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CALCULO II
Msc. Edinson R. Montoro Alegre
Universidad Nacional del Callao
Facultad de Ciencias Naturales y Matematica
Semestre academico 2022-A
Msc. Edinson R. Montoro Alegre Universidad Nacional del Callao Facultad de Ciencias Naturales y Matematica
CALCULO II
Tema: Integral indefinida
Msc. Edinson R. Montoro Alegre Universidad Nacional del Callao Facultad de Ciencias Naturales y Matematica
CALCULO II
Contenido
1 Definiciones
• Definiciones, observaciones y ejemplos
2 Integral indefinida
• Notacion y ejemplos
• Propiedades
• Mas ejemplos
3 Integrales inmediatas
• Formulas elementales de integración
• Ejemplos
Msc. Edinson R. Montoro Alegre Universidad Nacional del Callao Facultad de Ciencias Naturales y Matematica
CALCULO II
Contenido
1 Definiciones
• Definiciones, observaciones y ejemplos
2 Integral indefinida
• Notacion y ejemplos
• Propiedades
• Mas ejemplos
3 Integrales inmediatas
• Formulas elementales de integración
• Ejemplos
Msc. Edinson R. Montoro Alegre Universidad Nacional del Callao Facultad de Ciencias Naturales y Matematica
CALCULO II
Contenido
1 Definiciones
• Definiciones, observaciones y ejemplos
2 Integral indefinida
• Notacion y ejemplos
• Propiedades
• Mas ejemplos
3 Integrales inmediatas
• Formulas elementales de integración
• Ejemplos
Msc. Edinson R. Montoro Alegre Universidad Nacional del Callao Facultad de Ciencias Naturales y Matematica
CALCULO II
Definición
F es una antiderivada (o primitiva) de f en intervalo abierto I si
F ′(x) = f(x) para todo x ∈ I
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CALCULO II
Ejemplo
F (x) = 4x3 + x2 + 5 es una antiderivada de f(x) = 12x2 + 2x.
G(x) = 4x3 + x2 + 17 tambien lo es.
Observacion: Si F es una antiderivada de f en I, entonces para todo
constante C,
G(x) = F (x) + C
también es una antiderivada de f en I.
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CALCULO II
Teorema
Si F es una antiderivada particular de f en un intervalo abierto I,
entonces las antiderivadas de f en I son dadas por F (x) + C, donde C es
una constante arbitraria.
Demostración:
G antiderivada de f en I, entonces G′(x) = f(x) = F (x), para todo
x ∈ I, entonces existe una constante C ∈ R tal que G(x) = F (x) + C
para todo x ∈ I.
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CALCULO II
Notación: Antiderivacion es un proceso de encontrar el conjunto de todas
las antiderivadas de una funcion dada.
El símbolo
∫
denota la operacion de antiderivación y escribimos∫
f(x)dx = F (x) + C
cuando F es una antiderivada particular de f .
Observación:
∫
f(x)dx también es llamado la integral indefinida de f .
Ejemplo∫
(12x2 + 2x)dx = 4x3 + x2 + C
Ejemplo∫
0dx
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CALCULO II
Ejemplo∫
1dx = x+ C
Ejemplo
Si α es un número real diferente de −1, entonces∫
xαdx = x
α+1
α+ 1 + C
En efecto, ( xα+1
α+ 1 + C
)′
= (α+ 1)x
α+1 − 1
xα+1
= xα
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CALCULO II
Teorema
Si f(x) = ln |x|, (x , 0), entonces f ′(x) = 1
x
, para todo x , 0.
Demostración:
♦ x > 0 , f(x) = ln(x)⇒ f ′(x) = 1
x
♦ x < 0 , f(x) = ln(−x)⇒ f ′(x) = 1
−x
.(−x)′ = 1
x
Ejemplo∫ 1
x
= ln |x|+ C. Inmediato del teorema
Ejemplo∫
exdx = ex + C.
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Propiedades
(a) Si K es una constante diferente de cero, entonces∫
Kf(x)dx = K
∫
f(x)dx
(b) Si f y g estan definidas en un mismo intervalo, entonces∫ (
f(x) + g(x)
)
dx =
∫
f(x)dx+
∫
g(x)dx
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CALCULO II
Más ejemlos:
Ejemplo
Calcule
∫ (
5x4 − 8x3 + 9x2 − 2x+ 7
)
dx.
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CALCULO II
Más ejemlos:
Ejemplo
Calcule
∫ (
5x4 − 8x3 + 9x2 − 2x+ 7
)
dx.
Solución:
I =
∫ (
5x4 − 8x3 + 9x2 − 2x+ 7
)
dx
= 5
∫
x4dx− 8
∫
x3dx+ 9
∫
x2dx− 2
∫
xdx+ 7
∫
dx
= 5x55 − 8
x4
4 = 9
x3
3 − 2
x2
2 + 7x+ C
= x5 − 2x4 + 3x3 − x2 + 7x+ C
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CALCULO II
Ejemplo
Calcule
∫ √
x
(
x+ 1
x
)
dx.
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CALCULO II
Ejemplo
Calcule
∫ √
x
(
x+ 1
x
)
dx.
Solución:
I =
∫ √
x
(
x+ 1
x
)
dx
=
∫
x3/2dx+
∫
x−1/2dx
= x
3
2 +1
3
2 + 1
+ x
− 12 +1
−12 + 1
+ C
= 25x
5/2 + 2x1/2 + C
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CALCULO II
Ejemplo
Calcule
∫ 5t2 + 7
t4/3
dt.
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CALCULO II
Ejemplo
Calcule
∫ 5t2 + 7
t4/3
dt.
Solución:
I =
∫ 5t2 + 7
t4/3
dt
= 5
∫
t2/3dt+ 7
∫
t−4/3dt
= 5 t
2
3 +1
2
3 + 1
+ 7 t
− 43 +1
−43 + 1
+ C
= 3t5/3 − 21t−1/3 + C
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CALCULO II
Ejemplo
Calcule
∫
xπ+1 + 1
x
dx.
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CALCULO II
Ejemplo
Calcule
∫
xπ+1 + 1
x
dx.
Solución:
I =
∫
xπ+1 + 1
x
dx
=
∫
xπdx+
∫ 1
x
dx
= x
π+1
π + 1 + ln |x|+ C
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CALCULO II
Fórmulas elementales de integración
1.
∫
du = u+ C 9.
∫
cot(u)du = ln | sen(u)|+ C
2.
∫
du
u
= ln |u|+ C 10.
∫
sec(u)du = ln | sec(u) + tan(u)|+ C
3.
∫
undu = u
n+1
n+ 1 + C, n , −1 11.
∫
csc(u)du = ln | csc(u)− cot(u)|+ C
4.
∫
eudu = eu + C 12.
∫
sec2(u)du = tan(u) + C
5.
∫
audu = a
u
ln(a) + C 13.
∫
csc2(u)du = − cot(u) + C
6.
∫
sen(u)du = − cos(u) + C 14.
∫
sec(u) tan(u)du = sec(u) + C
7.
∫
cos(u)du = sen(u) + C 15.
∫
csc(u) cot(u)du = − csc(u) + C
8.
∫
tan(u)du = ln | sec(u)|+ C 16.
∫
senh(u)du = cosh(u) + C
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17.
∫
cosh(u)du = senh(u) + C 19.
∫
sech2(u)du = tanh(u) + C
18.
∫
tanh(u)du = ln | cosh(u)|+ C 20.
∫
csch2(u)du = − coth(u) + C
21.
∫
sech(u) tanh(u)du = − sech(u) + C
22.
∫
csch(u) coth(u)du = − csch(u) + C
23.
∫
du
a2 + u2 =
1
a
arctan
(
u
a
)
+ C, (a > 0)
24.
∫
du
u2 − a2
= 12a ln
∣∣∣∣u− au+ a
∣∣∣∣+ C, (a > 0)
25.
∫
du
a2 − u2
= 12a ln
∣∣∣∣u+ au− a
∣∣∣∣+ C, (a > 0)
26.
∫
du√
a2 − u2
= arcsen
(
u
a
)
+ C, (a > 0)
27.
∫
du√
u2 ± a2
= ln
∣∣∣u+ √u2 ± a2∣∣∣+ C
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CALCULO II
28.
∫
du
u
√
u2 − a2
= 1
a
arcsec |u|
a
+ C, (a > 0)
29.
∫ √
a2 − u2du = 12
[
u
√
a2 − u2 + a2 arcsen
(
u
a
)]
+ C, (a > 0)
30.
∫ √
u2 + a2du = 12
[
u
√
u2 + a2 + a2 ln
(
u+
√
u2 + a2
)]
+ C
31.
∫ √
u2 − a2du = 12
[
u
√
u2 − a2 − a2 ln
∣∣∣u+ √u2 − a2∣∣∣]+ C
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Ejemplo
Calcule
∫ √
3 + 2x− x2dx.
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Ejemplo
Calcule
∫ √
3 + 2x− x2dx.
Solución:
I =
∫ √
3 + 2x− x2dx
=
∫ √
22 − (x− 1)2dx
= 12
[
(x− 1)
√
22 − (x− 1)2 + 22 arcsen
(
x− 1
2
)]
+ C
= (x− 1)
√
4− (x− 1)2
2 + 2 arcsen
(
x− 1
2
)
+ C
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Ejemplo
Calcule
∫
dx
senh2(x) cosh2(x).
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Ejemplo
Calcule
∫
dx
senh2(x) cosh2(x)
.
Solución:
I =
∫
dx
senh2(x) cosh2(x)
=
∫ cosh2(x)− senh2(x)
senh2(x) cosh2(x)
dx
=
∫
csch2(x)dx−
∫
sech2(x)dx
= − coth(x)− tanh(x) + C
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Ejemplo
Calcule
∫
x2 + 2
x2 (x2 + 4)dx.
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Ejemplo
Calcule
∫
x2 + 2
x2 (x2 + 4)dx.
Solución: x2 + 2 = x2 + 24
(
x2 + 4− x2
)
= 12
[(
x2 + 4
)
+ x2
]
I =
∫
x2 + 2
x2 (x2 + 4)dx
= 12
∫ (
x2 + 4
)
+ x2
x2 (x2 + 4) dx
= 12
∫
dx
x2 + 4dx+
1
2
∫
dx
x2
= 12
[1
2 arctan
(
x
2
)]
+ 12
[
x−1
−1
]
+ C
= 14 arctan
(
x
2
)
− 12x + C
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Muchas gracias
Msc. Edinson R. Montoro Alegre Universidad Nacional del Callao Facultad de Ciencias Naturales y Matematica
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