teoria y problemas fisica (44)

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CAPÍTULO 4 
 
TRABAJO, 
ENERGÍA Y 
CONSERVACIÓN 
DE LA ENERGÍA 
4.1.	PRODUCTO	ESCALAR	DE	DOS	
VECTORES	
 
El producto escalar de dos vectores, llamado también producto interno, 
da como resultado un "escalar". Su significado físico es la proyección 
de un vector sobre otro. Sean los vectores �⃗� = (a1,a2,a3) y 𝐵$⃗ = 
(b1,b2,b3).Se define el producto escalar de 𝐴𝑦𝐵$⃗ de la siguiente forma: 
𝐴°𝐵$⃗ = 𝑎)𝑏) + 𝑎,𝑏, + 𝑎-𝑏- (4.1) 
Por ejemplo, sean los vectores 𝐴 = (2,7,1) y 𝐵$⃗ = (3,0,2), el 
producto escalar de 𝐴°𝐵$⃗ será: 
𝐴°𝐵$⃗ = (2,7,1)°(3,0,2) = (2)(3) + (7)(0) + (1)(2) = 8 
Geométricamente, puede demostrarse que el producto escalar de dos 
vectores𝐴𝑦𝐵$⃗ es igual al producto de las magnitudes de ambos 
vectores multiplicadas por el ángulo que ellos forman entre sí, es decir: 
𝐴°𝐵$⃗ = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 (4.2) 
Para demostrar este ultimo postulado, consideremos los vectores y 
 que se muestran en la figura 4.1.a. En esta situación, siempre es 
posible hacer coincidir uno de los vectores con uno de los ejes 
coordenados tal como se muestra en la figura 4.1.b. 
 
 
El vector𝐵$⃗ puede ser expresado entonces como 𝐵$⃗ = (𝐵, 0), mientras 
que el vector𝐴ser á 𝐴 = (𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃).Entonces, 
 
𝐴°𝐵$⃗ = (𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃) + (𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃)(0) = (𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃) 
 
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 
El producto escalar cumple con las siguientes propiedades: 
i) 𝐴°𝐵$⃗ = 𝐵$⃗ °�⃗� (Propiedad conmutativa) 
ii) 𝐴°=𝐵$⃗ + 𝐶? = 𝐴°𝐵$⃗ + �⃗�°𝐶 (Propiedad distributiva del producto 
escalar respecto a la suma). 
iii)𝑚=𝐴°𝐵$⃗ ? = =𝑚�⃗�?°𝐵$⃗ = 𝐴°=𝑚𝐵$⃗ ? = =𝐴°𝐵$⃗ ?𝑚 con m = escalar 
iv) 
�̂�°�̂� = 𝚥°̂𝚥̂ = 𝑘E°𝑘E = 1 
�̂�°𝚥̂ 	= 𝚥°̂𝑘E = 𝑘E°𝚤Ĝ = 0 
v) 𝐴°𝐵$⃗ = 𝐴, 
vi) Si 𝐴 	⊥ 𝐵$⃗ ⟹ 𝐴°𝐵$⃗ = 0 
A
!
B
!
 
 
 
vii) 𝐴°𝐵$⃗ = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 
En física, el trabajo efectuado por una fuerza constante�⃗� al 
desplazar un objeto una distancia �⃗� es el producto escalar de la 
fuerza aplicada por la distancia que se ha desplazado el objeto. 
 
4.2.	TRABAJO	REALIZADO	POR	UNA	
FUERZA	CONSTANTE	
 
En este capítulo se trata de ya no trabajar con vectores, para ello, en 
general, se los convierte en escalares. Una de las tres leyes 
universales que examinaremos posteriormente es la “Ley de la 
Conservación de la Energía”; para entender esta ley es preciso 
conocer y entender bien lo que es el trabajo. 
El concepto de trabajo que todos tenemos es el de realizar actividad, 
por ejemplo, tu que te encuentras resolviendo problemas de física 
durante una noche entera, puesto que mañana es el examen y lo 
quieres aprobar, después de haberlo rendido bien te sientes muy 
cansado. La pregunta es ¿realizaste trabajo?, la respuesta la verás 
enseguida. En física se el trabajo efectuado por una 
fuerza�⃗�constante, al desplazar un objeto a una distancia�⃗�se define 
como el producto escalar de la fuerza aplicada por la distancia que se 
ha desplazado el objeto. 
𝑊 = �⃗�°�⃗�(4.3) 
 
Aplicando la propiedad (vii) del producto escalar, la ecuación (4.1) 
toma la forma de: 
𝑊 = 𝐹𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 (4.4) 
 
Siendo q el ángulo que forma con el eje x y el desplazamiento 
generado por la fuerza sobre el objeto. ¿Te diste cuenta que el 
trabajo es un escalar en el que tienen que ver los vectores fuerza y 
desplazamiento? Es decir, se han convertido dos vectores en un 
escalar.Consideremos el caso de la figura 4.2, en la que un 
muchacho jala una caja con una fuerza�⃗� que forma un ángulo q con 
la horizontal; por efecto de esta fuerza el desplazamiento de la caja 
es �⃗�. De acuerdo a la ecuación 4.2, solamente la componente 
horizontal de la fuerza aplicada sobre la caja realizará trabajo. 
 
Entonces, para que se realice un trabajo mecánico deben darse 
ciertas condiciones: 
- Debe existir una fuerza. 
- Debe existir un desplazamiento. 
- El ángulo que forman la fuerza y el desplazamiento debe ser el 
adecuado (veremos en seguida que significa “el adecuado”. 
Las unidades del trabajo en el SI son [Nm], a esta unidad se le llama 
julio y se la expresa como [J]. 
Para entenderlo mejor, analizaremos las siguientes figuras: 
 
En la figura 4.3.a, una persona de 600[N] de peso, está parada en el 
piso agarrando en sus brazos un bloque de 500[N]. ¿Cuánto trabajo 
realiza? Dado que el trabajo es el producto de la fuerza por el 
desplazamiento, se utilizará la ecuación (4.4) para calcular el trabajo. 
Existen algunas fuerzas aplicadas sobre el bloque. La persona logra 
desplazar al citado bloque aplicando una fuerza, el peso y una fuerza 
reactiva. Consideremos sólo al peso mg = 500[N], el desplazamiento es 
cero, entonces el trabajo será: 
𝑊 = 𝐹𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 = (500[𝑁])(0) = 0 
F
! x!
 
 
 
En conclusión, en estas condiciones no se realiza trabajo porque no 
haydesplazamiento. 
En la figura 4.3.b, la persona con el bloque en sus brazos, se 
desplaza 1000[m], en estas condiciones el trabajo realizado por la 
fuerza “peso” será también cerodebido a que, aunque hay fuerza y 
desplazamiento, la fuerza forma un ángulo de 90º con dicho 
desplazamiento =�⃗� ⊥ �⃗�?, utilizando la propiedad del producto 
escalar se tiene: 
𝑊 = 𝐹𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 = (500[𝑁])(1000[𝑚])𝑐𝑜𝑠90º = 0 
 
Cuando la fuerza es perpendicular a la distancia, no se realiza 
trabajo. 
En la figura 4.3.c, la persona, ya cansada de cargar con el bloque, lo 
deposita en el piso que se encuentra a 1.5[m] de altura desde sus 
brazos, el trabajo realizado en esta situación será: 
𝑊 = 𝐹𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 = (500[𝑁])(1.5[𝑚])𝑐𝑜𝑠0º = 750[𝐽] 
 
¿Por qué 0º? Pues porque tanto (mg) como el desplazamiento del 
bloque están dirigidos hacía abajo, por tanto, ambos forman un 
ángulo de 0º, siendo el cos0º = 1. En este caso si se realiza trabajo 
positivo puesto que�⃗� y 𝑥 tienen la misma dirección. 
Si la persona vuelve a levantar el bloque (figura 4.3.d), la fuerza sigue 
dirigida hacía abajo, pero el vector desplazamiento está dirigido hacía 
arriba. El ángulo que forman los dos vectores es de 180º, cuyo 
coseno vale –1. El trabajo realizado será: 
𝑊 = 𝐹𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 = (500[𝑁])(1.5[𝑚])𝑐𝑜𝑠180º = −750[𝐽] 
 
Podemos ver entonces que el trabajo puede ser negativo. 
¿Te diste cuenta de que el concepto común de trabajo no 
corresponde a su definición física?, el trabajo en física no significa 
cansancio, en los dos primeros casos, aunque la persona con la 
carga en sus brazos esté muy cansada, no realiza trabajo. Tú que te 
amaneciste estudiando física para el examen NO realizaste trabajo, 
físicamente no, pues ni siquiera te moviste. Es preciso señalar que 
el trabajo es realizado por una fuerza ¡SIEMPRE!, es decir, cada 
fuerza es susceptible de realizar trabajo. Si sobre un cuerpo actúan 
muchas fuerzas, cada una de ellas realiza trabajo y, el trabajo total 
es la suma de todos los trabajos realizados por cada una de las 
fuerzas.Consideremos la figura 4.4. 
 
Las fuerzas que actúan son: �⃗� (fuerza que arrastra al bloque), 𝑓V 
(fuerza de rozamiento, 𝑚𝑔 (peso del bloque) y 𝑁$$⃗ (fuerza normal 
debida alapoyodel bloque está en el piso). Dado que existen cuatro 
fuerzas, existirán cuatro trabajos, puesto que cada fuerza puede 
efectuar un trabajo. Los trabajos realizados por las diferentes fuerzas 
serán: 
𝑊X = 𝐹𝑥𝑐𝑜𝑠0º = 𝐹𝑥 
𝑊YV = 𝑓V𝑥𝑐𝑜𝑠180º = −𝑓V𝑥 = −𝜇𝑁𝑥 
𝑊[\ = 𝑚𝑔𝑥𝑐𝑜𝑠90º = 0 
𝑊] = 𝑁𝑥𝑐𝑜𝑠90º = 0 
 
El trabajo total realizado será: 
𝑊_^`a = 𝑊X +𝑊YV +𝑊[\ +𝑊] 
𝑊_^`a = 𝐹𝑥 − 𝜇𝑁𝑥 + 0 + 0 = (𝐹 − 𝜇𝑁)𝑥 
 
En este caso el peso no realiza trabajo por ser perpendicular al 
desplazamiento (en el ejemplo anterior vimos que el peso puede 
realizar trabajo). 
La normal tampoco realiza trabajo ¡nunca! Esto debido a que para 
que efectúe trabajo el cuerpo deberá moverse en la misma dirección