Clase_2 y 3

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FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
	VISIÓN: "El programa de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Antioquia será reconocido por sus aportes al MANEJO EFICIENTE DE LA ENERGÍA ELÉCTRICA en la región y el país, manifestados en la formación de ingenieros emprendedores y en proyectos de INVESTIGACIÓN, INNOVACIÓN Y DESARROLLO."
Repaso cálculos en por unidad (segunda parte)
	Clase No
	2 y 3
	Tema y subtema
	Ecuaciones y matrices de redes.
Repaso del cálculo en por unidad (p.u.)
Ejemplo 1: Si la tensión en el nodo 1 para la red de la figura 1 es 13,20º kV, determine:
a.) La corriente en p.u de la red.
b.) La corriente en amperios en cada una de las zonas.
c.) Tensión en el nodo 4 en p.u. y en kV.
Use como bases 69 kV y 15 MVA en la carga.
Figura 1. Sistema de potencia de 4 barras.
Solución: Para comenzar, es importante definir las zonas del sistema de potencia como se muestra en la figura 2.
Figura 2. Zonas del sistema de potencia.
Para determinar las zonas del sistema de potencia se tienen en cuenta los transformadores y se realiza la división indicada por la línea punteada de la figura 2, separando el lado de alta tensión con el de baja. Una vez hecho esto, procedemos a calcular los voltajes, corrientes e impedancias bases para cada una de las zonas. 
Comenzamos con la zona 3 debido a que contiene los datos de voltaje y potencia base dados por el enunciado.
Nota: Los valores representados en color azul, son valores indicados en el enunciado del problema.
· Zona 3 
· Potencia base: 15 MVA
· Voltaje base: 69 kV
· Impedancia base:
	
	(1)
· Corriente base: 
	
	(2)
· Zona 2 
· Potencia base: 15 MVA
· Voltaje base: 
	
	(3)
· Impedancia base:
	
	(4)
· Corriente base: 
	
	(5)
· Zona 1
· Potencia base: 15 MVA
· Voltaje base: 
	
	(6)
· Impedancia base:
	
	(7)
· Corriente base: 
	
	(8)
En la tabla 1 se indican las potencias, corrientes y voltajes bases para cada zona. En azul se indican los valores dados. 
Tabla 1. Potencias, voltajes, impedancias y corrientes bases para cada zona.
	
	Zona 1
	Zona 2
	Zona 3
	Potencia [MVA]
	15 
	15 
	15 
	Voltaje [kV]
	13,8 
	138 
	69 
	Impedancia [Ω]
	12,696 
	1269,6
	317,4
	Corriente [kA]
	0,6276
	0,0628
	0,1255
a.) Para encontrar la corriente en p.u. de toda la red primero necesitamos encontrar la impedancia total de ésta en p.u. De tal forma que con el voltaje dado en la barra 1 y con la impedancia total podamos aplicar de forma sencilla la siguiente ecuación.
	
	(9)
· Impedancia para el transformador 1 en pu.
Para hallar la impedancia del transformador 1 en p.u hay que realizar un cambio de base con la siguiente ecuación.
	
	(10)
	De (10)
	
· Impedancia para la línea 2-3 en p.u.
	
	(11)
· Impedancia para el transformador 2 en pu.
	
De (10)
	
· Impedancia para la carga en p.u. 
	
	(12)
· Tensión en barra 1 p.u.
	
	(13)
A continuación, en la figura 3, se muestra el diagrama de impedancias en p.u. del sistema.
Figura 3. Diagrama de impedancias en p.u. del sistema de potencia.
Hallamos la impedancia total del sistema sumando en serie las impedancias:
	
	(14)
	
De (14)
	
Nota: Recordar que tanto y son reactancias, por lo tanto, no se debe olvidar agregar la j a la hora de hallar la impedancia total.
Finalmente, con la ecuación (9) podemos hallar la corriente de la red.
	
De (9)
b.) Una vez que tenemos la corriente de la red en p.u es fácil hallar las corrientes en amperios para cada zona, pues solo basta multiplicar la por cada base de las zonas.
	
	(15)
· Corriente para la zona 1
De (15)
· Corriente para la zona 2
De (15)
· Corriente para la zona 3
De (15)
c.) Para hallar la tensión en p.u. usamos la multiplicada por la 
	
	(16)
		De (16)
Para obtener en kV multiplicamos por su respectiva base como en la ecuación (15), reemplazando los voltajes por corrientes.
	Con base a (15)
Ejemplo 2: En el sistema de la figura, el motor está consumiendo 5MVA a una tensión de 6,8kV y con un factor de potencia de 0,8 en atraso. Utilice como bases los datos nominales del motor y encuentre: 
a) La corriente que consume el motor en p.u y en amperios.
b) La corriente en amperios en los lados de alta y baja tensión del transformador T1.
c) La tensión en los terminales del generador (nodo 1).
Figura 4. Sistema de potencia de 4 barras.
El procedimiento que se debe realizar antes de comenzar a calcular las corrientes es muy parecido al ejemplo 1. Primero debemos definir las zonas del sistema como se muestra en la figura 5 y luego calcular las bases para cada zona como se muestra en la Tabla 2. 
Figura 5. Zonas del sistema de potencia.
Con base en las ecuaciones de la (1) a (8) que se usaron para hallar los voltajes, corrientes, potencias e impedancias bases para el ejemplo 1, de la misma manera, se usan para hallar los voltajes, corrientes, potencias e impedancias bases de este ejemplo.
Nota: Recordar que los valores representados en color azul son valores indicados en el enunciado del problema.
Con base a las ecuaciones de la (1) a la (8).
· Zona 3
· Potencia base: 10 MVA
· Voltaje base: 6,9 kV
· Corriente base: 
· Impedancia base: 
· Zona 2
· Potencia base: 10 MVA
· Voltaje base: 
· Corriente base: 
· Impedancia base: 
· Zona 1
· Potencia base: 10 MVA
· Voltaje base: 
· Corriente base: 
· Impedancia base: 
Tabla 2. Potencias, voltajes, impedancias y corrientes bases para cada zona.
	
	Zona 1
	Zona 2
	Zona 3
	Potencia [MVA]
	10 
	10 
	10
	Voltaje [kV]
	13,8 
	69
	6,9 
	Corriente [kA]
	0,4184
	0,0837
	0,8367
	Impedancia [Ω]
	19,044
	476,1
	4,7610
a.) Para encontrar la corriente que consume el motor se puede usar la ecuación (2) adicionando el ángulo dado por el factor de potencia quedando como se indica en la ecuación (17).
 
De (2) 
	
	(17)
		De (17)
Nota: Recordar que con el factor de potencia del motor se encuentra el ángulo de la corriente; y éste es negativo debido a que la corriente está en atraso respecto al voltaje (circuito inductivo).
Ahora hallamos el valor en pu.
	
	(18)
	De (18)
b.) Para hallar la corriente en amperios en los lados de alta y baja tensión del transformador T1 usamos las siguientes expresiones.
	
	(19)
	
	(20)
	
	De (19)
De (20)
c.) Para encontrar el voltaje en las terminales del generador se usa el esquema de la figura 6.
Figura 6. Esquema simplificado del sistema de potencia.
En donde Ipu es igual a la y en donde la flecha circular indica la dirección de la malla a recorrer.
Aplicando la Ley de voltajes de Kirchhoff se tiene:
	
	(21)
Para encontrar V1 se necesita saber el valor de Zeq de línea 1-4 en pu. Si nos fijamos detenidamente, en la figura 4 podemos observar que los valores para los cuales se hallaron la impedancia de cada uno de los elementos del sistema en p.u coinciden exactamente con las bases halladas para la tabla 2. Por tal motivo, no es necesario realizar cálculos pues los valores de impedancia en p.u que hay en la figura 2 de cada uno de los elementos, son los valores para realizar el diagrama de impedancias en p.u (no hay que realizar cambios de base). En la figura 7 se muestra el diagrama en p.u de impedancias.
Figura 7. Diagrama de impedancias en p.u del sistema de potencia.
 	Calculamos la Zeq 1-4.
	
	(22)
	De (22)
	
	Encontramos V4 en p.u.
	
	(23)
Ahora ya podemos calcular V1.
		De (21)
	En unidades.
		Despejando de (23)
d.) Para calcular la corriente que pasa por la línea 2-3 se usa la siguiente expresión.
	
	(24)
	
	(25)
	
Para calcular V2 podemos usar la siguiente expresión.
	
	(26)
De la misma manera para V3.
	
	(27)
De (26)
De (27)
	De (25)
Finalmente tenemos que:
	De (24)
En amperios:
	De (18)
Como es de esperarse el resultado es igual al punto b.) en el lado de alta del transformador. Pues ambas corrientes están ubicadas en la misma zona.
Zona 1Zona 2Zona 3
Zona 1
Zona 2
Zona 3
12340,2745 j 0,0079+0,0788 j 0,12 j 0,9452+0,9565<0º -
1
2
3
4
0,2745 j
0,0079+0,0788 j
0,12 j
0,9452
+
0,9565<0º 
-
1
23Gen
T1
Motor
Z= 0.05 +0.2j pu
@ 69kV, 10MVA
Línea 2-3
10 MVA
13.8 kV / 69 kV
X= 25%
10 MVA
13.8 kV 
X= 20%
10 MVA
69 kV / 6.9 kV
X= 25%
M
10 MVA
6.9 kV 
X= 10%
T2
4
�
1
2
3
Gen
T1
Motor
Z= 0.05 +0.2j pu
@ 69kV, 10MVA
Línea 2-3
10 MVA
13.8 kV / 69 kV
X= 25%
10 MVA
13.8 kV 
X= 20%
10 MVA
69 kV / 6.9 kV
X= 25%
M
Zona 1Zona 2Zona 3M
Zona 1
Zona 2
Zona 3
M
Zeq 1-4M14+V1-+V4-
Zeq 1-4
M
1
4
+
V1
-
+
V4
-
Ipu
12340,25 j 0,05+0,2 j 0,25 j 0,1 j0,2 j Zeq 1-4 M
1
2
3
4
0,25 j
0,05+0,2 j
0,25 j
0,1 j
0,2 j
Zeq 1-4
M
123GenT1CargaZ = 10 + 100j ��Línea 2-35 MVA13,2 kV / 132 kVX = 10%T2410 MVA138 kV / 69 kVX = 8%Z = ������
1
2
3
Gen
T1
Carga
Z = 10 + 100j Ω
Línea 2-3
5 MVA
13,2 kV / 132 kV
X = 10%
T2
4
10 MVA
138 kV / 69 kV
X = 8%
Z = 300 Ω