-Calculo-Vectorial-Unidad-4

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Índice
INTROCUCCIÓN………………………………………………………………………………..02 
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA……………………………………………………………………………………...03 
JUSTIFICACIÓN…………………………………………………………………………...…....03 
OBJETIVOS…………………………………………………………………………………...…04 
 
4. Funciones Reales de Varias Funciones 
4.1. Definición de una función de varias variables…………………………………...……05 
4.2. Grafica de una función de varias variables………………………………….…..…….07 
4.3. Curvas y Superficies de nivel………………………………………………..……..……08 
4.4. Derivadas parciales de funciones de varias variables y su interpretación geométrica……………………………………………………………………..……………..…..09 
4.5. Derivada direccional………………………………………………….……………..……11 
4.6. Derivadas parciales de orden superior………………………….………………..……13. 
4.7. Incrementos diferenciales y regla de la cadena…………………………………..…..15
4.8. Derivación parcial implícita…………………………………….………………………...17 
4.9. Gradiente…………………………………………………………………………….…….18 
4.10. Campos vectoriales………………………………………………………………….……19 
4.11. Divergencia rotacional, interpretación geométrica y física…………………………..20 
4.12. Valores extremos de funciones de varias variables. ………………………………...22 
CONCLUSIONES………………………………………………………………………………..23 
BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………………..24 
Introducción
En esta investigación de la unidad 4 llamada función de varias variables veremos como se maneja sus diferentes temas y subtemas.
En el primer tema veremos la definición de función de varias variables, veremos cómo es su comportamiento mediante las funciones mediante R veremos rangos y graficaciones del mismo nota importante es.
Veremos en la forma en que estas funciones de varias variables como se grafican veremos cómo se desenvuelven en el entorno de las gráficas, veremos significados de esas gráficas y métodos de graficacion o modelos.
Cabe mencionar que veremos cómo se ejecuta el trabajo de curvas y superficies de nivel las cuales tendremos con sus definiciones veremos la importancia en la cual se utilza estos métodos y su entorno,
Aprenderemos a realizar derivadas parciales y en su interpretación geométrica de estas mismas veremos algunas fórmulas y formas de realizar estas derivadas utilizadas en el área de cálculo multivariable.
Dedicaremos tiempo en las derivadas direccionales para aprender cómo es su funcionamiento tal como se maneja estas derivadas y sus modos de tomar ejecución
Por otro lado también veremos las derivadas parciales de modo superiores, formulas ejemplos y modos de ejecución aprenderemos sus definiciones y sus modos de aprendizaje sobre este tema.
Veremos definiciones el tal como incrementos, diferenciales y veremos la regla de la cadena veremos de que consta cada una de estas y sus modos de trabajo y formulación y procedimiento de realización.
Veremos las derivaciones en el modo implícito como es que se manejan este tipo de derivadas y sus modos de realización entre las derivadas que ya hemos visto y como es que se utilizan.
Realizaremos la verificación de tema gradiente como trabaja con vectores y demás áreas y tipos de derivadas como se ejecuta y veremos ejemplos para aprender cómo funciona.
En el tema de campos vectoriales veremos cómo se utiliza para observar mejor algunas especificaciones y como es que se puede definir mejor puntos y diferentes áreas de trabajo.
Veremos los temas de divergencia rotacional y la interpretación geométrica y física como es la fórmula de rot formula de div y modo geométrico de estos mismos.
Veremos el teorema de máx.-min sobre valores extremos de varias variables. Y como se grafica un máximo y el mínimo en una función o ejercicio.
Justificación
 Interpretar, reconstruir y aplicar modelos que representan fenómenos de la naturaleza en los cuales interviene más de una variable continua, en diferentes contextos de la ingeniería.
Planteamiento del problema
• Identificar las variables presentes en un problema. 
• Relacionar varias fuentes de información a la vez.
 • Reconocer y definir un problema.
 • Analizar fenómenos naturales
 • Sintetizar información.
 • Descubrir los datos relevantes.
 • Combinar diferentes enfoques o puntos de vista.
 • Proyectar imágenes en el espacio.
 • Inferir y deducir principios. 
• Razonar analógicamente.
 • Generar hipótesis.
 • Diseñar medios para verificar hipótesis. 
• Establecer relaciones virtuales
 • Pensar críticamente.
 • Desarrollar pensamiento lógico matemático.
Objetivos
Conocer los principios y técnicas básicas del Cálculo en Varias Variables para interpretar y resolver modelos que representan fenómenos de la naturaleza en los cuales interviene más de una variable continua.
 4.1 Definición de una función de varias variables
En esta sección se introduce otro importante concepto: las funciones de varias variables. Se introduce también el concepto de derivación parcial. 
Conceptos muy útiles en las aplicaciones. Se ha visto la gran utilidad de las funciones en la descripción de los diferentes fenómenos de la naturaleza. Hasta el momento se ha considerado solamente funciones de una variable funciones de una variable:
Funciones cuyos valores, que serán números reales dependerán de más de una variable 
Por ejemplo recordaremos que una función : A→B del conjunto del conjunto A al conjunto B es una regla que se asocia a cada uno del elemento a Є A un elemento y solo a uno bien determinado 
b Є B, llamado “imagen de abajo ” y escrito como b= (a).
El conjunto A es el dominio de el conjunto de B es su contra dominio y en el conjunto formado por todas las imágenes de es su rango 
Rango de = {b Є B|b=(a), a Є A}
Ahora vamos a considerar funciones cuyas imágenes son también números reales pero cuyo dominio será un subconjunto de espacio 
Es decir funciones del tipo C → llamadas funciones Reales de n de variables vectoriales.
 C → es una regla que asocia a cada n-ada ordenada de números reales (,) de U o bien a cada vector X d U
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).
Pueden darse definiciones similares para las funciones de tres, cuatro o n variables donde los dominios consisten en triadas En todos los casos el recorrido o rango es un conjunto de números reales. 
Como ocurre con las funciones de una variable, la manera más común para describir una función de varias variables es por medio de una ecuación, y a menos que se diga explícitamente lo contrario, se puede suponer que el dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la ecuación está definida
Ejemplo: 
Hallar y trazar el dominio de  
Restricción:  
Por lo tanto: {} 
Grafica: 
Ejercicio:
	f(x, y) = x - y
	Función de dos variables
	
	f(1, 2) = 1 - 2 = -1
	Sustituya x por 1 y y por 2
	
	f(2, -1) = 2 - (-1) = 3
	Sustituya x por 2 y y por -1
	
	f(y, x) = y - x
	Sustituya x por y y y por x
4.2 Grafica de una función de varias variables.
Otra forma de analizar el comportamiento de una función de 2 variables es por medio de su gráfica.
Si f es una función 2 variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z) de R3, tales que z = f (x, y) y (x, y) está en D.
Así como la gráfica de una función f de una variable es una curva C con ecuación de la forma
y = f (x), la gráfica de una función f de 2 variables es una superficie S con ecuación z = f(x, y).
Ejemplo:
Podemos visualizar la gráfica (superficie S) de f como si se encontrara directamente arriba o debajo de su dominio D EN EL PLANO XY.
Ejercicio:
Trace la gráfica de la función f(x , y)=6-3x-2y 
1
4.3 Curvas y Superficies de nivel.
Las curvas de nivel o curvas o curvas de contorno son otra forma de analizar el comportamiento de funciones de 2 o más variables.
A partir de las curvas de nivel de una función, se genera un mapa de contorno, en el que se representa en unplano, el conjunto de puntos (x, y) que pertenecen a f (x, y) cuando la elevación es constante, f (x, y) = k.
Superficie debido a que muchas de las superficies con las que trabajamos.
La traza de una superficie en el plano es la curva que resulta de la intersección entre ambos.
La superficie es aguda donde las curvas de nivel son cercanas entre si; es más plana donde están más separadas.
Entonces con una interpretación correcta del “mapa de contorno” podemos imaginar la gráfica de una función f (x, y).
Aplicaciones Físicas:
En el mundo real los mapas de contorno que nos son familiares son los usados en topografía para describir regiones montañosas, en este caso cada curva de nivel pertenece a una región con la misma elevación sobre el nivel del mar. Si caminamos a lo largo de una de estas “curvas de contorno” NO subiremos, NI bajaremos.
 
Otras aplicaciones de las curvas de nivel es indicar las diferentes temperaturas (termografía), valores de presión atmosférica o intensidad de campo magnético en alguna región.
Ejemplos demostrativos (Interpretación de Curvas de Nivel):
1) Utilice el “mapa de contorno” para estimar los valores de f(1, 3) y f(4, 5).
Solución:
El punto (1, 3) se encuentra en 70 ≤ z ≤ 80, así estimamos:
f(1, 3) = 73
f(4, 5) = 56
4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables
Y
Su interpretación geométrica.
En general, si f es una función de 2 variables x y y. Supongamos que hacemos variar solamente a x, mientras que y permanece fija (y = b).
Estamos entonces considerando un función de una sola variable g(x) = f(x, b). Si g tiene derivada en a, esta es la “derivada parcial de f con respecto a x en (a, b)” y la denotamos por:
Entonces:
f x (a, b)
f x (a, b) = g´(a) Donde g(x) = f(x, b)
Si f es una función de 2 variables, sus “derivadas parciales” son las funciones f x y f y
definidas por:
f x ( x, y) =
f y ( x, y) =
lim
h → 0
lim
h → 0
 f ( x h, y) f ( x, y)
h
 f ( x, y h) f ( x, y)
h
- Regla para hallar derivadas parciales de z = f(x, y):
1) Para hallar
f x , considere y como constante y derive f(x, y) con respecto a x
2) Para hallar
f y , considere x como constante y derive f(x, y) con respecto a y.
No debe olvidar:
dc  0
dx
Nota: En “derivación parcial” aplican TODAS las fórmulas de derivación de funciones de una variable.
Interpretación geométrica
Si f está una función de x y y, el proceso de tomar la derivada parcial ∂f/∂x y evaluarla a (a, b) es nada más que tomar constante y a y = b y calcular la razón de cambio de f en el punto x = a. Entonces, la derivada parcial es el pendiente de la recta tangente en el punto donde x = a y y = b, a lo largo del plano que pasa por y = b. 
Ejemplo:
x = a y y = b, 
Ejercicio:
Derivada parcial
f(x, y) = x2 - y2
	∂f_
∂x
	=
	2x - 0 = 2x
	∂f__
∂y
	=
	0 - 2y = -2y
	
	
	
4.5 Derivada direccional
Derivadas direccionales y vector gradiente Recordemos que si z f ( x, y) , entonces las derivadas parciales fx y fy están definidas como: Definición:
f x () 
f y () 
Y representa la razón de cambio de z y las direcciones x y y, es decir, en las direcciones de vectores unitarios i y j
El plano vertical que pasa por P en la dirección de u corta a S en una curva C
La pendiente de la recta tangente T a C en P es la razón de cambiar de Zen la dirección de U contra a S en una curva C
La derivada direccional de f en f en ( x0 , y0 ) en la dirección de un vector unitario u a, b es f ( x0 ha, y 0 hb) f ( x0 , y0 ) DU f ( x0 , y 0 ) Lím h 0 h Si este límite existe. Si comparamos la definición anterior con la definición 1, vemos que si u = i = 1,0 , entonces, Di f f x y si u = j = 0,1 , entonces D j f f y . 
En otras palabras, las derivadas parciales de f con respeto a x y y son sólo casos particulares de la derivada direccional. Cuando se calcula la derivada direccional de una función definida por una fórmula generalmente se emplea el siguiente teorema : Teorema: Si f es una función diferenciable de x y y, entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u = a, b y
DU f ( x, y) f x ( x, y)a f y ( x, y)b
Ejemplo:
U=<a,b>=<cosϴ,senϴ>
	
Ejercicio:Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones
a) f(x; y) = xy, (x0; y0) = (e; e), d = 5i + 12
a) Recordando que Duf(x0) = f(x0)·u, debemos hallar el gradiente de la función y un vector unitario en la dirección dada.
4.6 Derivadas parciales de orden superior.
 
si f es una función de dos variables entonces sus derivadas parciales fx y fy son también funciones de0 es coincidencia sus derivadas parciales y que reciben el nombre se 
Segundas derivadas parciales de F
Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.
Ejemplo:
Eliminando el término que da 0/0 o n/0, tenemos:
lim
Δx → 0
x 2  2xx  x 2  xy  xy  2 y 2  x 2  xy  2 y 2
 =
x
lim
Δx → 0
lim
Δx → 0
lim
 Δx → 0 2 x  x  y = 2x – y
En efecto fx = 2x – y
Ejercicio:
2xx  x 2  xy
=
x
x(2 x x y) =
x
4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena.
- Incrementos y diferenciales:
Para una función y = f(x), definimos el diferencial dx como una variable independiente, capaz de tomar cualquier valor real. Así tenemos:
dy = f ’ dx
. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta diferencia con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.
- Regla de la Cadena:
La regla de la cadena para funciones de una sola variable nos ayuda a derivar funciones compuestas (función de una función).
Si y = f(x) y x = g(t); y f y g son funciones diferenciables, entonces y = f(x) es indirectamente una función de t.
- Regla de la cadena Caso 1:
Suponga que z = f(x, y) es una función diferenciable en donde x = g(t) y y = h(t) son funciones diferenciables en t. Entonces:
dz  f dx  f dy
dt x dt
y dt
Es claro que
dz representa la razón de cambio de z con respecto a t, cuando el punto (x,
dt
y) se mueve a lo largo de la curva C con ecuaciones paramétricas, x = g(t) y y = h(t).
- Regla de la cadena Caso 2:
Suponga que f(x, y) es una función diferenciable de x y y donde x = g(s, t) y y = h(s, t)
son funciones diferenciables de s y t.
z  z x  z y
s x s
y s
z  z x  z y
t x t
y t
Ejemplo:
Ejercicio:
 4.8 Derivación parcial implícita.
dy  
F
x   Fx 
dx F Fy
y
z  
x
F
x 
F
z
z  
y
F
y 
F
z
Estas funciones satisfacen nuestras necesidades para derivar funciones implícitas de varias variables, pero, NO es necesario memorizarlas. Recomendamos derivar la función con cuidado y despejar la razón de cambio que necesitemos.
La regla de la cadena para las variables en la ecuación conduce a una fórmula que elimina la mayor parte del trabajo de diferencia implícita supongaque para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y basta con derivar miembro a miembro utilizando las reglas de derivación y teniendo presente que x'=1 en general y'≠1 para que se omite x’ y dejamos y’
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, 
Así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente:.
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que si no se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿Cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x’.
Ejemplo: 
 x'=1.
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
6x-2y=0
6-2y’=0 y’=3
Ejercicio:
 4.9 Gradiente.
Del teorema 3 que la derivada direccional se puede escribir como el producto de dos vectores
 u
El primer vector en este producto punto se presenta no sólo al calcular las derivadas direccionales, sino también en muchos otros contextos. Por eso se le da un nombre especial, Gradiente de , y una notación especial (grad  o tambien , que se lee
 "el gradiente de " )
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar f es un campo vectorial que indica en cada punto del campo escalar la dirección de máximo incremento del mismo. El gradiente se representa con el operador diferencial seguido de la función
Ejemplo:
Ejercicio:
Determinar la derivada direccional de la función en el punto dado en dirección que indica el ángulo 
 en el punto  y siendo 
Entonces, partiendo de: 
Obtenemos: 
4.10 Campos vectoriales.
Un campo vectorial es una función que asigna un vector a cada punto del plano o del espacio tridimensional .Un ejemplo de un campo vectorial es el gradiente de una función f (x,y); en cada punto (x,y) apunta en la dirección de máxima rapidez de aumento de f.En esta sección veremos otros campos vectoriales que representan velocidades y fuerzas.
CAMPOS DE FUERZA
Otra cantidad física representada por un vector es una fuerza. Cuando experimento una fuerza, a veces esta resulta de un contacto directo con el objeto que ejerce la fuerza, tales fuerzas se pueden representar mediante campos vectoriales.
Un campo vectorial en dos dimensiones es una función f(x,y) cuyo valor en el punto (x,y) es vectorial bidimensional. De la misma manera, un campo vectorial en tres dimensiones es una función f(x, y, z) cuyos valores son vectores tridimensionales.
Como un campo vectorial es una función que asigna un vector a cada punto, con frecuencia un campo vectorial, puede ser expresado por una formula.
Un campo vectorial es una construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo, de la forma.
Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo, modelar la velocidad y la dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como la fuerza electromagnética o la gravitatoria, pues cambian punto a punto.
4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física.
Rotacional y divergencia 
Cada operación se asemeja a la derivación pero una de ellas genera un campo vectorial, mientras el otro un campo escalar.
Rotacional Es un vector que indica cuán curvadas están las líneas de campo o de fuerza en los alrededores de un punto. Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Un rotacional igual a cero en un punto dado, significa que en esa región las líneas de campo son rectas
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:
Aquí, ΔS es el área de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a ΔS y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.
Divergencia Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Es un vector que indica en qué dirección las líneas de campo se encuentran más separadas entre sí, o sea la dirección hacia donde disminuye la densidad de líneas de campo por unidad de volumen. El módulo de la divergencia indica cuánto disminuye dicha densidad. La divergencia puede ser alta aunque el valor del campo sea muy bajo en ese punto.
Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El símbolo  representa el operador nabla.
Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee manantiales. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros
Se llaman fuentes escalares del campo  al campo escalar que se obtiene a partir de la divergencia de 
La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.
Aplicaciones en física
       El Gradiente posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.
Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico
Ejemplo:
) Resulta:
Para coordenadas esféricas () resulta
Ejercicio:
 Determinar la divergencia
4.12 Valores extremos de funciones de varias variables.
Teorema máximo-mínimo
Una función que es continua en todo punto de un intervalo cerrado tiene un máximo y un mínimo absoluto en el intervalo. Siempre se buscan estos valores al hacer la gráfica de una función, y se verá la importancia que tiene en la resolución de problemas y en el desarrollo de cada integral.
El punto es un punto de máximo absoluto y local para la función definida por:
Como se ve este teorema solo expresa condiciones necesarias de existencia de extremo local bajo el supuesto de que la función tiene derivadas parciales respecto a cada variable definidas en dicho punto (para ello es suficiente pero no necesario que la función sea diferenciable).A los puntos que anulan todas las parciales de primer orden se les denomina puntos estacionarios.
Máximos y mínimos restringidos
Un problema restringido de optimización Tiene la formaMaximiza (o minimiza) f(x, y,. . . ) sujeta a restricciones.Las restricciones están en forma de ecuaciones o en forma de restricciones del dominio de f. Podemos resolver estos problemas por primero despejar una de las variables de las ecuaciones de restricción, para después sustituirla en f, y después ubicar el máximo (o mínimo) de la función que resulta. En casos en los que el dominio R de la función resultando tiene una frontera, tenemos también ubicar los extremos de f cuando se está restringido a la frontera.
Ejemplo: 
Grafica de un punto máximo y uno mínimo.
Ejercicio:
Encontrar el máximo y el mínimo
X=f(x)
Conclusiones
 
 Para esta investigación fue necesario contar primero con una investigación basada en libros y enciclopedias todo esto para alcanzar a comprender los temas y tener una mayor perspectiva del trabajo final ,días de investigación basados en calculo vectorial y función real de varias variables todo esto para alcanzar una buena participación y buen aprendizaje .
 Todo lo investigado fue resumido entre las cosas más importantes y resaltadas de cada uno de los temas de nuestra unidad para hacer el buen uso del aprendizaje y llevar a cabo una buena disciplina en el área de cálculo.
 Hoy en día cabe mencionar que en nuestra área de ingeniera es bueno estar lleno de plenos conocimientos basados en las matemáticas para ir acelerando el funcionamiento y rapidez de nuestro capacidad de aprendizaje y lógica matemática.
 En algunos temas cabe resumirque era necesario añadir una serie de procedimiento y ejemplos para poder llegar a lograr una buena relación de aprendizaje en nuestra materia calculo vectorial, cabe mencionar que para un buen modelo de aprendizaje va basado en conocimientos como imágenes , textos ,ejercicios.
 Todo es necesario resaltar que en esta investigación fue buscado lo mas importante de cada tema lo mas importante para que uno pueda tener el buen entendimiento y reconocimiento de cada uno de los temas todo esto para que tenga un amplia variedad de ideas.
 Al final de esta unidad es importante solidificas aspectos como lo son 
• Identificar las variables presentes en un problema. 
• Relacionar varias fuentes de información a la vez.
 • Reconocer y definir un problema.
 • Analizar fenómenos naturales.
 • Sintetizar información.
 • Descubrir los datos relevantes.
		
Bibliografía
Libros:
Calculo de varias variables, Autor willianG. Mc CAllum 1ra edición, editorial continental SA de CV
Cálculo multivariable, Autor: James Stowart, 4a edición, Editoria Thomson learning, México 2002. 
Cálculo Vectorial, Autor: Claudio Pita Ruis, 1ra edición, Editorial: Pearson Education, México 1995.
Internet:
http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html#top
http://es.scribd.com/doc/45507268/4-1-Definicion-de-una-funcion-de-varias-variables
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Derivadas_parciales#Derivadas_Parciales
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