02- Solucionario - Tema 1 Segunda Parte - Microconomía II - 2014

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Universidad Nacional de Rosario 
Facultad de Ciencias Económicas y Estadística 
Microeconomía II 
 
Prof. Titular: Cristian Iunnisi 
JTP: Agustina Leonardi 
Auxiliar: Germán Tessmer 
Adscripta: Lucia Caillet Bois 
Año 2014 
 
 SOLUCIONARIO PRÁCTICO TEMA I – SEGUNDA PARTE: 
BIENESTAR ECONÓMICO Y EQUILIBRIO GENERAL 
 
 Bienestar económico 
 
 
1. Suponga que la oferta de perdices y de maná está dada, de tal modo que Crusoe valúa 1 
unidad de maná (x) en 3 perdices (y) y Viernes dice qué el está dispuesto a entregar 4 perdices 
a cambio de 2 unidades de maná. ¿Cuál de ellos valúa más a las perdices y en qué dirección 
debería hacerse la reasignación entre ellos de tal modo que los dos estén mejor? 
 
Datos: 
 
3:
1
2:
1
CC
C x
yx
y
VV
V x
yx
y
x maná
y perdiz
Ud yCrusoe MRS
d x U
Ud yViernes MRS
d x U
=
=
  
= = =       
  
= = =       
 
 
Como se observa Viernes valora relativamente más que Crusoe las perdices, o relativamente 
Crusoe valora relativamente más que Viernes el maná. 
 
La asignación de consumo óptima será aquella que cumpla 
 
C V
yx yxMRS MRS= 
 
Entonces dado que: 
 
 
1 
Microeconomía II: Práctico Tema I – Segunda Parte 
 
 
 
 
 
3 2
1 1
VC
C V x
yx yx
y
Ud y MRS MRS
d x U
  
= == > = =        
 
 
Siendo: 
2
2
0
0
U
Z
U
Z
∂
>
∂
∂
<
∂
 
 
Crusoe deberá recibir x y Viernes y hasta el punto en el cual igualen sus relaciones 
marginales de sustitución. 
 
En términos de caja de Edgeworth será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La dotación inicial es tal que sitúa a ambos consumidores en un punto como E. El 
intercambio hará que los consumidores se dirijan hacia la curva FF por el sendero coloreado. 
Sin embargo, tanto el sendero elegido entre los posibles así como la posición final quedan 
indeterminados dentro de los límites marcados. 
 
F
Y
E
b
c
X
Crusoe
X Viernes



 F
 
2 
Microeconomía II: Práctico Tema I – Segunda Parte 
 
 
 
 
 
_________________________________________________________________________ 
 
2. Suponga que las funciones de producción de trigo (x) y pescado (y) son como sigue: 
 
1 3 2 3
2 3 1 3
x K L
y K L
=
=
 
Habitualmente la mitad del total de capital ( K ) y la mitad del total del tiempo de trabajo 
( L ) se asigna a cada uno de los productos. ¿En qué dirección deberían reasignarse los 
factores si ambas producciones tienen que incrementarse? 
 
Datos: 
 
1 3 2 3
2 3 1 3
:
x trigo
y pescado
donde
x K L
y K L
=
=
=
=
 
 
Además las cantidades de capital y trabajo son fijas y actualmente se están asignando en 
cantidades iguales en la producción de cada bien. 
 
Sabemos que la máxima eficiencia se consigue cuando: 
 
X Y
KL KLMRS MRS= 
 
y dado que: 
 
X
X L
KL
K
Y
Y L
KL
K
PmgMRS
Pmg
PmgMRS
Pmg
 
=  
 
 
=  
 
 
 
Siendo: 
 
 
3 
Microeconomía II: Práctico Tema I – Segunda Parte 
 
 
 
 
 
1 3
2 3
2 3
1 3
2
3
1
3
1
3
2
3
X
X
L X
X
X
K X
Y
Y
L X
Y
X
K Y
X KPmg
L L
X LPmg
K K
Y KPmg
L L
Y LPmg
K K
 ∂
= =  ∂  
 ∂
= =  ∂  
 ∂
= =  ∂  
 ∂
= =  ∂  
 
Entonces bajo la condición de eficiencia: 
 
1 3 2 3
2 3 1 3
2 1 2 1 1 2
?3 1 2 3 1 2
1 1 2 2 1 2
3 1 2 3 1 2
K K
L L
L L
K K
   
   
   =
   
   
   
 
se observa que: 
 
12
2
X Y
X Y
KL KL
d K d K
d L d L
K KMRS MRS
L L
   
   
   
= > =
 
 
Por lo tanto para que la producción sea óptima se debe pasar capital del sector x al sector
y ; y/o pasar trabajo del sector y al sector x . Este resultado es coherente con los valores 
de los exponentes de cada factor en las funciones de producción. Otra manera de llegar al 
mismo resultado pensando que: 
 
2
X
X L
KL
K
Pmg KMRS
Pmg L
 
= = 
  
Debe ser reducida, entonces dado que 
2
2
0
0
q
Z
qPmg
Z
q
Z
∂
= >
∂
∂
<
∂
 
 
 
4 
Microeconomía II: Práctico Tema I – Segunda Parte 
 
 
 
 
 
Entonces para reducir XKLMRS debemos reducir 
X
LPMg y/o aumentar 
X
KPMg para lo cual 
se debe hacer: 
 
 
reducir la cantidad decapitalen (pasarloa )
aumentar la cantidad de trabajoen (pasarlo desde )
x
K
x
L
Pmg x y
Pmg x y
∆ ⇒
∇ ⇒ 
y como se observa, el resultado es el mismo.
 
 
 
_________________________________________________________________________ 
 
3. Suponga que la curva de transformación está dada por 
 
2 2 20x y+ = 
 
que la funciones de utilidad de Crusoe y Viernes son, respectivamente, 
 
A A A
B B B
U x y
U x y
=
=
 
La producción y el consumo es: 
 
 
 
 
 
 
¿Cuál es el valor de x en términos de y? ¿Cuál es el costo marginal? ¿En qué dirección 
debe moverse la producción? Crusoe y Viernes tienen que estar mejor? 
 
Datos: 
 
2 2Relación deTransformación: 20
Funciones de utilidad: a a a
b b b
x y
u x y
u x y
+ =
=
=
 
 
El valor de x en términos de y es la cantidad máxima de y a la que el consumidor está 
dispuesto a renunciar por unidad extra de x , en términos matemáticos la cota inferior máxima 
del conjunto formado por las cantidades de y que estaría dispuesto a recibir por una unidad 
de x que dejara de consumir. 
 
Entonces el valor de x en términos de y es para: 
 x y 
Crusoe (A) 1 2 
Viernes (V) 1 2 
Total (ambos) 2 4 
 
5 
Microeconomía II: Práctico Tema I – Segunda Parte 
 
 
 
 
 
 
2para A :
1
2para B :
1
aa a
x
a a
y
bb a
x
b b
y
Udy y
dx U x
Udy y
dx U x
= = =
= = =
 
 
Por lo tanto, ambos consumidores están dispuestos a renunciar a 2y a cambio de una unidad 
de x . 
 
Para hallar el xCmg consideramos la siguiente relación: 
 
1 x
yx
y
Cmgy L wMRT wx L x L Cmg
y L
∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
 
Pero como tomamos y como referente, =1yCmg (el sacrificio de y por unidad de y ), 
entonces: 
 
yx xMRT Cmg= 
 
Ahora la curva de transformación es 
 
2 2 20x y+ =
 
Entonces: 
 
220y x= ± − 
 
Restringiendo a ;0 0x y≥ ≥ , tenemos 
220y x= − 
yx
dyMRT
dx
= −
 
b 
 
6 
Microeconomía II: Práctico Tema I – Segunda Parte 
 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar yxMRT podemos utilizar dos métodos: 
i) método de la función implícita ( y en función de x ) 
2 2 20
tomando diferenciales
2 2 20
2 2 0
1
2
x y
x dx y dy d
dx dyx y
dx dx
dy x
dx y
+ =
+ =
+ = ⇒
− = =
 
 
ii) método de la función implícita 
( )( )
2
2
2
20
1 20 2
2 20
1
2
y
y x
dy xx x
dx x
dy x
dx y
= −
= − − = − ⇒
−
− = =

 
 
Sabemos que para la eficiencia económica deberá ser 
 
yx yxMRS MRT=
 
Y
X
y 20 x= − 2
20
 
7 
Microeconomía II: Práctico Tema I – Segunda Parte 
 
 
 
 
 
12
2yx yx
MRS MRT= > =
 
La existencia de una ineficiencia es clara, los consumidores están dispuestos a entregar 
y2 por una x , mientras que los productores solo requieren y1 2 para entregarles una x
, esto implica que la reasignación de la producción mejorará la situación. 
 
La dirección en la cual operará el cambio será aquella que haga crecer la yxMRT de manera 
que esta pueda igualarse a la yxMRS . 
 
Para determinar hacia donde crece la yxMRT hacemos 
( )
( )
( )
2
2 22
22
2
2 2 2 2
22
2
20
20 1 2 20 ( 2 )
20
20 20
20
yx
dy xMRT
dx x
x x x xd y
d x x
d y x x x
d x x
= − = +
−
− − − −
− =
−
− + −
− =
−
 
 
Que es claramente positiva, lo cual implica que paraaumentar la yxMRT debe aumentarse 
la producción de x para lo cual los consumidores entregarán y a los productores. 
 
Por supuesto que el resultado sería el mismo si lo pensáramos en función de la yxMRS , 
solo que ahora desearíamos saber hacia donde disminuye. Entonces: 
 

( )
2
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2 2
/
1
1 1
1
2
yx
y x
dy yMRS
dx x
dy d y yd dx dy
d x d x x x
d y y dx dy d y y y
d x x dx x dx d x x x x
d y y y
d x x
d y y
d x x
= − =
 
− = − = − + 
 
− = − + → − = − +
− = − +
− = − ⇒
 
 
8 
Microeconomía II: Práctico Tema I – Segunda Parte 
 
 
 
 
 
2
2yxdMRS y
d x x
− = −
 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_________________________________________________________________________ 
 
4. Suponga que Crusoe está solo con U x y= y con funciones de producción como el 
ejercicio 2, es decir, 
 
1 3 2 3
2 3 1 3
x K L
y K L
=
=
 
¿Cómo debería asignar sus recursos totales de capital ( K ) y de tiempo de trabajo ( L ) entre 
x e y ? 
 
 
Datos: 
 
Y
X
dy 1
dx 2
− =
d y- = 2
d x
(2, 4)
 
9 
Microeconomía II: Práctico Tema I – Segunda Parte 
 
 
 
 
 
1 3 2 3
2 3 1 3
con y
=
=
=
u x y
x K L
y K L
K L
 
 
Dado que hay un solo individuo las condiciones para la máxima eficiencia se reducen a 
 
(1)
(2)
=
=
x y
KL KL
yx yx
MRS MRS
MRS MRT
 
 
O sea, Crusoe maximiza su utilidad cuando iguala la pendiente de su curva de indiferencia 
a la de la curva de transformación (2) y simultáneamente cumple con la eficiencia en la 
producción. 
 
Sabemos por el problema (2) que (1) es igual a 
 
12 (1)
2
=
x y
x y
K K
L L
 
 
Por otro lado (2) es igual a 
 
(2)∂ ∂ ∂ ∂=
∂ ∂ ∂ ∂
u x y K
u y x K
 
 
Entonces será 
 
1/3
2/3
2
3
(2)
1
3
 
 
 =
 
 
 
y
y
x
x
L
Ky
x L
K
 
 
 Nos queda por tanto, el siguiente sistema 
 
 
10 
Microeconomía II: Práctico Tema I – Segunda Parte 
 
 
 
 
 
1/3
2/3
12
2
2
3
1
3

=

  
  
  =
  
  
  
x y
x y
y
y
x
x
K K
L L
L
Ky
x L
K
 
 
Para resolverlo debemos tener en cuenta que algunas variables son simples 
transformaciones de otras, así 
 
2/3 1/3
1/3 2/3
= −
= −
=
=
y x
y x
y y
x x
K K K
L L L
y K L
x K L
 
 
Entonces 
 
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1/3 2/3
1/3
2/3 1/3 1/3
2/3
12 (1)
2
2
3
(2)
1
3
 −
 =
−

 −

 − − −
 =
  
  
 
xx
x x
x
x x x
x x x
x
K KK
L L L
L L
K K L L K K
K L L
K
→ 
 
 
( ) ( )
1/3 2/3 2/3 2/3
2/3 1/3
12
2
12
−

=
 →
 − −
 =

x y
x y
x x
x x x x
K K
L L
K K K K
K L L K
 
( ) ( )
1/3 2/3
2/3 1/3
12
2
2

=
 →
− − =
x y
x y
x x
x x
K K
L L
K K K K
K K
 
 
 
11 
Microeconomía II: Práctico Tema I – Segunda Parte 
 
 
 
 
 
( )
12
2
2

= →
− =
x y
x y
x
x
K K
L L
K K
K
 
12
2
2

= →
 − =
x y
x y
x x
K K
L L
K K K
 
 
Del cual obtenemos 
1 2
3 3
2 1
3 3
= ⇒ =
= ⇒ =
x y
x y
K K K K
L L L L
 
 
 
_________________________________________________________________________ 
 
5. Si 1 2 1 2100y K L= , donde y es el producto por año (millones de pesos), K es el stock de 
capital (millones de pesos) y L son trabajadores-año (millones), cuál es el salario real y el 
producto por trabajador en los siguientes países: 
 
País K L 
1 9.000.000 100 (digamos, EE.UU.) 
2 200.000 20 (digamos, UK) 
3 5.000 200 (digamos, India) 
 
Datos: 
 
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
100
1100 50
2
100
y K L
entonces
Y K Ksalario real
L L L
y Kproducto medio
L L
=
∂    = = =   ∂    
 = =  
 
 
 
Por lo tanto será 
 
12 
Microeconomía II: Práctico Tema I – Segunda Parte 
 
 
 
 
 
( ) 90.000 15.000
30.000
( ) 10.000 5.000
10.000
( ) 25 250
500
Ki salario real
L
producto medio
Kii salario real
L
producto medio
Kiii salario real
L
producto medio
= ⇒ =
=
= ⇒ =
=
= ⇒ =
=
 
 
________________________________________________________________________ 
 
6. El ánimo de este ejercicio es el de motivar a los alumnos a que hagan una lectura no 
superficial de la bibliografía. Muchos manuales de Microeconomía dejan al lector la tarea de 
construir los pasos intermedios entre la postulación de un problema y su posterior solución. 
Al respecto, este ejercicio corresponde a la página 597 de la 7° edición de Microeconomía 
Intermedia de Varian: Sea una economía de dos agentes i= {A, B} con dos productos x1 y x2, 
donde la función de utilidad para el agente A es: 
 
𝑈𝑈𝐴𝐴(𝑥𝑥𝐴𝐴1,𝑥𝑥𝐴𝐴2) = (𝑥𝑥𝐴𝐴1)(𝛼𝛼)(𝑥𝑥𝐴𝐴2)(1−𝛼𝛼) 
 
Se quiere ver que (qvq): 
 
𝑥𝑥𝐴𝐴1 = α
𝑚𝑚𝐴𝐴
𝑝𝑝1 
 
Respuesta. Se sabe que: 
 
• (1) 𝑈𝑈𝐴𝐴(𝑥𝑥𝐴𝐴1, 𝑥𝑥𝐴𝐴2) = (𝑥𝑥𝐴𝐴1)(𝛼𝛼)(𝑥𝑥𝐴𝐴2)(1−𝛼𝛼) 
• (2) 𝑚𝑚𝐴𝐴 = 𝑝𝑝1𝑥𝑥𝐴𝐴1 + 𝑝𝑝2𝑥𝑥𝐴𝐴2 
 
Por tanto: 
𝐿𝐿 = (𝑥𝑥𝐴𝐴1)(𝛼𝛼)(𝑥𝑥𝐴𝐴2)(1−𝛼𝛼) + λ(𝑚𝑚𝐴𝐴 − 𝑝𝑝1𝑥𝑥𝐴𝐴1 − 𝑝𝑝2𝑥𝑥𝐴𝐴2) 
 
• 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥𝐴𝐴
1 = 𝛼𝛼(𝑥𝑥𝐴𝐴1)(𝛼𝛼−1)(𝑥𝑥𝐴𝐴2)(1−𝛼𝛼) − λ𝑝𝑝1 = 0 → λ =
𝛼𝛼
𝑝𝑝1
�𝑥𝑥𝐴𝐴
2
𝑥𝑥𝐴𝐴
1�
(1−𝛼𝛼)
 (3) 
 
13 
Microeconomía II: Práctico Tema I – Segunda Parte 
 
 
 
 
 
• 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥𝐴𝐴
2 = (𝛼𝛼 − 1)(𝑥𝑥𝐴𝐴1)(𝛼𝛼)(𝑥𝑥𝐴𝐴2)(𝛼𝛼) − λ𝑝𝑝2 = 0 → λ =
𝛼𝛼−1
𝑝𝑝2
�𝑥𝑥𝐴𝐴
1
𝑥𝑥𝐴𝐴
2�
(𝛼𝛼)
 (4) 
 
Igualando (3) y (4), se tiene que: 
 
� 
𝛼𝛼
𝑝𝑝1 �
𝑥𝑥𝐴𝐴2
𝑥𝑥𝐴𝐴1
�
(1−𝛼𝛼)
= 
𝛼𝛼 − 1
𝑝𝑝2 �
𝑥𝑥𝐴𝐴1
𝑥𝑥𝐴𝐴2
�
(𝛼𝛼)
 
� 
𝑝𝑝2
𝑝𝑝1
𝛼𝛼
𝛼𝛼 − 1
(𝑥𝑥𝐴𝐴2)(1−𝛼𝛼)(𝑥𝑥𝐴𝐴2)(𝛼𝛼) = (𝑥𝑥𝐴𝐴1)(1−𝛼𝛼)(𝑥𝑥𝐴𝐴1)(𝛼𝛼) 
� 𝑥𝑥𝐴𝐴1 =
𝑝𝑝2
𝑝𝑝1
𝛼𝛼
𝛼𝛼−1
𝑥𝑥𝐴𝐴2 (5) 
 
Asimismo, de (2) se tiene que: 
� 𝑚𝑚𝐴𝐴 = 𝑝𝑝1𝑥𝑥𝐴𝐴1 + 𝑝𝑝2𝑥𝑥𝐴𝐴2 → 𝑥𝑥𝐴𝐴2 =
𝑚𝑚𝐴𝐴−𝑝𝑝1𝑥𝑥𝐴𝐴
1
𝑝𝑝2
 (6) 
 
Por tanto, de (5) y (6), se tiene: 
 
� 𝑥𝑥𝐴𝐴1 =
𝑝𝑝2
𝑝𝑝1
𝛼𝛼
𝛼𝛼 − 1�
𝑚𝑚𝐴𝐴 − 𝑝𝑝1𝑥𝑥𝐴𝐴1
𝑝𝑝2 � 
� 𝑥𝑥𝐴𝐴1 =
𝑝𝑝2
𝑝𝑝1
𝛼𝛼
𝛼𝛼 − 1�
𝑚𝑚𝐴𝐴 − 𝑝𝑝1𝑥𝑥𝐴𝐴1
𝑝𝑝2 � 
� 𝑥𝑥𝐴𝐴1 =
1
𝑝𝑝1
𝛼𝛼
𝛼𝛼 − 1
(𝑚𝑚𝐴𝐴 − 𝑝𝑝1𝑥𝑥𝐴𝐴1) 
� 𝑥𝑥𝐴𝐴1 +
𝛼𝛼
𝛼𝛼 − 1 𝑥𝑥𝐴𝐴
1 =
𝑚𝑚𝐴𝐴
𝑝𝑝1
𝛼𝛼
𝛼𝛼 − 1 
� 
1
𝛼𝛼 − 1 𝑥𝑥𝐴𝐴
1 =
𝑚𝑚𝐴𝐴
𝑝𝑝1
𝛼𝛼
𝛼𝛼 − 1 
� 𝑥𝑥𝐴𝐴1 = α
𝑚𝑚𝐴𝐴
𝑝𝑝1 
 
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