guia dadactica inecuaciones

Vista previa del material en texto

INECUACIONES 
 
Encontrarás herramientas, métodos y estrategias para resolver inecuaciones polinómicas y 
racionales. 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 1 
 
INECUACIONES 
DEFINICION 
 
Una inecuación es una expresión algébrica que tiene dos lados vinculados por un símbolo de 
desequilibrio. 
Los símbolos de desequilibrio son cuatro: 
 Mayor que: ˃ 
 Mayor igual que: ≥ 
 Menor que: ˂ 
 Menor igual que: ≤ 
Son ejemplos de inecuaciones las siguientes expresiones: 
2𝑥 − 5 > 3 − 𝑥 
𝑥 − 8
𝑥 + 2
< 7𝑥 + 6 
𝑥2 − 4𝑥 ≥ 4 
𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 10 ≤ 0 
 
INECUACIONES POLINOMICAS DE PRIMER GRADO 
 
Una inecuación polinómica de primer grado o inecuación de primer grado, es una inecuación en 
donde la variable tiene por máximo exponente la unidad. 
Son ejemplos de inecuaciones de primer grado las siguientes expresiones: 
 
𝑥 − 5 ≥ 3𝑥 + 3 − 12𝑥 
𝑥 − 12
3
< 2 − 7𝑥 
𝑡 + 12 ≥ 2 − 𝑡 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 2 
 
𝑝 − 5 < 0 
𝑥 ≥ 0 
 
METODO DE SOLUCION DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO 
 
Para resolver una inecuación polinómica de primer grado es necesario conocer dos reglas básicas: 
la regla de transposición de términos y la regla del signo. 
Regla de transposición de términos.- Esta regla es similar a la regla de transposición de términos 
empleada en ecuaciones; y dice que cuando paso un término de un lado a otro de la inecuación, el 
término transpuesto cambia de signo. 
Hagamos un ejemplo: 
Tenemos la inecuación 
2𝑥 − 7 < 2 − 3𝑥 
Pasemos todos los términos que tengan la incógnita al lado izquierdo y los otros términos al lado 
derecho 
2𝑥 + 3𝑥 < 2 + 7 
Observa que el término -3x al pasar al lado izquierdo cambia de signo y el término -7 al pasar al 
lado derecho cambia de signo. 
Regla del signo.- Esta regla dice que cuando multiplico o divido la inecuación por un número 
negativo, el sentido de la inecuación cambia. 
Hagamos un ejemplo: 
Tenemos la inecuación 
−2𝑥 < 10 
Para dejar sola a la incógnita (despejar la incógnita), hay que dividir ambos lados de la inecuación 
por -2; al realizar esta operación la inecuación cambia de sentido de la siguiente manera 
𝑥 > −5 
Observa que el símbolo de desequilibrio cambia de “˂” (menor que) a “˃” (mayor que). 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 3 
 
Esta regla se aplica para todos los símbolos de desequilibrio. 
Hagamos otro ejemplo: 
Analicemos la siguiente inecuación 
𝑥
−3
≥ 10 
Para despejar la incógnita hay que multiplicar ambos lados de la inecuación por -3, entonces 
𝑥 ≤ −30 
El símbolo de desequilibrio cambia ya que se multiplica por un número negativo. 
Analicemos otro ejemplo en donde multiplicamos por un número positivo. 
Tenemos la inecuación 
𝑥
5
> 3 
Para despejar la incógnita hay que multiplicar ambos lados de la inecuación por 5, entonces 
𝑥 > 15 
Observa que el símbolo de desequilibrio no cambia porque el número por el cual multiplicamos es 
positivo. 
Apropiándonos de estas dos reglas puedes solucionar cualquier inecuación de primer grado. 
Encontremos la solución de la siguiente inecuación: 
3𝑥 − 10 ≥ 2𝑥 + 15 
Pasemos todos los términos que tienen la incógnita al lado izquierdo y los otros términos al lado 
derecho, empleando la regla de transposición de términos (cuidado con los signos de los términos) 
3𝑥 − 2𝑥 ≥ 15 + 10 
Reduzcamos términos semejantes 
𝑥 ≥ 25 
Listo encontramos la solución de la inecuación. 
Desarrollemos otro ejemplo: 
Tenemos la inecuación 
𝑥 − 10 − 5𝑥 < 8 − 3𝑥 + 2 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 4 
 
Concentremos todos los términos que tienen incógnita en el lado izquierdo y los demás en el 
derecho, cuidado con los signos de los términos 
𝑥 − 5𝑥 + 3𝑥 < 8 + 2 + 10 
Reduzcamos términos semejantes 
−𝑥 < 20 
Casi listo, hay que aplicar la regla del signo para despejar completamente la incógnita 
𝑥 > −20 
Terminamos, observa que el símbolo de desequilibrio cambio de acuerdo a la regla del signo. 
 
REPRESENTACION DE LA SOLUCION DE UNA INECUACION 
 
Para representar la solución de una inecuación tenemos algunas alternativas, depende de la 
bibliografía y del estilo de los diferentes docentes. 
Tenemos tres formas de representación importante, y estas son: 
REPRESENTACION ALGEBRICA 
La representación algébrica es la representación que se consigue al despejar la incógnita en la 
inecuación. Los ejemplos realizados anteriormente describen esta representación. 
Tenemos la inecuación 
𝑥 − 10 − 5𝑥 < 8 − 3𝑥 + 2 
Concentremos todos los términos que tienen incógnita en el lado izquierdo y los demás en el 
derecho, cuidado con los signos de los términos 
𝑥 − 5𝑥 + 3𝑥 < 8 + 2 + 10 
Reduzcamos términos semejantes 
−𝑥 < 20 
Casi listo, hay que aplicar la regla del signo para despejar completamente la incógnita 
𝑥 > −20 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 5 
 
Bien solucionado, pero ¿qué representa esta solución? Lo que quiere decir es que la respuesta o 
solución de la inecuación es un conjunto de números reales que van desde el número -20, sin 
incluirle, hasta el infinito1. 
REPRESENTACION GRAFICA 
La representación gráfica de la solución de una inecuación, no es más que dibujar la 
representación algébrica sobre una recta numérica real. 
Hablemos un poco de la recta numérica real; y en términos simples voy a definir la recta numérica 
real como una raya, que empieza en algún valor de los números reales negativos y termina en 
algún valor de los números reales positivos2. Si dibujamos la recta numérica real, se ve de la 
siguiente manera: 
 
 
 
Ahora representemos una solución algébrica de forma gráfica: 
Tenemos: 
𝑥 > 3 
Ubicamos en la recta real el valor real obtenido como solución, en este caso 3 
 
 
Luego guiándonos por el símbolo de desequilibrio, a partir del valor 3, dibujamos un segmento con 
una flecha que apunta en la misma dirección que el símbolo de desequilibrio, en este caso hacia la 
derecha (se trata del símbolo mayor que), y para ratificar los valores expresados en la solución se 
sombrea la zona. 
 
1
 Hay que puntualizar que la solución de una inecuación no es única, generalmente es un conjunto infinito 
de números reales. En casos muy particulares la solución de una inecuación es un solo número. 
2
 Debo aclarar que esta definición graciosa de recta numérica real es mía, y debo suponer que en ciertos 
círculos matemáticos podría considerarse herética, lo que de ninguna forma hace que sea imprecisa y poco 
descriptiva. 
−∞ +∞ 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 6 
 
Para definir que el número 3 no está incluido en la solución, se dibuja sobre el valor un círculo de 
fondo blanco. 
 
El gráfico así dibujado, representa la solución de la inecuación; que en este caso son todos los 
números reales desde el 3 (sin tomarle en cuenta) hasta el infinito positivo. 
Hagamos otro ejemplo: 
Tenemos 
𝑥 ≤ −5 
Ubiquemos en la recta real el valor de -5; el segmento, que determina la región de solución3, parte 
del valor -5 y va hacia la izquierda (tal como apunta el símbolo de desequilibrio); sombreamos el 
intervalo de solución y para indicar que -5 está tomado en cuenta en la solución, sobre este valor 
dibujamos un círculo con fondo obscuro. 
 
 
El gráfico así dibujado, representa la solución de la inecuación; que en este caso son todos los 
números reales desde el -5 (tomándole en cuenta) hasta el infinito negativo. 
 
 
3
 La región de solución suele llamarse INTERVALO DE SOLUCIÓN o simplemente solución de la inecuación 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 7 
 
REPRESENTACION EN INTERVALOS 
La representación en intervalos consiste en escribir la representación gráfica, por medio de 
símbolos específicos que representan a los intervalos de solución. 
Dependiendo de la preferencia de los autores los símbolos que se empleanson paréntesis y 
corchetes4. 
Expliquemos esta representación con ejemplos: 
Tenemos 
𝑥 > 3 
 
Como primera cosa para escribir un intervalo, hay que anotar que siempre se escribe de izquierda 
a derecha. En este caso el intervalo de solución empieza en 3 (sin tomarle en cuenta) hasta el 
infinito positivo; entonces empezamos colocando un corchete abierto (no está tomado en cuenta), 
escribimos en valor de 3, colocamos el símbolo de “punto y coma” y colocamos el símbolo de 
infinito positivo; finalmente colocamos un corchete abierto. De esta manera: 
]3; +∞[ 
Con la práctica se puede obviar la solución gráfica y a partir de la solución algébrica se escribe la 
solución en intervalos. 
Hagamos otro ejemplo: 
Tenemos 
𝑥 ≤ −5 
 
4
 En este texto utilizaré corchetes, en recuerdo de mis maestros. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 8 
 
 
Entonces 
] − ∞; −5] 
Empezamos siempre por la izquierda; corchete abierto, escribimos infinito negativo, el símbolo de 
punto y coma, escribimos el valor -5 y corchete cerrado indicando que el valor si está tomado en 
cuenta. 
 
INECUACION TIPO SANDUCHE 
 
Una inecuación tipo sánduche es expresión algébrica en donde se presentan dos inecuaciones a la 
vez. Son ejemplos de inecuaciones tipo sánduche las siguientes expresiones: 
2𝑥 − 7 < 4𝑥 + 5 < 10𝑥 + 1 
𝑥 + 5 >
𝑥 − 8
2
< 6𝑥 − 17 
𝑥 − 1 ≤ 2𝑥 ≤ 3𝑥 + 5 
6𝑥 ≥ 2𝑥 + 3 ≥ 𝑥 − 3 
𝑥 − 4
3
≤ 2𝑥 + 3 < 8𝑥 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 9 
 
La estrategia para solucionar un sánduche es simple y consiste en dividir el sánduche en dos 
inecuaciones sencillas; resolverlas por separado y finalmente combinamos las dos respuestas con 
la operación intersección5, tras lo cual habremos solucionado el sánduche. 
Está un poco embrollado con palabras; hagamos un ejemplo: 
Tenemos: 
2𝑥 − 7 < 4𝑥 − 6 < 2𝑥 + 1 
Separando tenemos: 
2𝑥 − 7 < 4𝑥 − 6 ∩ 4𝑥 − 6 < 2𝑥 + 1 
Resolvemos cada inecuación por separado; 
2𝑥 − 4𝑥 < −6 + 7 ∩ 4𝑥 − 2𝑥 < 1 + 6 
−2𝑥 < 1 ∩ 2𝑥 < 7 
𝑥 > −
1
2
 ∩ 𝑥 <
7
2
 
Ahora, el truco consiste en representar las dos soluciones de manera gráfica simultáneamente; es 
decir: 
Para la solución: 
𝑥 > −
1
2
 
Tenemos: 
 
Dibujemos en el mismo gráfico la solución: 
𝑥 <
7
2
 
 
5
 La operación intersección, cuyo símbolo es “∩”, indica que debo poner como respuesta el conjunto de 
elementos que se repiten. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 10 
 
Tenemos: 
 
Ahora, recordemos que la solución del sánduche es una combinación de estas respuestas, a través, 
de la operación de intersección; es decir, la solución del sánduche corresponde al intervalo (o 
intervalos) que presente dos rayados6. Para nuestro caso: 
] −
1
2
;
7
2
[ 
Hagamos otro ejemplo: 
Tenemos: 
𝑥 − 1 ≤ 2𝑥 ≤ 3𝑥 + 5 
Separando: 
𝑥 − 1 ≤ 2𝑥 ∩ 2𝑥 ≤ 3𝑥 + 5 
𝑥 − 2𝑥 ≤ 0 ∩ 2𝑥 − 3𝑥 ≤ 5 
−𝑥 ≤ 0 ∩ −𝑥 ≤ 5 
𝑥 ≥ 0 ∩ 𝑥 ≥ −5 
Graficando: 
 
 
6
 En este punto recomiendo fuertemente el empleo de lápices de colores. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 11 
 
Entonces el intervalo con doble rayado es: 
[0; +∞[ 
Que es la solución del sánduche. 
 
INECUACIONES POLINOMICAS DE SEGUNDO GRADO 
 
Una inecuación polinómica de segundo grado o sencillamente inecuación de segundo grado, es 
una inecuación en donde la incógnita tiene por máximo exponente el dos. 
Son ejemplos de inecuaciones de segundo grado las siguientes expresiones: 
𝑥2 − 4𝑥 + 4 ≥ 0 
2𝑥2 − 3𝑥 < 1 − 4𝑥 
7 + 6𝑥 > 𝑥2 
 
METODO SE SOLUCION DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 
 
Para solucionar una inecuación de segundo grado hay que considerar que, no importa la 
expresión, toda inecuación de segundo grado va a tener cualquiera de estas cuatro estructuras 
algebraicas: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0 
Por otro lado hay que recordar que una ecuación de segundo grado puede tener tres tipos 
diferentes de raíces7: raíces diferentes, raíces iguales y raíces imaginarias (no reales). 
 
7
 Las raíces son las soluciones de la ecuación de segundo grado. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 12 
 
Estas dos consideraciones son el fundamento para la estrategia de solución que voy a explicar. 
Para cada una de las cuatro posibles inecuaciones de segundo grado, se debe considerar el tipo de 
raíces presentes para solo entonces encontrar una solución adecuada de la inecuación de segundo 
grado en análisis. 
Junto con esto debo mencionar que la estrategia que vamos a analizar se fundamenta en el hecho 
de que el valor “a” de la expresión de segundo grado siempre debe ser positiva8. 
Bien empecemos y hagámoslo en orden. 
 
RAICES DIFERENTES 
 
Inecuación de segundo grado con símbolo de desequilibrio “>”. 
Para este caso tenemos la siguiente inecuación: 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 > 0 
En primer lugar hay que analizar el tipo de raíces que presenta el trinomio cuadrático. Para esto 
resolvemos la expresión: 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 
Para resolver la expresión cuadrática se puede utilizar cualquier método, de preferencia factoreo o 
formula general9. 
Si domino factoreo inmediatamente reconozco que se trata de un trinomio simple y procedo a 
factorar con la estrategia adecuada, de la siguiente manera: 
(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0 
Entonces las raíces son: 
𝑥1 = 3 
𝑥2 = 2 
Tenemos raíces diferentes. 
Por otro lado si no reconozco el caso de factoreo, empleo rápidamente la fórmula general; de esta 
manera: 
 
8
 Te estás preguntando qué pasa cuando “a” no es positiva; te pido paciencia, lo aclararé luego. 
9
 Solo emplea factoreo si dominas el método, en caso contrario utiliza la fórmula general. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 13 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
En donde: 
𝑎 = 1 
𝑏 = −5 
𝑐 = 6 
Reemplazando: 
𝑥 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4(1)(6)
2(1)
 
𝑥 =
5 ± 1
2
 
Entonces: 
𝑥1 =
5 + 1
2
= 3 
𝑥2 =
5 − 1
2
= 2 
Ya sea de una forma o de otra se llega a la concluir que tenemos dos raíces diferentes. 
Las raíces diferentes se ubican de manera ordenada en una recta real; de izquierda a derecha, de 
menor a mayor. 
 
Entonces dibujamos los intervalos de solución, que son semicircunferencias que cortan a la recta 
real en los puntos que determinan las raíces. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 14 
 
 
Ahora, empezando por la derecha, colocamos en el primer intervalo el signo “+” y luego 
alternamos los signos hasta terminar con todos los intervalos. 
 
Finalmente nos fijamos en la inecuación y reconocemos el símbolo de desequilibrio, en este caso, 
“>”; entonces escogemos como respuesta los intervalos con signo “+”. 
] − ∞; 2[ ∪ ]3; +∞[ 
Para vincular dos o más intervalos de solución empleamos el símbolo de unión “U”; siempre 
escribimos de izquierda a derecha. Empleamos corchetes abierto ya que el símbolo de 
desequilibrio es “>”. 
Inecuación de segundo grado con símbolo de desequilibrio “≥”. 
Para este caso tenemos la siguiente inecuación: 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 ≥ 0 
Analizamos el tipo de raíces y encontramos su valor; por cualquier método: 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 
De análisis anteriores, sabemos que: 
𝑥1 = 3 
𝑥2 = 2 
Tenemos raíces diferentes. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 15 
 
Ubicamos las raíces de manera ordenada, de menor a mayor, en la recta real. Generamos los 
intervalos de solución; aplicamos la ley de la mano derecha (empezamos por la derecha con el 
signo “+”), de esta forma: 
 
Como el símbolo de desequilibrio es “≥”, escogemos los intervalos con signo “+”, solo que ahora 
los valores 2 y 3 deben ser tomados en cuenta, por lo que los corchetes van cerrados10. 
] − ∞; 2] ∪ [3; +∞[ 
 
Inecuación de segundo grado con símbolode desequilibrio “<”. 
Para este caso tenemos la siguiente inecuación: 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 < 0 
Analizamos el tipo de raíces y encontramos su valor; por cualquier método: 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 
De análisis anteriores, sabemos que: 
𝑥1 = 3 
𝑥2 = 2 
Tenemos raíces diferentes. 
Ubicamos las raíces de manera ordenada, de menor a mayor, en la recta real. Generamos los 
intervalos de solución; aplicamos la ley de la mano derecha (empezamos por la derecha con el 
signo “+”), de esta forma: 
 
10
 El valor infinito, ya sea positivo o negativo, siempre va acompañado de corchete abierto. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 16 
 
 
Como el símbolo de desequilibrio es “<”, escogemos los intervalos con signo “-”, los valores 2 y 3 
no deben ser tomados en cuenta, por lo que los corchetes van abiertos 
]2; 3[ 
 
Inecuación de segundo grado con símbolo de desequilibrio “≤”. 
Para este caso tenemos la siguiente inecuación: 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 ≤ 0 
Analizamos el tipo de raíces y encontramos su valor; por cualquier método: 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 
De análisis anteriores, sabemos que: 
𝑥1 = 3 
𝑥2 = 2 
Tenemos raíces diferentes. 
Ubicamos las raíces de manera ordenada, de menor a mayor, en la recta real. Generamos los 
intervalos de solución; aplicamos la ley de la mano derecha (empezamos por la derecha con el 
signo “+”), de esta forma: 
 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 17 
 
Como el símbolo de desequilibrio es “≤”, escogemos los intervalos con signo “-”, los valores 2 y 3 
deben ser tomados en cuenta, por lo que los corchetes van cerrados 
[2; 3] 
 
RAICES IGUALES 
 
Inecuación de segundo grado con símbolo de desequilibrio “>”. 
Para este caso analicemos la siguiente inecuación: 
𝑥2 − 4𝑥 + 4 > 0 
En primer lugar hay que analizar el tipo de raíces que presenta el trinomio cuadrático. Para esto 
resolvemos la expresión: 
𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 
Para resolver la expresión cuadrática se puede utilizar cualquier método, de preferencia factoreo o 
formula general. 
Si domino factoreo inmediatamente reconozco que se trata de un trinomio cuadrado perfecto y 
procedo a factorar con la estrategia adecuada, de la siguiente manera: 
(𝑥 − 2)2 = 0 
Entonces las raíces son: 
𝑥1 = 2 
𝑥2 = 2 
Tenemos raíces iguales. 
Por otro lado si no reconozco el caso de factoreo, empleo rápidamente la fórmula general; de esta 
manera: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
En donde: 
𝑎 = 1 
𝑏 = −4 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 18 
 
𝑐 = 4 
Reemplazando: 
𝑥 =
−(−4) ± √(−4)2 − 4(1)(4)
2(1)
 
𝑥 =
4 ± 0
2
 
Entonces: 
𝑥1 =
4 + 0
2
= 2 
𝑥2 =
4 − 0
2
= 2 
Ya sea de una forma o de otra se llega a concluir que tenemos dos raíces iguales. 
Para este caso no es necesario hacer un gráfico, se puede establecer directamente la respuesta, 
recordando la siguiente propiedad de las inecuaciones: 
𝑥2 ≥ 0 
Todo número real elevado al cuadrado siempre es mayor o igual que cero. 
Con esta propiedad es claro que la solución de una inecuación de segundo grado, con raíces 
iguales y con símbolo de desequilibrio “>”; son todos los números reales a excepción del valor de 
la raíz que se repite: 
ℝ − {2} 
Para este caso, la solución son todos los números reales a excepción del valor 2. 
 
Inecuación de segundo grado con símbolo de desequilibrio “≥”. 
Para este caso analicemos la siguiente inecuación: 
𝑥2 − 4𝑥 + 4 ≥ 0 
Analizamos el tipo de raíces y encontramos su valor; por cualquier método: 
𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 
De análisis anteriores, sabemos que: 
𝑥1 = 2 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 19 
 
𝑥2 = 2 
Tenemos raíces iguales. 
Para este caso no es necesario hacer un gráfico, se puede encontrar directamente la solución, 
recordando la siguiente propiedad de las inecuaciones: 
𝑥2 ≥ 0 
Todo número real elevado al cuadrado siempre es mayor o igual que cero. 
De lo anterior se concluye que la solución de una inecuación de segundo grado, con raíces iguales 
y con símbolo de desequilibrio “≥”; son todos los números reales. 
ℝ 
 
Inecuación de segundo grado con símbolo de desequilibrio “<”. 
Para este caso analicemos la siguiente inecuación: 
𝑥2 − 4𝑥 + 4 < 0 
Analizamos el tipo de raíces y encontramos su valor; por cualquier método: 
𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 
De análisis anteriores, sabemos que: 
𝑥1 = 2 
𝑥2 = 2 
Tenemos raíces iguales. 
Para este caso no es necesario hacer un gráfico, se puede encontrar directamente la solución, 
recordando la siguiente propiedad de las inecuaciones: 
𝑥2 ≥ 0 
Todo número real elevado al cuadrado siempre es mayor o igual que cero. 
De lo anterior se concluye una inecuación de segundo grado, con raíces iguales y con símbolo de 
desequilibrio “<”; no tiene solución, es decir, no existen números reales que cumplan con la 
condición de desigualdad. 
∅ 
 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 20 
 
Inecuación de segundo grado con símbolo de desequilibrio “≤”. 
Para este caso analicemos la siguiente inecuación: 
𝑥2 − 4𝑥 + 4 ≤ 0 
Analizamos el tipo de raíces y encontramos su valor; por cualquier método: 
𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 
De análisis anteriores, sabemos que: 
𝑥1 = 2 
𝑥2 = 2 
Tenemos raíces iguales. 
Para este caso no es necesario hacer un gráfico, se puede encontrar directamente la solución, 
recordando la siguiente propiedad de las inecuaciones: 
𝑥2 ≥ 0 
Todo número real elevado al cuadrado siempre es mayor o igual que cero. 
De lo anterior se concluye una inecuación de segundo grado, con raíces iguales y con símbolo de 
desequilibrio “≤”; tiene por solución un solo valor y es el valor de la raíz que se repite, es decir, no 
existen números reales que cumplan con la condición de desigualdad excepto el número 2. 
{2} 
 
RAICES IMAGINARIAS O NO REALES 
 
Inecuación de segundo grado con símbolo de desequilibrio “>”. 
Para este caso analicemos la siguiente inecuación: 
𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0 
En primer lugar hay que analizar el tipo de raíces que presenta el trinomio cuadrático. Para esto 
resolvemos la expresión: 
𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 
Para resolver la expresión cuadrática se puede utilizar cualquier método, de preferencia factoreo o 
formula general. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 21 
 
Si domino factoreo inmediatamente concluyo que este trinomio no es factorable. 
Empleo rápidamente la fórmula general; de esta manera: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
En donde: 
𝑎 = 1 
𝑏 = 1 
𝑐 = 1 
Reemplazando: 
𝑥 =
−(1) ± √(1)2 − 4(1)(1)
2(1)
 
𝑥 =
−1 ± √−3
2
 
Entonces ni siquiera termino de resolver, al tener en el radical un número negativo, concluyo 
inmediatamente que las raíces no son reales o imaginarias. 
𝑥1 𝑦 𝑥2 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 
Directamente puedo determinar la solución de una inecuación de segundo grado, con raíces no 
reales y con símbolo de desequilibrio “>”; son todos los números reales. 
ℝ 
 
Inecuación de segundo grado con símbolo de desequilibrio “≥”. 
Para este caso analicemos la siguiente inecuación: 
𝑥2 + 𝑥 + 1 ≥ 0 
Analizamos el tipo de raíces y encontramos su valor; por cualquier método: 
𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 
De análisis anteriores, sabemos que: 
𝑥1 𝑦 𝑥2 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 
Tenemos raíces no reales. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 22 
 
Directamente puedo determinar la solución de una inecuación de segundo grado, con raíces no 
reales y con símbolo de desequilibrio “>”; son todos los números reales. 
ℝ 
 
Inecuación de segundo grado con símbolo de desequilibrio “<”. 
Para este caso analicemos la siguiente inecuación: 
𝑥2 + 𝑥 + 1 < 0 
Analizamos el tipo de raíces y encontramos su valor; por cualquier método: 
𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 
De análisis anteriores, sabemos que: 
𝑥1 𝑦 𝑥2 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 
Tenemos raíces no reales. 
Directamente puedo determinar la solución de una inecuación de segundo grado, con raíces no 
reales y con símbolo de desequilibrio “<”; ningún número real cumple con la condición de la 
desigualdad.∅ 
 
Inecuación de segundo grado con símbolo de desequilibrio “≤”. 
Para este caso analicemos la siguiente inecuación: 
𝑥2 + 𝑥 + 1 ≤ 0 
Analizamos el tipo de raíces y encontramos su valor; por cualquier método: 
𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 
De análisis anteriores, sabemos que: 
𝑥1 𝑦 𝑥2 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 
 
Tenemos raíces no reales. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 23 
 
Directamente puedo determinar la solución de una inecuación de segundo grado, con raíces no 
reales y con símbolo de desequilibrio “≤”; ningún número real cumple con la condición de la 
desigualdad. 
∅ 
Finalmente te recuerdo que estas estrategias son válidas, siempre y cuando el valor “a” del 
trinomio cuadrático sea positivo. 
Si tenemos un ejercicio es donde “a” es negativo se procede de la siguiente forma: 
Analicemos la siguiente inecuación de segundo grado: 
1 − 2𝑥 − 𝑥2 > 0 
En este caso observa que el valor de “a” es -1. Para cambiar su valor a positivo multiplico por -1 a 
ambos lados de la inecuación; pero por efecto de la ley del signo de inecuaciones, el sentido de la 
inecuación cambia y tenemos: 
𝑥2 + 2𝑥 − 1 < 0 
De esta forma puedes aplicar las estrategias analizadas anteriormente: 
Resolviendo, empleando la fórmula general: 
𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0 
𝑎 = 1 
𝑏 = 2 
𝑐 = −1 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−(2) ± √(2)2 − 4(1)(−1)
2(1)
 
𝑥 =
−2 ± √8
2
 
𝑥1 =
−2 + √8
2
= 0.4142 
𝑥2 =
−2 − √8
2
= −2.4142 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 24 
 
Tenemos raíces diferentes, entonces ubicamos las raíces de manera ordenada en la recta real, 
dibujo los intervalos de solución y aplico la ley de la mano derecha: 
 
Finalmente escojo como solución los intervalos con signo negativo. 
] − 2.4142; 0.4142[ 
 
INECUACIONES POLINOMICAS DE GRADO SUPERIOR 
 
Una inecuación polinómica de grado superior, es una inecuación en donde la incógnita tiene por 
mayor exponente un valor superior al 2. 
Son ejemplos de inecuaciones polinómicas de grado superior, las siguientes expresiones 
algébricas: 
𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 10 > 0 
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)3 < 0 
𝑥4 − 𝑥2 ≤ 2 − 𝑥 
𝑥8 − 64 ≥ 0 
 
METODO DE SOLUCION DE INECUACIONES POLINOMICAS DE ORDEN 
SUPERIOR 
 
Para solucionar una inecuación polinómica de orden superior hay que considerar que, no importa 
la expresión, toda inecuación polinómica de grado superior va a tener cualquiera de estas cuatro 
estructuras algebraicas: 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 25 
 
𝑃(𝑥) > 0 
𝑃(𝑥) ≥ 0 
𝑃(𝑥) < 0 
𝑃(𝑥) ≤ 0 
En donde: 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
Es polinomio de grado superior. 
Del mismo modo que en inecuaciones de segundo grado, las siguientes estrategias de solución se 
basan en el hecho de que el valor que acompaña a la variable de mayor grado debe ser positivo. 
Con esto para solucionar una inecuación polinómica de grado superior es simple: 
Analicemos la siguiente inecuación: 
𝑥5 + 3𝑥4 − 5𝑥3 − 15𝑥2 + 4𝑥 + 12 > 0 
En primer lugar se pasa todos los términos al lado izquierdo de la inecuación11 y se ordena el 
polinomio; si el coeficiente que acompaña a la variable de mayor grado es negativo, se multiplica 
por -1 a ambos lados de la inecuación y se cambia el símbolo de desequilibrio12. En este ejercicio 
ya tenemos todos los términos al lado izquierdo, ordenado y el coeficiente de la variable de mayor 
grado positiva. 
Luego identificamos las raíces del polinomio, en general se procede a factorar el polinomio de 
grado superior por cualquier método conocido. Para la mayoría la mejor opción es el método de 
evaluación13. 
Entonces factorando tenemos: 
𝑥5 + 3𝑥4 − 5𝑥3 − 15𝑥2 + 4𝑥 + 12 = 0 
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0 
La inecuación toma la siguiente forma: 
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) > 0 
 
11
 Para este punto resulta obvio que el tener la incógnita en el lado izquierdo de la inecuación proporciona 
ventajas de análisis y facilita la representación de la solución de forma gráfica y como intervalos. 
12
 La misma estrategia empleada en inecuaciones de segundo grado. 
13
 Si se conoce otro método o estrategia, aplicarla. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 26 
 
Y podemos identificar las raíces; que en este caso son los valores que hacen cero a cada factor. 
Entonces tenemos: 
𝑥 + 3 = 0 → 𝑥1 = −3 
𝑥 + 2 = 0 → 𝑥2 = −2 
𝑥 − 1 = 0 → 𝑥3 = 1 
𝑥 + 1 = 0 → 𝑥4 = −1 
𝑥 − 2 = 0 → 𝑥5 = 2 
Ubicamos las raíces en una recta real de manera ordenada, de menor a mayor; dibujamos los 
intervalos de solución y aplicamos la ley de la mano derecha con los signos de cada intervalo. 
 
Finalmente escogemos los intervalos con el signo positivo ya que el símbolo de desequilibrio es 
“>”. No hay que olvidar que en este caso los valores de las raíces no están contenidos en el 
intervalo. 
] − 3; −2[ ∪ ] − 1; 1[ ∪ ]2; +∞[ 
Analicemos otra inecuación. 
Tenemos: 
(𝑥 − 3)(2𝑥 + 1)(𝑥 + 2) ≤ 0 
La inecuación está factorada, entonces inmediatamente identificamos las raíces: 
𝑥 − 3 = 0 → 𝑥1 = 3 
2𝑥 + 1 = 0 → 𝑥2 = −
1
2
 
𝑥 + 2 = 0 → 𝑥3 = −2 
Ubicamos las raíces en una recta numérica; de manera ordenada; dibujamos los intervalos de 
solución y aplicamos la ley de la mano derecha para colocar los signos de cada intervalo dibujado. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 27 
 
 
 
Escogemos los intervalos con signo negativo: 
] − ∞; −2] ∪ [−
1
2
; 3] 
Los corchetes en la respuesta son cerrados ya que el símbolo de desequilibrio es “≤”. 
MULTIPLICIDAD DE RAICES 
 
Hasta el momento hemos aprendido a solucionar inecuaciones polinómicas en donde las raíces 
son diferentes. Analicemos que pasa cuando las raíces se repiten. 
El término multiplicidad de raíces se refiere a raíces repetidas. En esta situación se tienen dos 
alternativas: 
MULTIPLICIDAD PAR 
 
Se refiere a que una o más raíces se repiten un número par de veces. 
Tenemos la siguiente inecuación: 
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)2(𝑥 − 3) > 0 
El término (x+2) está elevado al cuadrado, es decir, la raíz x=-2 se repite dos veces. 
Entonces, identificamos las raíces de cada factor: 
 𝑥 + 1 = 0 → 𝑥1 = −1 
𝑥 − 1 = 0 → 𝑥2 = 1 
𝑥 + 2 = 0 → 𝑥3 = −2 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 28 
 
𝑥 − 3 = 0 → 𝑥4 = 3 
Ubicamos las raíces en una recta numérica real, de manera ordenada y de menor a mayor. Antes 
de dibujar los intervalos de solución, no tomamos en cuenta a las raíces que se repiten un número 
par de veces. 
 
Ahora dibujamos los intervalos de solución, sin tomar en cuenta a la raíz par: 
 
La solución corresponde a los intervalos con signo positivo; debo garantizar que la raíz eliminada 
no sea tomada en cuenta en la solución. 
] − 1; 1[ ∪ ]6; +∞[ − {−2} 
 
MULTIPLICIDAD IMPAR 
 
Se refiere a que una o más raíces se repiten un número impar de veces. 
Tenemos la siguiente inecuación: 
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)5(𝑥 − 3) < 0 
El término (x-2) está elevado a la quinta; es decir, la raíz x=2 se repite cinco veces. 
Identificamos las raíces de cada factor: 
 𝑥 + 1 = 0 → 𝑥1 = −1 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 29 
 
𝑥 − 1 = 0 → 𝑥2 = 1 
𝑥 − 2 = 0 → 𝑥3 = 2 
𝑥 − 3 = 0 → 𝑥4 = 3 
Ubicamos las raíces en una recta numérica real, de manera ordenada y de menor a mayor. Antes 
de dibujar los intervalos de solución; tomamos en cuenta a las raíces que se repiten un número 
impar de veces. Dibujamos los intervalos de solución, ubicamos las raíces y aplicamos la ley de la 
mano derecha. 
 
La solución corresponde a la unión de intervalos con signo negativo. 
] − 1; 1[ ∪ ]2; 3[ 
 
RAICES NO REALES O IMAGINARIAS 
 
Cuando identificamos las raíces de un polinomio podemos encontrar el caso en el que el valor de 
la raíz, es un valor no real. 
Estudiemos la siguiente inecuación: 
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥2 + 1)(𝑥 − 3) < 0 
En primer lugar identificamos las raíces: 
𝑥+ 1 = 0 → 𝑥1 = −1 
𝑥 − 1 = 0 → 𝑥2 = 1 
𝑥2 + 1 = 0 → 𝑥3 = ±√−1 
𝑥 − 3 = 0 → 𝑥4 = 3 
El término x2+1, tiene por raíces términos no reales. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 30 
 
Ubicamos las raíces reales en la recta numérica real, de manera ordenada y no tomamos en 
cuenta a los términos no reales. Dibujamos los intervalos de solución y aplicamos la ley de la mano 
derecha. 
 
La solución corresponde a los intervalos con signo negativo. 
] − ∞; −1[ ∪ ]1; 3[ 
 
FACTORES CON INCOGNITA NEGATIVA 
 
Las estrategias analizadas funcionan únicamente si el coeficiente que acompaña a la variable de 
cada factor es positivo. Si revisamos los ejemplos anteriores, encontramos que los coeficientes de 
las variables de todos los factores son positivos. 
Estudiemos la siguiente inecuación: 
(𝑥 + 1)(2 − 𝑥)(𝑥 + 3) > 0 
El término (2 - x), tiene por coeficiente un número negativo. No podemos aplicar las estrategias 
aprendidas de manera directa. 
Lo que se debe hacer es una simple manipulación algébrica, seguido de la aplicación de la ley del 
signo de inecuaciones. 
Entonces para esto, reescribamos la inecuación de la siguiente manera: 
(𝑥 + 1)(−1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) > 0 
Recordemos la propiedad de los signos de agrupación de algebra; si precedo del signo negativo a 
un signo de agrupación, todos los términos que están dentro del signo de agrupación cambian de 
signo. Es lo que ha ocurrido con el término (2 – x), al precederle de -1 todos los términos en su 
interior cambian de signo. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 31 
 
Ahora ese -1 nos está estorbando; para eliminarlo multiplicamos por -1 a ambos lados de la 
inecuación, esto provoca un cambio en el sentido del símbolo de desequilibrio (debido a la regla 
del signo de inecuaciones). 
(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) < 0 
Ahora ya es posible analizar la inecuación con las estrategias aprendidas. 
Observemos esta otra inecuación: 
(𝑥 − 1)(2 − 𝑥)(3 − 𝑥)(𝑥 + 5) > 0 
Ahora son dos los términos con incógnita negativa: (2 – x) y (3 – x); procedemos de la misma forma 
aplicando la regla de algebra y tenemos: 
(𝑥 − 1)(−1)(𝑥 − 2)(−1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 5) > 0 
Se tienen dos valores -1 que se multiplican, al hacerlo por la ley de los signos el negativo 
desaparece, y la expresión que queda es: 
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 + 5) > 0 
Esta expresión ya se puede analizar con nuestras estrategias. 
Lo anterior se puede sintetizar en un par de reglas que se aplican de manera general a 
inecuaciones con factores en donde la incógnita está acompañada de coeficientes negativos. 
- Si el número incógnitas con coeficientes negativos es impar; se cambia de signo los valores 
del factor y se cambia de sentido al símbolo de desequilibrio de la inecuación. 
- Si el número incógnitas con coeficientes negativos es par; se cambia de signo los valores 
del factor y se mantiene el símbolo de desequilibrio de la inecuación. 
 
INECUACIONES RACIONALES 
 
Una inecuación racional es una inecuación con denominador y la incógnita se encuentra en el 
denominador. 
Son ejemplo de inecuaciones racionales, las siguientes expresiones: 
2
𝑥
> 2𝑥 − 5 
𝑥 − 2
𝑥 + 6
≤
4 − 𝑥
𝑥 + 1
 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 32 
 
2𝑥 − 5
𝑥 + 7
< 0 
De manera general se puede representar a una expresión racional como: 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
 
En donde: 
𝑁(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
𝐷(𝑥) = 𝑏𝑛𝑥
𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑏𝑛−2𝑥
𝑛−2 + ⋯ + 𝑏2𝑥
2 + 𝑏1𝑥 + 𝑏0 
Es decir, una expresión racional, se compone de un polinomio numerador y de otro polinomio 
como denominador. 
 
METODO DE SOLUCION DE INECUACIONES RACIONALES 
 
Para solucionar una racional hay que considerar que, no importa la expresión, toda inecuación 
racional puede reducirse a cualquiera de estas cuatro estructuras algebraicas: 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
> 0 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
≥ 0 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
< 0 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
≤ 0 
En donde: 
𝑁(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
𝐷(𝑥) = 𝑏𝑛𝑥
𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑏𝑛−2𝑥
𝑛−2 + ⋯ + 𝑏2𝑥
2 + 𝑏1𝑥 + 𝑏0 
Para solucionar una inecuación racional, vamos a aplicar un par de artificios matemáticos sencillos. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 33 
 
Escojamos una de las cuatro estructuras algébricas que describen a una inecuación racional14: 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
> 0 
Ahora multipliquemos ambos lados de la inecuación por el denominador elevado al cuadrado. 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
∗ 𝐷(𝑥)2 > 0 ∗ 𝐷(𝑥)2 
Elevando al cuadrado el denominador garantizo que es una expresión positiva15; es decir, no hay 
cambio en el sentido del símbolo de desequilibrio de la inecuación. En otras palabras la inecuación 
permanece inalterada. 
Operando la expresión y simplificando, tenemos: 
𝑁(𝑥) ∗ 𝐷(𝑥) > 0 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝐷(𝑥) ≠ 0 
Expresión que es válida únicamente si el denominador es diferente de cero. Pero esta expresión 
conlleva una conclusión más interesante y es que hemos transformado una inecuación racional en 
una inecuación polinómica; es decir, podemos solucionar una inecuación racional aplicando las 
mismas estrategias que sirven para solucionar inecuaciones polinómicas. 
De lo anterior podemos deducir las siguientes inecuaciones equivalentes: 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
> 0 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑁(𝑥) ∗ 𝐷(𝑥) > 0 ; 𝐷(𝑥) ≠ 0 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
≥ 0 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑁(𝑥) ∗ 𝐷(𝑥) ≥ 0 ; 𝐷(𝑥) ≠ 0 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
< 0 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑁(𝑥) ∗ 𝐷(𝑥) < 0 ; 𝐷(𝑥) ≠ 0 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
≤ 0 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑁(𝑥) ∗ 𝐷(𝑥) ≤ 0 ; 𝐷(𝑥) ≠ 0 
Expliquemos la estrategia con un ejemplo: 
Tenemos la inecuación: 
𝑥 − 2
𝑥 + 5
> 0 
 
14
 El método de solución que se va a deducir a partir de esta expresión, se aplica a todas las demás 
estructuras algébricas que definen a una inecuación racional. 
15
 Una propiedad de los números reales dice que todo número elevado al cuadrado es mayor o igual que 
cero. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 34 
 
Cumple con una de las cuatro estructuras algébricas analizadas anteriormente. 
Entonces en primer lugar debo indicar cuál es el valor o los valores que hacen cero al 
denominador. Para esto igualamos el denominador a cero y despejamos la incógnita. 
𝑥 + 5 = 0 
𝑥 = −5 
El valor que hace cero al denominador es -5. 
Ahora empleamos la equivalencia entre inecuaciones racionales y polinómicas, analizadas 
anteriormente y podemos reescribir la inecuación de la siguiente forma: 
(𝑥 − 2)(𝑥 + 5) > 0 ; 𝑥 ≠ −5 
Observa: numerador seguido del denominador, el símbolo de desequilibrio no cambia y en la 
solución debemos garantizar que el valor de -5 no este tomado en cuenta. 
La expresión resultante es muy familiar, se trata de una inecuación polinómica y sabemos cómo 
resolverla: 
Identificamos las raíces de cada factor; ubicamos las raíces de manera ordenada en la recta 
numérica real; analizamos la multiplicidad; dibujamos los intervalos de solución y aplicamos la ley 
de la mano derecha: 
 
Como solución escogemos los intervalos con signo positivo; no hay que olvidar que en la solución 
debemos garantizar que el valor de -5 no debe ser tomado en cuenta: 
] − ∞; −5[ ∪ ]2; +∞[ − {−5} 
Hagamos otro ejercicio: 
Tenemos la inecuación: 
𝑥 − 2
𝑥 + 3
≤
𝑥 + 1
𝑥 + 4
 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 35 
 
En primera instancia vemos que la inecuación en análisis, no se parece a ninguna de las cuatro 
estructuras características de las inecuaciones racionales. Debemos modificar la expresión para 
poder resolverla con las estrategias aprendidas. 
Hay que anotar que como primer movimiento equivocado se intenta realizar una operación en 
cruz; es decir multiplicar el denominador de la derecha con el numerador de la izquierda y el 
denominador de la izquierda con el numerador de la derecha. Movimiento algébrico válido solo en 
ecuaciones,al realizarlo en inecuaciones la respuesta obtenida es incorrecta. 
Lo primero que debemos hacer es pasar todos los términos al lado izquierdo, en el lado derecho 
queda cero: 
𝑥 − 2
𝑥 + 3
−
𝑥 + 1
𝑥 + 4
≤ 0 
Hay que reducir hasta tener una sola expresión racional; para esto debemos efectuar las 
operaciones de fracciones indicadas, es decir, encontrar el mínimo común múltiplo y efectuar en 
este caso la resta: 
(𝑥 − 2)(𝑥 + 4) − (𝑥 + 1)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 3)(𝑥 + 4)
≤ 0 
𝑥2 + 2𝑥 − 8 − (𝑥2 + 4𝑥 + 3)
(𝑥 + 3)(𝑥 + 4)
≤ 0 
𝑥2 + 2𝑥 − 8 − 𝑥2 − 4𝑥 − 3
(𝑥 + 3)(𝑥 + 4)
≤ 0 
−2𝑥 − 11
(𝑥 + 3)(𝑥 + 4)
≤ 0 
Bien, con esta última expresión podemos trabajar con las estrategias aprendidas. 
Identificamos los valores que hacen cero al denominador, en este caso -3 y -4. No deben ser 
tomados en cuenta en la solución. 
Colocamos el numerador seguido del denominador, el símbolo de desequilibrio no cambia; los 
términos -3 y -4 no deben ser parte de la solución: 
(−2𝑥 − 11)(𝑥 + 3)(𝑥 + 4) ≤ 0 ; 𝑥 ≠ −3 𝑦 𝑥 ≠ −4 
El término (-2x - 11) tiene negativo el coeficiente que acompaña a la incógnita; entonces antes de 
seguir, recordemos que cuando tenemos un factor con coeficiente de la incógnita negativo, 
cambiamos los signos de los términos y cambiamos el sentido del símbolo de desequilibrio: 
(2𝑥 + 11)(𝑥 + 3)(𝑥 + 4) ≥ 0 ; 𝑥 ≠ −3 𝑦 𝑥 ≠ −4 
De esta forma podemos comenzar nuestro análisis. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 36 
 
Identificamos las raíces; ubicamos las raíces en la recta real de manera ordenada; analizamos la 
multiplicidad; generamos los intervalos de solución y aplicamos la ley de la mano derecha. 
 
Escogemos los intervalos con signo positivo; hay que recordar que los valores -3 y -4 no deben ser 
tomados en cuenta en la solución: 
[−
11
2
; −4] ∪ [−3; +∞[ − {−3; −4} 
Aquí tenemos una alternativa con respecto a cómo escribir la respuesta; la misma respuesta 
anterior puede escribirse de la siguiente manera: 
[−
11
2
; −4[ ∪ ] − 3; +∞[ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 37 
 
EJERCICIOS 
Para afianzar los conocimientos adquiridos recomiendo resolver los siguientes ejercicios16: 
 
 
16
 Todos los ejercicios propuestos fueron tomados del libro ANALISIS MATEMATICO I de Eduardo Espinoza 
Ramos, Tercera Edición, páginas 85,86 y 89. 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 38 
 
 
 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 39 
 
 
 
 
 
Ing. Luis Alberto Beltrán V. Página 40 
 
BIBLIOGRAFIA 
 Lic. Moisés Lizárraga Paredes; ALGEBRA Teoría y Selección de Problemas; Grupo Editorial 
MEGABYTE; Lima – Perú; Primera Edición; 2008. 
 Eduardo Espinoza Ramos; ANALISIS MATEMATICO I; Editorial Servicios Gráficos J.J; Lima – 
Perú; Tercera Edición; 2002.