teoria y problemas fisica (61)

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Aplicando la segunda ley de Newton, se tiene: 
𝑀�⃗�#$ = �⃗�. + �⃗�0 + �⃗�3 +⋯+ 𝐹5%%%⃗ (5.10) 
Considerando la ecuación 5.10 se puede enunciar que el centro de 
masa de un sistema de partículas se mueve como si toda la masa del 
sistema y todas las fuerzas externas se concentran en dicho punto. 
Por otra parte, la masa total del conjunto de partículas multiplicada por 
la aceleración de su centro de masa es igual a la suma vectorial de 
todas las fuerzas que actúan sobre el conjunto de partículas. 
Las fuerzas que actúan sobre una partícula pueden ser de dos tipos: 
fuerzas externas y fuerzas internas, entre estas últimas se pueden 
citar las de atracción y las de repulsión entre partículas, las mismas 
que se presentan en pares de fuerzas iguales y opuestas que, por tener 
esa característica, se anulan por pares y, por tanto, no se toman en 
cuenta, razón por la cual, el segundo miembro de la ecuación 
representa solamente la suma de las fuerzas externas que actúan 
sobre todas las partículas, como se puede observar en la figura, es 
decir: 
𝑀𝑑𝑣#$
𝑑𝑡 =
𝑚.𝑑�⃗�.
𝑑𝑡 +
𝑚0𝑑�⃗�0
𝑑𝑡 +
𝑚3𝑑𝑣3
𝑑𝑡 …+
𝑚5𝑑�⃗�5
𝑑𝑡 
 
𝑀�⃗�#$ = ∑ �⃗�p:Wp85Sq + ∑ �⃗�65Wp85Sq(5.11) 
Pero ∑ �⃗�65Wp85Sq = 0, entonces: 
𝑀�⃗�#$ = ∑ �⃗�p:Wp85Sq																																																										(5.12) 
Ejemplo 5.4. Un proyectil se lanza en el aire con una velocidad de 
25[m/s] formando un ángulo de 30º con la horizontal. Cuando llega a 
su altura máxima, explota en dos fragmentos cuyas masas son 
iguales. Uno de ellos cae directamente al suelo ¿dónde caerá el otro? 
Estrategia de resolución. Puesto que la única fuerza externa que 
actúa sobre el sistema es el peso, el centro de masa, que está en 
todo momento a mitad del camino entre los fragmentos, continúa con 
su trayectoria parabólica, como si no hubiera existido explosión y 
tiene un alcance horizontal Rmax. El fragmento que cae directamente 
al suelo se mueve en caída libre y tendrá un alcance horizontal 
, como muestra la figura. 
 
1. Relacionar x1 y x2 con xcm: 
𝑚𝑥. +𝑚𝑥0 = 2𝑚𝑥#$ 
2. Determinar la ecuación de x2: 
𝑥0 = 2𝑥#$ − 𝑥. = 2𝑅 − 0.5𝑅 = 1.5𝑅 
3. Calcular R: 
𝑅 =
2𝑣U0𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑔 
𝑅 = 54.13[𝑚] 
4. Calcular x2: 
𝑥0 = 1.5𝑅 = (1.5)54.13[𝑚] = 81.20[𝑚] 
Rx 5.01 =
 
Conclusiones. El centro de masa sigue su trayectoria parabólica. 
5.4.	MOMENTO	LINEAL	
 
El momento lineal de una partícula es un vector �⃗� definido como el 
producto de su masa m y su velocidad �⃗�: 
�⃗� = 𝑚�⃗� (5.13) 
Por la ecuación 5.6 sabemos que: 
𝑀�⃗�#$ = 𝑚.�⃗�. +𝑚0�⃗�0 +𝑚3�⃗�3 +⋯+𝑚5𝑣5%%%%⃗ 
En un instante cualquiera, el sistema de partículas tendrá una velocidad 
determinada para cada partícula y por consiguiente un momento lineal, 
sin importar si existen o no fuerzas externas. Se podría creer que 
solamente aparece un momento lineal cuando existen fuerzas externas, 
sin embargo, esto no es cierto, ya que un cuerpo puede moverse con 
velocidad constante, sin que intervenga fuerza alguna, y tener momento 
lineal. 
El sistema como un todo tendrá un momento lineal total que resulta 
de la suma vectorial de los momentos lineales de cada partícula, es 
decir: 
𝑃%⃗ = �⃗�. + �⃗�0 + 𝑝3 +⋯𝑝5 (5.14) 
Además, comparando las dos últimas ecuaciones, se tiene: 
 
𝑃%⃗ = 	𝑀�⃗�#$ (5.15) 
 
La última ecuación señala que el momento lineal total de un sistema 
de partículas es igual a la masas total del sistema multiplicada por la 
velocidad del centro de masa, es decir, la velocidad que representa a 
todo el sistema de partículas. 
𝑑(𝑀�⃗�#$)
𝑑𝑡 =
𝑑(𝑚.�⃗�.)
𝑑𝑡 +
𝑑(𝑚0𝑣0)
𝑑𝑡 +
𝑑(𝑚3�⃗�3)
𝑑𝑡 …+
𝑑(𝑚5𝑣5)
𝑑𝑡 
Derivando la ecuación 5.14 con respecto al tiempo se tiene: 
 
𝑑𝑃%⃗
𝑑𝑡 =
𝑑𝑝.
𝑑𝑡 +
𝑑�⃗�0
𝑑𝑡 +
𝑑𝑝3
𝑑𝑡 +⋯+
𝑑�⃗�5
𝑑𝑡 
𝑑𝑃%⃗
𝑑𝑡 = 𝑚.
𝑑�⃗�.
𝑑𝑡 +𝑚0
𝑑�⃗�0
𝑑𝑡 +𝑚3
𝑑�⃗�3
𝑑𝑡 +⋯+𝑚5
𝑑�⃗�5
𝑑𝑡 
𝑑𝑃%⃗
𝑑𝑡 = 𝑚.�⃗�. +𝑚0�⃗�0 +𝑚3�⃗�3 +⋯+𝑚5�⃗�5 
𝑑𝑃%⃗
𝑑𝑡 = �⃗�. + �⃗�0 + �⃗�3 +⋯+ �⃗�5 
 
T}%⃗
TW
= ∑ �⃗�p:W																																							(5.16) 
 
Esta ecuación corresponde a la segunda ley de Newton, tal como fue 
planteada originalmente por él, es decir: “La variación del momento 
lineal es proporcional a la fuerza resultante y tiene la misma dirección 
de esa fuerza” 
La resultante de las fuerzas externas es igual a la rapidez de cambio del 
momento lineal del sistema de partículas. Cuando la fuerza externa 
resultante es cero, el momento lineal de un sistema de partículas es 
constante, sin embargo, la energía cinética total del sistema puede 
variar. Por ejemplo, las fuerzas internas que no afectan al momento 
lineal pueden ser fuerzas no conservativas y, debido a ello, cambiar la 
energía mecánica total del sistema. La energía cinética de un sistema 
de partículas tiene dos componentes, el primero de ellos tiene que ver 
con el movimiento del centro de masa y el segundo está relacionado 
con el movimiento de las partículas del sistema respecto al centro de 
masa. 
La primera está dada por la siguiente ecuación: 
𝐸� =
1
2𝑚𝑣#$
0 
Mientras que la segunda será: 
P
!
 
𝐸� =��
1
2𝑚6𝑣6
0� 
 
Siendo ui la velocidad correspondiente a la partícula i. 
La energía cinética total será la suma de las dos anteriores, es decir: 
𝐸� =
1
2𝑚𝑣#$
0 +��
1
2𝑚6𝑣6
0� 
Pero la velocidad de la partícula i puede escribirse como la suma de la 
velocidad del centro de masa y la velocidad relativa al centro de masa 
(u): 
𝑣6 = 𝑣#$ + 𝑢6 
Entonces, la energía cinética del sistema será: 
 
𝐸� =�
1
2𝑚𝑣#$
0
6
+�
1
2𝑚6𝑢6
0
6
 
𝐸� =
1
2𝑀𝑣#$
0 + 𝐸�(8pYSW6jS) 
Si no existen fuerzas externas, la velocidad del centro de masa es 
constante y la energía cinética debida a ella no cambia; por tanto, en un 
sistema aislado solo la energía cinética relativa puede cambiar. 
5.5.	SISTEMA	AISLADO	
 
Un sistema es aislado cuando su interacción con el medio ambiente es 
despreciable, todas las fuerzas que provengan del ambiente son 
consideradas fuerzas externas, es decir, un sistema es aislado 
cuando la fuerza externa neta que actúa sobre él es nula y 
solamente existen fuerzas internas dentro del sistema. Un ejemplo 
de sistema aislado es un cuerpo que cae libremente sobre la tierra, si 
se puede despreciar la resistencia del aire y el movimiento de rotación 
de la tierra (es lo que generalmente hacemos). 
5.6.	CONSERVACIÓN	DEL	
MOMENTO	LINEAL	
 
Cuando la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre un 
sistema es cero, es decir, cuando un sistema puede ser considerado 
aislado, se tiene que: 
𝑑𝑃%⃗
𝑑𝑡 = 0 
Es decir: 
𝑃%⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
Debido a que la derivada de una constante es cero. 
 
Cuando la fuerza externa resultante es cero, el vector “momento lineal” 
del sistema permanece constante. Este principio se denomina 
Principio de la conservación del momento lineal. Debido a que, en 
ausencia de fuerzas externas, el momento lineal se conserva, el 
momento lineal inicial @𝑃%⃗UAserá igual al momento lineal final del sistema 
@𝑃%⃗�A, es decir: 
𝑃%⃗U = 𝑃%⃗� (5.20) 
 
El momento lineal total de un sistema solo puede cambiarse por la 
acción de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. 
Guía para resolver problemas: 
1. Detectar la presencia de fuerzas externas, recordar que no 
puede existir ninguna para que se conserve el momento lineal. 
2. Establecer que no haya ninguna resultante neta de las fuerzas 
internas, éstas deben eliminarse por pares.