380029721-Trabajo-Consolidado-Algebra-Lineal

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 
	UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 
 
 Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO
 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
 
Este tipo de problemas van a poder ser abordados y estudiados, de manera relativamente sencilla, mediante el cálculo matricial, es decir, utilizando el modelo matemático de las matrices y sus herramientas asociadas. Por este motivo, en esta unidad estudiaremos, en primer lugar, el concepto de matriz y sus operaciones básicas. Utilizaremos la estructura matricial para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, y estudiaremos los conceptos de autovalores y auto vectores. Finalmente, aplicaremos todas estas herramientas al estudio de la dinámica o evolución de poblaciones, y a las cadenas de Márkov. 
 
Es por eso que el álgebra en su componente lineal, permitirá desarrollar habilidades para analizar y delinear mecanismos idóneos para la toma de decisiones en nuestra adaptación a la vida profesional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD 
 
 
1. Ejercicio elegido por la estudiante Carolina Cabrera 
 
Grafique en el Plano Cartesiano y luego encuentre la magnitud y dirección de los siguientes vectores. 
a. El vector tiene un punto inicial y un punto final 
b.El vector tiene un punto inicial y un punto final 
 
v es 2 13  7.21 
1  3 2    4 22 
	2	2
 4   6 
 16 36	 
 52 
 4.13 
 2 137.21 
La magnitud del vector v es 2 13  7.21 
X= tan1 1  4 2 3=tan 1 46= tan1 230.98 

 
 
 
 
 
 	 	 	 
 






2
2
3
42
1
v



 
La dirección del vector 
v
 
es 
-
0.98
° en el sentido de las manecillas del reloj y de 
-
0.98°+360°=359.02° en sentido contrario de las manecillas del reloj. v = 2 01  2   5  2 2 
 372
 
 9	49
 
 58  7.61
 	 
La magnitud del vector 
v
 
es de 1.17°
 
 
 
 
 
 
2. Ejercicio elegido por el estudiante José Alejandro Agudelo Álzate 
 
 𝑢 = 2𝑖 −4𝑗 , 𝑣 = 5𝑖+3𝑗 
 
a) 𝑢 + 𝑣 = (2 + 5)𝑖 + (−4 + 3)𝑗 
𝑢 + 𝑣 = 7𝑖 − 1𝑗 
 
 
b) 3𝑢 + 2𝑣 = 3(2𝑖 − 4𝑗) + 2(5𝑖 + 3𝑗) 3𝑢 + 2𝑣 = (6𝑖 − 12𝑗) + (10𝑖 + 6𝑗) 
3𝑢 + 2𝑣 = (6 + 10)𝑖 + (−12 + 6)𝑗 
3𝑢 + 2𝑣 = 16𝑖 − 6𝑗 
 
3. Ejercicio elegido por el estudiante Kevin Andrés Hurtado 
 
Sean los vectores: 𝑢 = (−1,4,6), 𝑣 = (−1,−2,−3),𝑤 = (1,2,3). Hallar: 
a. u*v 
b. ½ u * 4 w 
Primera parte: 
𝑢∗𝑣 = [−1𝑖,4𝑗,6𝑘]∗[−1𝑖,−2𝑗,−3𝑘] = 1−8−18 = −25 Segunda parte. 
 
 
 
 
 
 
 
4. Ejercicio elegido por el estudiante Kevin Andrés Hurtado 
a. Hallar los valores de α que hacen que los vectores dados sean ortogonales: 
 Y 
b. Para el siguiente par de Vectores, determinar el valor de β que hace que los 
vectores dados sean paralelos: Y 
 
Realizamos la primera parte: 
 
Recordemos que: 
 
 
 
Para vectores ortogonales: 
 
 
Realizamos la segunda parte. 
 
Para este caso utilizamos el teorema de proporcionalidad 
 
 
Quedándonos que: 
Ahora 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Ejercicio elegido por el estudiante José Alejandro Agudelo Álzate 
 
 
a) 
 
 j 
 
 
b) 𝑢 = 5𝑖 − 3𝑗 , 𝑣 = −2𝑖 + 4𝑗 
 
 
 
 
 
 
 j 
 
 
 
 
 
 
 
6. a. 
 
Desarrollo 
𝒂𝟏𝟏 = 1 
 
Ya que (1) si 𝒊= j 
 
𝑎12= [1-2(2)] = -3 
𝑎13= [1-2(3)] = -5 
𝑎14= [1-2(4)] =-7 
𝑎21= [2-2 (1)] =0 
𝑎22=1 
 
Ya que (1) si 𝒊= j 
 
𝑎23= [2-2(3)] = -4 
𝑎24= [2-2(4)] = -6 
𝑎31= [3-2(1)] = 1 
𝑎32= [3-2(2)]= -1 
𝑎33= 1 
 
Ya que (1) si 𝒊= j 
 
𝒂𝟑𝟒= [3-2(4)] = -5 
 
La matriz solicitada es 
 
 
 
 
 
b. Una pareja de conejos inicia su reproducción, donde hay nacimiento y mortandad, cumpliéndose la siguiente ley: Excepto en la posición a11, el número de conejos que están en la granja es igual [4i*j –j] 
 
 
Desarrollo 
 
La matriz creada será de 4x4 
Parámetro de nacimiento y mortandad 
 
[4i*j –j] 
 
𝑎11= 2 
𝑎12 = [(4) (1) (2)-2] = 6 
𝑎13 = [(4) (1) (3)-3] = 9 
𝑎14 = [(4) (1) (4)-4] = 12 𝑎21 = [(4) (2) (1)-1] = 7 
𝑎22 = [(4) (2) (2)-2] = 14 
𝑎23 = [(4) (2) (3)-3] = 21 
𝑎24 = [(4) (2) (4)-4] = 28 
𝑎31 = [(4) (3) (1)-1]= 11 
𝑎32 = [(4) (3) (2)-2]= 22 
𝑎33 = [(4) (3) (3)-3]= 33 
𝑎34 = [(4) (3) (4)-4] = 44 
𝑎41 = [(4) (4) (2)-1]= 15 
𝑎42 = [(4) (4) (2)-2] = 30 
𝑎43 = [(4) (4) (3)-3] = 45 𝑎44= [(4) (4) (4)-4] = 60 La matriz resultantes es = 
 
 
 
C. Construya una matriz de tal manera que se den por lo menos 9 registros de datos del número de conejos y que cumpla la condición que j = i – 1 
 
Respuesta 
Como el ejercicio lo indica, se debe empezar con la fila dos, con el fin de que cumple con la condición, 
 j = i – 1 
 
Planteando la condición j = i – 1 
Junto con el parámetro de crecimiento [4i*j –j] 
Se tiene que la matriz resultante es: 
 
𝑎21 = [(4) (2) (1)-1]= 7 
𝑎32 = [(4) (3) (2)-2]= 22 
𝑎43 = [(4) (4) (3)-3]= 45 
𝑎54 = [(4) (5) (4)-4] = 76 
𝑎65 = [(4) (6) (5)-5] = 115 
𝑎76= [(4) (7) (6)-6] = 162 
𝑎87 = [(4) (8) (7)-7] = 217 𝑎98 = [(4) (9) (8)-8] = 280 
𝑎109= [(4) (10) (9)-9] = 351 
𝑎11.10= [(4) (11) (10)-10] = 430 
𝑎12.11= [(4) (12) (11)-11] = 517 
 
 
 
 
 
7. Ejercicio elegido por la estudiante Carolina Cabrera 
 
Exprese la Matriz A como una matriz triangular superior haciendo uso 
únicamente de operaciones elementales: 
b. Exprese la Matriz B como una matriz triangular inferior haciendo uso 
únicamente de operaciones elementales: 
 
RESPUESTA: 
 
 
 
 f2-
 
8. Ejercicio elegido por el estudiante Iván Marino Álzate 
 
a.Exprese la matriz como una matriz escalonada, haciendo 
uso únicamente de operaciones elementales. 
 
Solución 
 
 
 
Intercambiar filas de la matriz por 
 
 
 
0 en la fila 
 
 
 
 
 
 
 
0 en la fila 
 
 
 
 
 
b.De la siguiente matriz obtenga la forma escalonada reducida por reglones. 
 
 
 
 
Intercambiar filas de la matriz por 
 
 
0 en la fila 
 
 
 
 
0 en la fila 
 
 
 
 
 
 
 
REDUCIR 
 
 
 
1 en la fila 
 
 
 
 
 
0 en la fila 𝑹𝟐 
 
 
 
 
 
0 en la fila 𝑹𝟏 
 
𝑅1 −6∗ 𝑅3 
 
 
 
1 en la fila 𝑹𝟐 
 
 
 
0 en la fila 𝑹𝟏 
 
𝑅1 −4∗ 𝑅2 
−8 4 0−4∗ 0 1 0 
 
 
 	 
 
 
1 en la fila 𝑹𝟏 
 
 
 
 
1 0 0
𝐴 = [0 1 0] RESULTADO 
0 0 1
 
 
9. 
 
𝑍 = 3𝑋𝑌 
	 0	12	8   1 3 7  9 1 2
a) X - 20 12 5  =12 3 32  9 8 21  1 0 16  8 21 6   0 17 9 
 
Primero hacemos la resta: 
 
 1 3 7  9 1 2	 1 9	 3 1	7 2	
 12 3 32  9 8 21= 12 9 3 8 32 21   8 21 6   0 17 9   8 0  21 17  6 9 
 
 1 9	 3 1	7 2	 10 4 9	
12 9	3 8	32 21	   21 5 11	 
 8 0	 21 17  6 9    8 4 15 

 
	 0	12	8 	10 4	9 
X - 20 12 5 =21 5 11  
	 1	0	16	 8 4 15
 
X X X  0	12	8  10 4 9	
X X X  20 12	5    21 5 11	 

X X X  1	0 16   8 4 15 
 
	 X
 X 20

 X 1

	X 12
X 12
X
	X 8 	10
X 5 =21
X 16	 8
	4	9 
5 11  
4 15
 
Nos queda: 
 
Primer Elemento (1,1) => X = 10 
Segundo Elemento (1,2) => X – 12 = -4; X = -4 +12; X = -8 
Tercer Elemento (1,3) => X – 8 = 9; X = 9 + 8; X = 17 
Cuarto Elemento (2,1) => X + 20 = 21; X = 21 – 20; X = 1 
Quinto Elemento (2,2) => X + 12 = -5; X = -5 -12 = X = -17 
Sexto Elemento (2,3) => X + 5 = 11; X = 11 – 5; X = 6 
Séptimo Elemento (3,1) => X – 1 = 8; X = 8 + 1; X = 9 
Octavo Elemento (3,2) => X = -4 
Noveno Elemento (3,3) => X + 16 = -15; X = -15 – 16; X = -31 
	 
	
	
	
	
	10 8
X =  1 17

	 9	4

 
	17 
6  31
	
	
	
	 7 b) Y = X +  2

9

 
 
	0 19
8	2  
1 1 
	
	
	
	10 8
Y =  1 17

	 9	4

 
	17 	 7
6  + 2
31	9
	0
8
1
	19
2  
1 
	
		10 7	20 0 9 19		
	17 20
	10
9  
16
	Y=21 2	 5 8	11 2	 =23	3

	 8 9	 4 1 15 1 	1 5
	
 
17 20 10
Y=23	3	9  
1 5 16
 
 
 
 
 
 
 
c) Z = 3XY 
 
 
Primero hacemos X.Y 
 
	10 4 9	  17 20 10	 
X.Y = 21 5 11	   23 3	9  
 8 4 15    1 5 16
 
X*Y = 
 
	 69 257 280	
X*Y = 231 490 431		 

 59 97 124 
 
Y ahora multiplicamos por 3: 
 
	 69 257 280	
Z= 3 231 490  431  59 97 124 
 
207 771 840 
Z = 693 1470 1293		 
	177 291	372 
 
Planteamos el término general de una progresión geométrica cuyo primer término es 14 y la razón común es 3 Adicionalmente encontramos la suma de los primeros 5 términos y el valor del término 10. 
 
Progresión Geométrica: 
 
an  a r1 n1 
 
Donde: a1 14 r 3
 
Remplazando el término general quedaría: 
 
an 14 3 n1 
 
 
Suma de términos: 
 
Sn  a rn  a1 r 1
 
Hallamos el termino a5en este caso n = 5 
 
a5 14 3 5 1  a5 14 3 4 
 
a5 14 81 1134	 	 
Sn  a rn  a1 r 1
 
S5  1134 3 14 	 
3 1
5	3402 14  3388	 
S 		1694
	2	2
 
La suma de los primeros 5 términos es 1694 El décimo termino n = 10 a10  ? 
 
a10 14 3 10 1  a10 14 3 9 a10 14 19683  a10  275562
 
El décimo término es igual a 275562 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Ejercicio elegido por el estudiante Iván Marino Álzate 
 
Un cliente de un Supermercado ha pagado un total de $156 por 24 litros de avena, 6 kilogramos de pollo pernil y 12 litros de néctar de manzanas. Calcular por el método de Cramer el precio de cada artículo, sabiendo que 1 litro de néctar cuesta el triple de 1 litro de avena y que 1 kilogramo de pollo cuesta igual que 4litros de néctar más 4 litros de avena. 
 
Solución 
 
X= 1 litro de néctar de manzana 
Y= 1 litro de avena 
Z= 1 kilogramo de pollo 
 
X+y+z=156 
X= y+3 
Z=x+4+y+4 
 
Método de Cramer 
 
X+y+z=156---------- 1 1 1 
X= y+3= x –y 0z=3--- 1 -1 -0 
Z=x+4+y+4= -x –y z=8----- -1 -1 1 
 
Determinante 
 
	𝐴
D=
𝐶
 
 
	𝐵
= (A*D)-(C*B) 
𝐷
	𝟏
∆= 𝟏
−𝟏
		𝟏	𝟏
−𝟏 𝟎 
−𝟏 𝟏
 
 
 
∆= 𝟏∗(−𝟏∗𝟏)−(−𝟏∗𝟎)−𝟏(𝟏∗𝟏)−(−𝟏∗𝟎)+𝟏(𝟏−𝟏)−(−𝟏∗−𝟏) 
 
∆= 𝟏(−𝟐)−𝟏(𝟎)+𝟏(𝟎) 
 
∆= −𝟐−𝟎−𝟎 
 
∆= −𝟐 Resultado 
 
	𝟏𝟓𝟔
∆𝒙 = 𝟑
𝟖
	𝟏
−𝟏
−𝟏
	𝟏
𝟎 
𝟏
 
−𝟏
 −𝟏
 
∆𝒙 = −𝟏𝟔𝟒 Resultado 
 
	𝟏	𝟏𝟓𝟔 𝟏
∆𝒚 = 𝟏	𝟑	𝟎 
	−𝟏	𝟖	𝟏
 
 
𝟑
 𝟖
 
∆𝒚 = −𝟏𝟒𝟖 Resultado 
 
	𝟏
∆𝒛 = 𝟏
−𝟏
	𝟏
−𝟏
−𝟏
	𝟏𝟓𝟔
𝟑 
𝟖
 
 
 
∆𝒛 = −𝟑𝟐𝟖 
 
X=-164/-2=82 Y=-148/-2=74 
Z=-328/-2=164 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSIONES 
 
 
Se logró conocer y comprender los conceptos básicos de vectores, necesarios para iniciar el estudio del Algebra Lineal. 
 
El primer uso que se le dará durante el curso a las técnicas del álgebra lineal va a ser para encontrar la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Tales problemas tienen gran importancia 
 
Para aplicaciones como hallar las corrientes en circuitos eléctricos o hacer códigos en informática. 
 
Se realizó la interiorización de los contenidos de la primera unidad del módulo de algebra lineal. 
 
Se pudo estudiar los diferentes temas de algebra lineal, entre los cuales se encuentran, los conceptos de vectores, matrices, determinantes y las diferentes operaciones que se pueden ejecutar y realizar con cada uno de estos temas, además de ver la importancia de los mismos para nuestra formación profesional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
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Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Páginas 117 a 127 
 
F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, 
CO: 	Ecoe 	Ediciones. 	Páginas 	88 	a 	103. 	Recuperado 	de: 
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=1058 4265&p00=algebra+lineal 
 
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=1101 3215&p00=algebra+lineal 
 
Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. 
Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. 	Páginas 5 a 18. Recuperado de: 
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=1058 4265&p00=algebra+lineal 
 
Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. 
Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Páginas 54 a 68. Recuperado de: 
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=1058 4265&p00=algebra+lineal 
 
Zúñiga, Camilo (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7193 
 
Zúñiga, Camilo (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7193