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CALCULO II
Msc. Edinson R. Montoro Alegre
Universidad Nacional del Callao
Facultad de Ciencias Naturales y Matematica
Semestre academico 2022-A
Msc. Edinson R. Montoro Alegre Universidad Nacional del Callao Facultad de Ciencias Naturales y Matematica
CALCULO II
Tema: Métodos de integración:
Método de sustitución o cambio de variable
Msc. Edinson R. Montoro Alegre Universidad Nacional del Callao Facultad de Ciencias Naturales y Matematica
CALCULO II
Contenido
1 Métodos de integración
• Métodos de integración o cambio de variable
• Ejemplos
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CALCULO II
Teorema (Sustitución o cambio de variable)
Sean f : I → R continua y g : J → I derivable. Suponga que F es una
antiderivada de f en I, entonces∫
f(g(x))g′(x)dx = F (g(x)) + C
Demostracion:
Por la regla de la cadena,
F (g(x))′ = F (g(x))g′(x) = f(g(x))g′(x), para todox ∈ J
Luego, F (g(x)) es una antiderivada para f(g(x))g′(x) en J .
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Métodos de integración
Pensando como un cambio de variable
u = g(x)⇒ du
dx
= g′(x)⇒ du = g′(x)dx
Así ∫
f(g(x))g′(x)dx =
∫
f(u)du = F (u) + C = F (g(x)) + C
Ejemplo
Calcule
∫ √
3x + 4dx.
Solución:
u = 3x + 4⇒ du
dx
= 3⇒ dx = du3
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∫ √
3x + 4dx =
∫ √
u
du
3
= 13
∫ √
udu
= 13
u3/2
3/2 + C
= 29
√
u3 + C
= 29
√
(3x + 4)3 + C
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Ejemplo
Calcule
∫
x2
(
5 + 2x3
)8
dx.
Solución:
u = 5 + 2x3 ⇒ dudx = 6x
2 ⇒ du = 6x2dx
I =
∫
x2
(
5 + 2x3
)8
dx
=
∫
u8
du
6
= 16
∫
u8du
= 16
u9
9 + C
= 154
(
5 + 2x3
)9
+ C.
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Ejemplo 3. Calcule
∫
x cos
(
x2
)
dx Solución.
u = x2 ⇒du
dx
= 2x⇒ du = 2xdx∫
x cos
(
x2
)
dx =
∫
cos(u)du2 =
1
2
∫
cos(u)du
= 12 sen(u) + C =
1
2 sen
(
x2
)
+ C.
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Ejemplo 4. Calcule
∫ 4x2
(1−8x3)4 dx. Solución.
u = 1− 8x3 ⇒ du
dx
= −24x2 ⇒ du = −24x2dx
∫ 4x2
(1− 8x3)4
dx =
∫ 1
u4
du
−6 = −
1
6
∫
u−4du
= −16
u−3
−3 + C =
1
18
(
1− 8x3
)−3
+ C
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Ejemplo 5. Calcule
∫
x2
√
1 + xdx Solución.
u = 1 + x⇒ du
dx
= 1⇒ du = dx
∫
x2
√
1 + xdx =
∫
(u− 1)2
√
udu =
∫ (
u2 − 2u + 1
)
u1/2du
=
∫ (
u5/2 − 2u3/2 + u1/2
)
du
= u
7/2
7/2 − 2 ·
u5/2
5/2 + 2 ·
u3/2
3/2 + C =
2
7 · u
7/2 − 45 · u
5/2 + 43 · u
3/2 + C
= 27(1 + x)
7/2 − 45(1 + x)
5/2 + 43(1 + x)
3/2 + C.
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Ejemplo 6. Calcule
∫
tan(x) sec2(x)dx por dos cambios de variable
diferentes. i) u = tan(x), ii) v = sec(x). Explique la diferencia en las
respuestas de i) y ii). Solución. i )
u = tan(x)⇒ dudx = sec
2(x)⇒ du = sec2(x)dx∫
tan(x) sec2(x)dx =
∫
udu = u22 + C =
1
2 tan
2(x) + C
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ii) v = sec(x)⇒ dvdx = tan(x) sec(x)⇒ dv = tan(x) sec(x)dx∫
tan(x) sec2(x)dx =
∫
tan(x) sec(x) sec(x)dx
=
∫
vdv = v
2
2 + C =
1
2 sec
2(x) + C
Como sec2(x) = 1 + tan2(x)⇒ 12 tan
2(x) y 12 sec
2(x) difieren por una
constante y, así, ambos sirven como antiderivada de tan(x) sec2(x).
1
2 sec
2(x) + C = 12 tan
2(x) + 12 + C =
1
2 tan
2(x) + K
donde K = 12 + C.
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Muchas gracias
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