demostracion-del-teorema-del-trabajo-y-energia-cinetica

Vista previa del material en texto

Curso l Física I 
Autor l Lorenzo Iparraguirre 
 
149 
 
ANEXO 5.1: 
Demostración del Teorema del Trabajo y Energía Cinética 
 
Vamos a destinar cierto esfuerzo a demostrar este teorema porque debe quedar claro que si 
bien no agrega nada a las leyes de la Dinámica, ya que como se verá se deduce directamente 
de ellas, resulta muy útil en la práctica para resolver con más facilidad muchas situaciones de 
mecánica, así como también para tomarlo como base para muchos razonamientos sobre temas 
de energía en general. 
Consideremos el movimiento desde un punto A hasta otro B, de una partícula puntual de masa 
m sobre la que actúa un sistema de fuerzas del cual RF

es la fuerza resultante. 
El trabajo de RF

en el intervalo considerado es 
WAB =  
B
A
R cosrF

 
Vamos a escribir sumatoria en vez de integral para que las ideas sean más simples. Para pen-
sar en términos de sumatoria lo ideal es imaginar el intervalo AB subdividido en pequeños 
intervalitos cada uno designado con un índice (i), como se muestra en la figura A5.1.1. 
 
tA 
ti 
i 
ri 
A 
ti+1 
B 
tB 
FR,i 
vi 
 
Fig. A5.1.1: Elementos a tener en cuenta para el cálculo del trabajo de la fuerza re-
sultante sobre una partícula a lo largo del trayecto AB. 
 
Ahora bien, lo que se desplaza la partícula en ti es iii tvr 

. Sustituyendo esto y escri-
biendo en términos de sumatoria la expresión para el trabajo de la resultante es: 
WAB =   iiii,R costvF

=   iiii,R cosvtF

 
Aquí haremos ntervenir las Leyes de la Dinámica. Según la Ley del Impulso, para cualquier 
intervalo tenemos vmtFR

 , con lo cual 
WAB =   iii cosvvm

 
proed
Lic Creative Commons
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/ar/
Curso l Física I 
Autor l Lorenzo Iparraguirre 
 
150 
 
Ahora bien, en cada intervalo i, i es el ángulo entre iv

 (que es la dirección tangencial) y 
iv

 (que es la dirección de la fuerza), de manera que ii cosv 

es la proyección de v

 sobre 
la dirección de iv

(figura A5.1.2). 
 
vi 
vi+1 
i 
i 
 
Fi 
vi 
K 
L 
M 
N 
O 
vi 
 
Fig. A5.1.2. Resta vectorial de dos velocidades consecutivas: i1ii vvv

  
Vemos en la figura A5.1.2: 
KL es el vector iv

, que es la velocidad en el intervalo i 
KO es el vector 1iv 

, que es la velocidad en el intervalo siguiente, después de transcurrir ti 
LO es el vector i1ii vvv

  (resta vectorial) 
Proyectando O perpendicularmente sobre la dirección de iv

 tenemos el punto M, de manera 
que LM es la proyección de iv

 sobre la dirección de iv

, lo que significa: 
LM = ii cosv 

 
Trazando con el compás un arco de circunferencia desde O, con centro en K, determinamos el 
punto N tal que KN mide lo mismo que KO, es decir indica el módulo de 1iv 

. Esto significa 
que LN mide lo mismo que la diferencia de los módulos vi = vi+1 – vi (ojo: resta de módu-
los). 
Ahora bien, a medida que el intervalo t se hace suficientemente pequeño, así se harán iv

 y 
el ángulo  proporcionalmente pequeños, y podremos ver que el punto N va a tender a coinci-
dir con el M: la distancia entre M y N va a ser cada vez más pequeña comparada con la dis-
tancia LM . 
Para justificar con un poco más esta afirmación, en la próxima figura se muestra, para la mis-
ma iv

 y la misma iF

 (aplicada con el mismo i), los puntos M y N para un cierto intervalo t, 
y los M’ y N’ que corresponderían para un intervalo t’ menor. Se ve claramente cómo al 
acortarse iv

 por achicarse el intervalo de tiempo, se achica el ángulo i y se achican los seg-
mentos LM y LN, pero M y N se aproximan mucho más que lo que se achican estos interva-
los. 
Curso l Física I 
Autor l Lorenzo Iparraguirre 
 
151 
 
vi+1’ 
 
 vi 
M’ 
i 
Fi 
vi 
K 
L 
M N 
O 
vi+1 
vi’ ’ 
N’ 
 
Fig. A5.1.3: Ilustración de cómo se modifican las relaciones mostradas en la figura 
A5.1.2, cuando se considera un intervalo de tiempo t’ < t. 
 
Esto significa que para intervalos suficientemente pequeños será válido escribir: 
LM  LN 
Lo cual equivale a decir: 
vi  ii cosv 

 
Con esto el trabajo puede escribirse simplemente: 
WAB =   ii vvm 
En donde vi vi es el producto del módulo de la velocidad por lo que varía dicho módulo, en 
cada intervalo pequeño en los que se ha subdividido el trayecto AB. 
Ahora bien, aplicando los métodos del cálculo de integrales esto se resolvería inmediatamen-
te, pero aquí tratamos de hacer el cálculo sin conocer esos métodos. 
Y para ello recurriremos nuevamente al truco del área (figura A5.1.4). 
Graduamos un eje con los valores de vi (módulo de iv

), mostrando todas las subdivisiones vi 
desde vA hasta vB. 
Luego decimos, para cada intervalito tenemos que multiplicar su longitud vi por el valor de 
vi que le corresponde. Si dibujamos vi para arriba con la misma escala sobre cada intervalito 
tendremos un rectángulo de base vi . y altura vi (sombreado en la figura), cuya área será el 
producto vi vi . 
La suma de todos los productos vi vi será la suma de todas las áreas de todos estos rectangu-
litos, que es el área del trapecio ABCD. 
Curso l Física I 
Autor l Lorenzo Iparraguirre 
 
152 
 
 
vi 
vB 
vA 
eje v 
vB 
vA 
0 
vi 
A B 
D 
C 
 
Fig. A5.1.4. 
 
Pero el trapecio ABCD se forma quitando el triángulo 0AD (que tiene base y altura iguales de 
longitud vA), del triángulo 0BC (ídem de longitud vB ). 
De manera que: 
Área(OAD) = ½ vA
2 
Área(OBC) = ½ vB
2 
Área(ABCD) = ½ vB
2
  ½ vA
2
 
 
Finalmente con esto se puede expresar el trabajo de la fuerza resultante como: 
WAB = ½ m vB
2
  ½ m vA
2
 
 
Y queda completa la demostración, definiendo: 
Ec = ½ m v
2 
proed
Lic Creative Commons
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/ar/