teoria y problemas fisica (85)

Vista previa del material en texto

𝐼Y =
1
12𝑀𝐿
0 
3. Aplicar el teorema de Steiner:	
𝐼A =
1
12𝑀𝐿
0 +𝑀 U
𝐿
2X
0
=
1
3𝑀𝐿
0 
𝐼A =
1
3𝑀𝐿
0 
4. Calcular la velocidad angular en el punto A: 
 
w =
𝑣/^
𝑟 =
2𝑣/^
𝐿 
 
5. Calcular LA: 
 
𝐿A = 𝐼Aw = U
1
3𝑀𝐿
0XU
2𝑣/^
𝐿 X =
2
3𝑀𝐿𝑣/^ 
 
𝐿A =
2(5)(1)(1.2)
3 𝐿𝐴 = 4Ã𝑘𝑔𝑚
2 𝑠⁄ Ä 
Ejemplo 6.29. Una partícula de 0.01[Kg] de masa se encuentra 
unida al extremo de una cuerda, recorriendo una trayectoria circular 
de radio ro = 0.2[m] sobre una mesa horizontal sin rozamiento, con 
velocidad angular wo = 5[rad/s]. La cuerda pasa por un orificio 
practicado en el centro de la mesa y, al empezar, su otro extremo 
se encuentra fijo. Si se jala de la cuerda de tal forma que el radio 
de la trayectoria sea r = 0.05[m], calcular la velocidad angular final. 
 
Estrategia de resolución. En el único punto donde no actúan 
torques externos es “P” (centro de la circunferencia), puesto que, la 
tensión pasa por ese punto. Por tanto, el momento angular 
respecto de “P” se conserva. 
1. Plantear la conservación del momento lineal en P: 
𝐿Yq = 𝐿Áq 
𝑚𝑣Y𝑟Y = 𝑚𝑣𝑟 
2. Poner todo en función de la velocidad angular: 
𝑣 = wR 
wY𝑟Y0 = w𝑟0 
3. Despejar w y reemplazar datos: 
w =
wY𝑟Y0
𝑟0 =
(5)(2)0
(0.05)0 w = 80
[rad s⁄ ] 
Ejemplo 6.30. Adita, una niña traviesa, estudiante de química, que 
participó activamente en la Gran Feria de Física, gira sobre una 
plataforma sosteniendo dos libros con los brazos extendidos con 
una velocidad angular de 1[rad/s], su momento de inercia inicial en 
esas condiciones es Io = 4[Kgm2]. Si la niña acerca los brazos al 
cuerpo reduciendo su momento de inercia a la mitad, calcular: (a) 
El momento angular final. (b) La velocidad angular final y; (c) La 
energía cinética final y la variación de la energía cinética. ¿Por qué 
cambia la energía cinética? 
Estrategia de resolución. El momento angular del sistema niña – 
plataforma se conserva, debido a que no actúa ningún torque 
externo mientras la niña acerca los libros. Se deberá plantear la 
conservación del momento angular con respecto al centro de masa. 
Vamos a suponer que el dato del momento de inercia es el de la 
chica y que el de la plataforma es muy pequeño para considerarlo. 
 
 
 
1. Plantear la conservación del momento angular: 
𝐿Y(/^) = 𝐿Á(/^) 
𝐼Y(/^)𝜔Y = 𝐼Á(/^)𝜔 
2. Despejar w: 
𝜔 =
𝐼Y(/^)𝜔Y
𝐼Á(/^)
=
(4)(1)
2 = 2
[𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ ] 
3. El momento angular no varía y vale Lcm = 4[kgm2]. 
4. La velocidad angular se duplica y su valor es de 2[rad/s]. 
5. Calcular la energía cinética inicial y final: 
𝐸�Y =
1
2 𝐼Y(/^)𝜔Y
0 =
(4)(1)0
2 = 2
[𝐽] 
𝐸�Á =
1
2 𝐼Á(/^)𝜔
0 =
(2)(2)0
2 4
[𝐽] 
6. Calcular DEK: 
∆𝐸� = 𝐸�Á − 𝐸�Y = 4[𝐽] − 2[𝐽] = 2[𝐽] 
Conclusión. El trabajo que realizó el muchacho al acercar los 
libros hizo que la energía cinética se incremente. Si bien es cierto 
que no hay fuerzas externas, en los sistemas No rígidos las 
fuerzas internas pueden realizar trabajo. 
Ejemplo 6.31. Una barra rígida de 60 [kg] de masa y 4[m] de 
longitud en cuyos extremos se han colocado dos esferas de 
m1=5[kg] y m2=2[kg], con radios iguales de 0.5[m] gira en un plano 
vertical respecto de un pivote sin fricción que pasa por su centro. 
(a) Determinar el momento angular, cuando la velocidad es de 2 
[rad/s]. (b) Si se quitan las dos esferas, cuál será la nueva 
velocidad? 
 
Estrategia de resolución.Debido a que las dos esferas se 
encuentran acopladas a la barra rígida, se trata de tres cuerpos en 
movimiento de rotación, entonces, el momento angular será la 
suma del momento angular de cada uno de los cuerpos, teniendo 
en cuenta que los tres poseen la misma velocidad angular. Para 
determinar la nueva velocidad, simplemente se utilizará el principio 
de conservación del momento angular: 
 
𝐿 = 𝐿� + 𝐿0 + 𝐿� 
𝐿 = 𝐼�𝜔 + 𝐼0𝜔 + 𝐼�𝜔 
𝐿 = (𝐼� + 𝐼0 + 𝐼�)𝜔 
𝐿 = U
2
3𝑀�𝑅�
0 +
1
12𝑀𝐿
0 +
2
3𝑀�𝑅�
0X = 42.3 Ê
𝑘𝑔𝑚0
𝑠 Ë 
𝐿Y = 𝐿 
𝐿Y = 𝐼𝜔 
𝜔 =
𝐿Y
𝐼 
 
𝜔 = 21.1 U
𝑟𝑎𝑑
𝑠 X 
 
6.9. IMPULSOS	QUE	GENERAN	
ROTACIONES	
 
En la figura puede verse una barra y una bala que se acerca a la 
barra. Si consideramos que el sistema es sólo la barra, en lugar de 
tomar el conjunto bala – barra, no se conservarán ni el momento 
lineal ni el momento angular. Para el sistema compuesto por 
solamente la barra, 𝑝 no se conserva porque actúa una fuerza 
exterior durante un intervalo de tiempo Dt (fuerza impulsiva), que, 
como su nombre lo indica, genera un impulso: 
𝐼 ©1 = ∆𝑃%⃗¡�¡1 
𝐼 ©1 = 𝑃%⃗Á(Ì����) − 𝐼 ©1 = 𝑃%⃗Y(Ì����) 
Es decir: 
𝑚𝑣Y = (𝑚 +𝑀)𝑣Á(/^) − 0 
Es preciso notar que, aunque se haya tomado un sistema diferente, 
la ecuación no cambia. 
 
Veamos ahora qué pasa en la rotación. Para el sistema barra, 𝐿%⃗ no 
se conserva porque actúa una fuerza externa que ejerce un torque 
externo. La variación del momento angular causada por el choque 
es: 
∆𝐿%⃗ = 𝐿%⃗ Á − 𝐿%⃗ Y 
Lo que significa: 
∆𝐿%⃗ = 𝐼/^𝜔%%⃗ Á − 𝐼/^𝜔%%⃗ Y 
La variación de𝐿%⃗ es igual al impulso angular que la bala entrega al 
sistema barra. Si consideramos que 𝐿%⃗ es positivo cuando el sentido 
de rotación es de las agujas del reloj, el impulso angular de la bala 
será negativo, por tanto, la variación del momento angular será: 
∆𝐿 = −𝑚𝑣Y𝑑/^ 
Igualando las dos últimas ecuaciones: 
−𝑚Ì� �𝑣Y𝑑/^ = 𝐼/^𝜔Á − 𝐼/^𝜔Y 
Pero, el impulso lineal de la bala, I = mbalavo, la ecuación queda: 
𝐼𝑑/^ = 𝐼/^𝜔Á − 𝐼/^𝜔Y 
 
Fig. 6.23 
Para poder utilizar esta ecuación el cuerpo tiene que estar 
desvinculado (no debe estar ligado al otro). En este caso, éste 
rotará alrededor del centro de masa, por lo cual, I, w y d están 
referidas al centro de masa. Si el cuerpo está vinculado, éste está 
obligado a girar alrededor del vínculo. En este caso, la ecuación será 
planteada de la siguiente manera: 
𝐼𝑑A = 𝐼A𝜔Á − 𝐼A𝜔Y 
 
Fig. 6.24