teoria y problemas fisica (51)

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que su trayectoria es circular, plantear las ecuaciones de movimiento 
para ese tipo de movimiento, resolver el sistema de ecuaciones para 
determinar lo solicitado. 
Escribir las ecuaciones de movimiento circular: 
�𝐹c =𝑚𝑎c 
𝑁 −𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑚𝜔,𝑅 
�𝐹 =𝑚𝑎^ 
−𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑚𝛼𝑅 
Hallar el ángulo β: 
𝛽 = 120 − 90 = 30e =
𝜋
6 
Determinar la aceleración angular a: 
𝛼 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡 
Reemplazar la última ecuación en el segunda: 
−𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑚
𝑑𝜔
𝑑𝑡 𝑅 
Multiplicar la última ecuación por 𝑑𝛽: 
−𝑔𝑠𝑒𝑛𝛽𝑑𝛽 = 𝑅𝜔𝑑𝜔 
Integrar esta ecuación: 
−𝑔l 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑑𝛽 = l 𝑅𝜔𝑑𝜔
Á
e
Â
Ã
�Â|
 
−𝑔(−𝑐𝑜𝑠𝛽)|
�Â|
Â
à = 𝑅
𝜔,
2 �e
Á
 
𝑔𝑐𝑜𝑠30 = 𝑅
𝜔,
2 
𝜔, =
2𝑔𝑠𝑒𝑛30
𝑅 
Reemplazando valores: 
𝜔 = 4.3[𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ ] 
Para calcular N, se utilizará la ecuación 1, reemplazando en ella ω: 
𝑁 = 𝑚𝜔,𝑅 +𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽 
𝑁 = 5.2[𝑁] 
 
Determinación de la masa de un resorte colgado. 
Cuando un resorte se encuentra colgado (en posición vertical), se 
alarga levemente por efecto de la masa del mismo, razón por lo cual, 
ésta no puede ser obviada pero ¿se deberá tomar toda la masa del 
resorte?, ¿ la mitad?, veamos. Supongamos el resorte de la figura 
que se encuentra oscilando, la velocidad de todo el resorte no va a 
ser la misma, puesto que aumenta desde el extremo fijo hasta el 
extremo libre, donde tiene la velocidad máxima ve. La velocidad en 
cualquier punto estará dada por la relación: 
𝑣 = 𝑣g
𝑦
𝐿 
Tomemos, además, un elemento de masa dm que tendrá una 
elongación dy 
 
La energía cinética en este caso será: 
 
 
 
𝑑𝐸¡ =
1
2𝑣
,𝑑𝑚 
La densidad lineal que es la relación de la masa por unidad de 
longitud estará dada por: 
𝜆 =
𝑑𝑚
𝑑𝑦 ⟹ 𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑦 
Reemplazando la segunda en la primera: 
𝑑𝐸¡ =
1
2𝑣g
, º
𝑦,
𝐿,»𝑑𝑚 =
1
2
𝑣g,𝜆
𝐿, 𝑦
,𝑑𝑦 
Si el estiramiento total es L, los límites de integración de y son 0 y L. 
Integrando la ecuación: 
l𝑑𝐸¡ =
1
2
𝑣g,𝜆
𝐿, l 𝑦
,𝑑𝑦
Æ
e
 
𝐸¡ =
1
2
𝑣g,𝜆
𝐿, º
𝐿-
3 » =
1
2¼
𝜆𝐿
3 ½𝑣g
, 
Pero 
𝑀 = 𝜆𝐿 
Entonces, la energía cinética será: 
𝐸¡ =
1
2¼
𝑀
3½𝑣g
, 
Siendo M la masa del resorte lL, la masa del resorte que contribuye 
a su estiramiento es: 
																																							𝑚c =
f
-
																																									(4.19) 
Ejemplo 4.16.¡Trata de resolver! Un resorte de constante K = 
200[N/m] cuelga verticalmente. Un bloque de masa m = 5[Kg] se ata 
al extremo del resorte de masa mR = 0.5[Kg], sin deformar y se suelta 
el sistema desde el reposo. Determinar la máxima distancia d que 
cae el bloque antes de que comience a moverse hacía arriba. 
Estrategia de resolución. Debido a que el resorte está ya elongado 
por efecto de su masa, ésta debe contribuir a la masa total en mR/3. 
Cuando el bloque inicia su movimiento, la velocidad se incrementa al 
principio y luego decrece hasta llegar a cero cuando alcanza el punto 
más bajo. Las fuerzas que actúan “mg” y “FR” son fuerzas 
conservativas, por tanto, se conserva la energía mecánica. 
Elegiremos el nivel de referencia es su posición original, es decir, y = 
0, en esta posición la energía mecánica total es cero puesto que no 
se tiene velocidad, altura ni elongación. 
 
 Escribir la ecuación de la energía mecánica: 
 
𝐸 = 𝐸¡ + 𝐸­ + 𝐸­¥ 
 
𝐸 =
1
2𝑚𝑣
, −𝑚𝑔𝑦 +
1
2𝐾𝑦
, 
 
 Aplicar la conservación de la energía mecánica: 
 
𝐸 = 𝐸) = 0 
 
1
2𝑚𝑣
, −𝑚𝑔𝑦 +
1
2𝐾𝑦
, = 0 ⟹
1
2𝐾𝑦 −𝑚𝑔 = 0 
 
 Hallar y: 
𝑦 =
2𝑚𝑔
𝐾 =
2=𝑚 +𝑚¥ 3z ?
𝐾 =
2´5 + 0.5 3z µ10
200 
Ejemplo 4.17.¡Trata de resolver! El bloque de 1[kg] de masa 
mostrado en la figura puede deslizar libremente sin rozamiento sobre 
el alambre en forma de cuarto de elipse, dicho bloque está unido a un 
resorte cuya longitud normal es Lo = 0.3[m] y cuya constante elástica 
 
 
 
es de 300.0[N/m]. Si el bloque parte del reposo en el punto A, calcular 
la velocidad del bloque cuando pasa por el punto B, si a = 0.5[m] y b 
= 0.8[m]. 
Estrategia de resolución. Puesto que no se presenta ni rozamiento 
ni fuerza externa alguna, se colige que se conserva la energía 
mecánica. Puesto que los puntos de conservación ya están indicados 
en la figura, se planteará la conservación de la energía mecánica en 
ellos, considerando que en el punto A el resorte se encuentra 
comprimido, por tanto existe energía potencial elástica y, además, se 
encuentra a una altura que origina energía potencial gravitacional, en 
tanto que en el punto B, el resorte está estirado, generando energía 
potencial elástica y, debido a que el bloque tiene velocidad, habrá 
energía cinética. 
 
 
 Aplicar el principio de conservación de la energía 
mecánica entre los puntos A y B. 
𝐸¦ = 𝐸§ 
1
2𝐾𝑥¦
, +𝑚𝑔𝑎 =
1
2𝐾𝑥§
, +
1
2𝑚𝑣§
, 
 Determinar las deformaciones del resorte en los dos 
puntos. 
𝑥¦ = 𝑙e − 𝑎 = 0.6 − 0.5 = 0.1[𝑚] 
𝑥§ = 𝑏 − 𝑙e = 0.8 − 0.6 = 0.2[𝑚] 
 Despejar la velocidad. 
 
𝑣§ = ³
2𝑚𝑔𝑎 + 𝐾(𝑥¦, − 𝑥§,)
𝑚 
Reemplazando valores se obtiene: 
 
𝑣§ = 0.9[𝑚 𝑠⁄ ] 
Ejemplo 4.18.¡Trata de resolver! Un bloque de 1.0 [kg] desliza por un 
dispositivo sin rozamiento que, a la vez, está unido a un resorte de 
longitud natural L0 = 0.3 [m] cuya constante elástica es de 150.0 
[N/m]. En la posición mostrada en la figura la velocidad del bloque es 
de 10.0 [m/s]. (a) Determinar la velocidad del bloque en el punto B; 
(b) Calcular la energía mecánica en el punto B. 
 
Estrategia de resolución. Igual que en el ejemplo anterior, al no 
existir fuerzas externas, se conserva la energía mecánica, por lo que 
deberá plantearse esa conservación. 
 Plantear la conservación de la energía mecánica 
𝐸¦ = 𝐸§ 
 
1
2𝐾𝑥¦
, +𝑚𝑔ℎ +
1
2𝑚𝑣¦
, =
1
2𝐾𝑥§
, +
1
2𝑚𝑣§
, 
 Determinar las deformaciones. 
𝑥¦ + 𝑙e = 0.45[𝑚] 
 
𝑥¦ = 0.45 − 0.30 = 0.15[𝑚]