teoria y problemas fisica (48)

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𝐸¢¤ =
1
2𝑀
(−𝑣e), =
1
2𝑀𝑣e
, 
El ciclo completo se da cuando la pelota sale del punto (1) y llega al 
mismo lugar (3), puesto que EK1 = EK3, podemos decir que la energía 
cinética se ha conservado. La única fuerza que actúa sobre la pelota 
es el peso de la misma, por ello, el peso es una fuerza 
conservativa. 
Otro ejemplo nos lo proporciona la fuerza elástica del resorte, 
consideremos la siguiente figura: 
En la situación (1) se tiene un resorte de constante K que se 
encuentra en su estado natural, al mismo se acerca un bloque de 
masa M y lo choca con velocidad v negativa, (considerando el sentido 
positivo hacía la derecha); en la situación (2), por efecto del choque 
con el bloque que se moverá hasta detenerse, el resorte se comprime 
y se presenta una fuerza elástica que tiende a restituir al resorte a su 
estado original, cabe señalar que esta fuerza está siempre dirigida a 
la derecha ya que el resorte se resiste a ser comprimido, finalmente, 
esta fuerza empuja al bloque, de manera que al llegar a la situación 
(3) el bloque llega al punto de partida, con la misma velocidad que 
tenía antes del choque, pero en sentido contrario, o sea, positiva. 
 
Las energías cinéticas en las tres situaciones serán: 
𝐸¡) =
1
2𝑀
(−𝑣), =
1
2𝑀𝑣
, 
𝐸¡- =
1
2𝑀𝑣
, 
Como 𝐸¡) = 𝐸¡-, la energía cinética se conserva en un viaje de ida 
y vuelta, por tanto, la fuerza elástica del resorte es una fuerza 
conservativa. 
 
4.6.2.	Criterio	del	Trabajo	
 
Este criterio señala que una fuerza es conservativa cuando el trabajo 
total en un ciclo completo vale cero.Comprobemos mediante este 
criterio que el peso es una fuerza conservativa. Vamos a la figura 
correspondiente (4.9): 
El trabajo realizado entre los puntos (1) y (2) –trabajo de ida- será 
realizado por el peso (vector dirigido hacía abajo), mientras que el 
desplazamiento de la pelota está dirigido hacía arriba (la pelota 
sube), los vectores forman un ángulo de 180º entre sí, por tanto, en la 
subida el trabajo es negativo. Entre los puntos (2) y (3) (vuelta), con 
lo cual se completa el ciclo, tanto el peso como el desplazamiento se 
dirigen hacía abajo formando un ángulo de 0º, produciendo un trabajo 
positivo: 
 
𝑊),, = 𝑚𝑔ℎ𝑐𝑜𝑠180 = −𝑚𝑔ℎ 
𝑊,,- = 𝑚𝑔ℎ𝑐𝑜𝑠0 = 𝑚𝑔ℎ 
El trabajo total es la suma de los trabajos parciales: 
𝑊b = 𝑊),, +𝑊,,- = −𝑚𝑔ℎ +𝑚𝑔ℎ = 0 
 
 
 
 
¡Se cumple la condición!, por tanto confirmamos que el peso es una 
fuerza conservativa. 
En el caso de la fuerza elástica del resorte, veamos la figura 4.12: 
 
La fuerza elástica estará siempre dirigida en sentido de oposición a 
su compresión (hacía la derecha en este caso). Entre las situaciones 
(1) y (2) (fase de ida) el desplazamiento se dirige hacía la izquierda, 
por ello, el trabajo será negativo. En la fase de vuelta, es decir en las 
situaciones (2) y (3), el vector desplazamiento se dirige a la derecha, 
por tanto, ambos vectores tienen el mismo sentido, generando un 
trabajo positivo: 
𝑊��` = 𝐹¥𝑥𝑐𝑜𝑠180 = −𝐹¥𝑥 
 
𝑊��ga^` = 𝐹¥𝑥𝑐𝑜𝑠0 = 𝐹¥𝑥 
 
𝑊b = 𝑊��` +𝑊��ga^` = −𝐹¥𝑥 + 𝐹¥𝑥 = 0 
 
Confirmando que la fuerza del resorte es una fuerza conservativa. 
4.6.3.	Criterio	de	la	trayectoria.	
 
De acuerdo a este criterio, el trabajo realizado por una fuerza 
conservativa al mover un cuerpo desde un punto (1) hasta un punto 
(2), solo depende de los puntos y no de la TRAYECTORIA seguida 
por él.Puesto que ya hemos comprobado que el peso es una fuerza 
conservativa, vamos a ver este criterio utilizando el peso. 
Supongamos que una partícula se mueve desde el punto (1) hasta el 
punto (2), por las tres trayectorias (A), (B) y (C) de la figura 
4.12.Calculemos el trabajo realizado cuando la partícula se mueve 
por la trayectoria (A): 
𝑊¦ = −𝑚𝑔ℎ 
 
En el caso B, la partícula debe pasar por todos los puntos de la 
trayectoria, el trabajo total realizado será el trabajo efectuado cuando 
sube la altura h y los trabajos que se producen debido a los 
desplazamientos horizontales; se debe notar que todos esos 
desplazamientos horizontales forman ángulos de 90º con el peso: 
𝑊§ = 𝑊�gV^�c`a +𝑊 _V�©_h^`a 
𝑊§ = 𝑚𝑔ℎ𝑐𝑜𝑠180 +�(𝑚𝑔𝑥�) 𝑐𝑜𝑠90 
pero: 
�(𝑚𝑔𝑥�) 𝑐𝑜𝑠90 = 0 
Por tanto, el trabajo realizado por la trayectoria (B) será: 
𝑊§ = −𝑚𝑔ℎ 
Lo mismo pasará cuando la partícula va de (1) a (2) por la trayectoria 
(C), el trabajo realizado será: 
𝑊ª = −𝑚𝑔ℎ 
Eltrabajo del peso (fuerza conservativa) no depende de la 
trayectoria. 
 
 
 
4.7		ENERGÍA	POTENCIAL	(EP)	
 
La energía potencial es usada solamente para fuerzas 
conservativas, es decir, para el peso y para la fuerza elástica del 
resorte. Se define la energía potencial como “la capacidad que tiene 
una fuerza de realizar trabajo sobre una partícula en virtud de su 
posición”. Es decir, para que haya energía potencial debe existir una 
distancia respecto al origen de un sistema de referencia. Una fuerza 
conservativa, en función de la EP, se define como: 
 
𝐹 = −�«¬
�m
 (4.11) 
 
Si nos remitimos a la figura 4.10, en el punto (1) tendremos una EP1, 
en tanto que, en el punto (2), la energía potencial será EP2; la 
posición x variará entre 0 y h, entonces: 
−𝑑𝐸­ = 𝐹𝑑𝑥 
 
Integrando esta ecuación tenemos: 
 
−∫ 𝑑𝐸­
«¬|
«¬n
= 𝐹 ∫ 𝑑𝑥m|mn (4.12) 
 
4.7.1.	Energía	Potencial	Gravitacional	
(Ep)	
 
Como ya se señalo, solamente se puede definir la energía potencial 
cuando las fuerzas son conservativas. Cuando la fuerza conservativa 
es el peso, se tiene energía potencial gravitacional.Supongamos 
que una pelota es lanzada hacía abajo desde el punto (1) hasta el 
punto (2), como muestra la figura 4.12: 
 
La única fuerza F que actúa es el peso “mg”. 
De la ecuación 4.12 y tomando como origen del sistema de 
referencia el punto (2) de menor altura. Para determinar los límites de 
integración, observemos la figura 4.12. Para EP1, la altura es h, 
mientras que, para EP2, la altura es cero. Reemplazando estos 
valores en la ecuación anterior tenemos: 
−l 𝑑𝐸­
«¬|
«¬n
= −𝑚𝑔l 𝑑𝑥
e
¨
 
Integrando esta ecuación se tiene: 
−(𝐸­, − 𝐸­)) = 𝑚𝑔ℎ 
−∆𝐸­ = 𝑚𝑔ℎ 
Si EP2 = 0, se tiene que la energía potencial gravitacional está dada 
por: 
𝐸­ = 𝑚𝑔ℎ (4.13) 
Por otra parte, el trabajo realizado por el peso será: 
𝑊 = 𝑚𝑔ℎ𝑐𝑜𝑠0 = 𝑚𝑔ℎ 
Comparando las dos últimas ecuaciones: 
𝑊 = −(𝐸­, − 𝐸­)) 
𝑊 = −∆𝐸­ (4.14)