l (distribución de 
masa con respecto a la longitud L de la barra) puede escribirse como: 
𝜆 =
𝑀
𝐿 
El elemento de masa dm seleccionado tiene una longitud dx a una 
distancia x. 
Debido a que M es la masa total de la barra, dm será: 
 
𝑑𝑚 = 𝑀
𝑑𝑥
𝐿 =
𝑀
𝐿 𝑑𝑥 
𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑥 
De acuerdo a la ecuación 5.5, se tiene: 
𝑀𝑋#$ = b𝑥𝑑𝑚 = b 𝜆𝑥𝑑𝑥 =
c
d
	𝜆
𝐿0
2 
Remplazandol, se obtiene: 
𝑋#$ =
𝜆𝐿0
2𝑀 =
𝑀
𝐿 e
𝐿0
2𝑀f =
1
2𝐿 
 
5.3.1.	VELOCIDAD	DE	UN	SISTEMA	DE	
PARTÍCULAS	
 
Para un conjunto de partículas, con masas m1, m2, m3, ......, mn todas 
ellas en movimiento, es decir, cada una cambiando de posición y, 
definiendo de esta manera el vector desplazamiento, el mismo que 
controlado por una variable temporal proporciona la velocidad, como se 
muestra en la figura 5.5; si consideramos además, que el centro de 
masa concentra la masa de todas las partículas, la masa total será: 
 
 
Por otra parte se sabe que: 
𝑀�⃗�#$ = 𝑚.𝑟. +𝑚0𝑟0 +𝑚3�⃗�3 +⋯+𝑚5𝑟5 
 
Derivando la última ecuación respecto al tiempo: 
𝑀𝑑�⃗�#$
𝑑𝑡 =
𝑚.𝑑𝑟.
𝑑𝑡 +
𝑚0𝑑𝑟0
𝑑𝑡 +
𝑚3𝑑𝑟3
𝑑𝑡 +⋯+
𝑚5𝑑𝑟5
𝑑𝑡 
 
Dado que la variación de la posición respecto al tiempo es la 
velocidad, la ecuación anterior se convierte en: 
𝑀�⃗�#$ = 𝑚.�⃗�. +𝑚0�⃗�0 +𝑚3�⃗�3 +⋯+𝑚5𝑣5%%%%⃗ (5.6) 
 
Por tanto, la velocidad del centro de masa será: 
 
�⃗�#$ =
$ij%⃗ ik$]j%⃗ ]k$lj%⃗ lk⋯k$mjm%%%%⃗
<
 (5.7) 
 
5.3.2.	ACELERACIÓN	DEL	CENTRO	DE	
MASA	
 
 
Para hallar la aceleración del centro de masa de un sistema de 
partículas, vamos a dderivar la ecuación 6.6 con respecto al tiempo, 
obteniendo: 
𝑀�⃗�#$ = 𝑚.�⃗�. +𝑚0�⃗�0 +𝑚3�⃗�3 +⋯+𝑚5𝑎5%%%%⃗ (5.8) 
La fuerza resultante que actúa sobre cualquier partícula resulta: 
 �⃗�6 		= 𝑚6𝑎6																																												(5.9)