Solucionario del Examen Parcial de Calculo I de UNMSM

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS 
UNIVERSIDAD DEL PERÚ, DECANA DE AMÉRICA 
COMISIÓN ORGANIZADORA DE LA ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES 
Resolución Rectoral N°05389-R-16 
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS 
SOLUCIONARIO DEL EXAMEN PARCIAL 
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1. Dado las funciones 𝑓(𝑥) = { |𝑥|, |𝑥| ≥ 1𝑥2 − 1, |𝑥| < 1 y 𝑔(𝑥) = |𝑥|⟦x⟧+1 , −5 ≤ 𝑥 ≤ 5. 
Solución 
a) Para calcular (𝑓. 𝑔)(𝑥), aplicamos definición de valor absoluto en 𝑓 y 𝑔. 
 𝑓(𝑥) = { 𝑥 , 𝑥 ≥ 1 −𝑥 , 𝑥 ≤ −1 𝑥2 − 1, − 1 < 𝑥 < 1 
 𝑔(𝑥) = { −𝑥⟦𝑥⟧+1 , − 5 ≤ 𝑥 < 0, ⟦𝑥⟧ ≠ −1 𝑥⟦𝑥⟧+1 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 5 
 
 (𝑓. 𝑔)(𝑥) = { 
 𝑥2⟦𝑥⟧+1 , − 5 ≤ 𝑥 < −1𝑥3−𝑥⟦𝑥⟧+1 , 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑥2⟦𝑥⟧+1 , 1 ≤ 𝑥 ≤ 5 
 
b) Para hallar el 𝐷𝑜𝑚(𝑓. 𝑔)(𝑥), utilizamos 𝐷𝑜𝑚(𝑓. 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ≠ ∅ 
 
Luego 𝐷𝑜𝑚(𝑓. 𝑔)(𝑥) = [−5;−1⟩∪ [0; 5] 
 
Finalmente, graficamos 
 
CÁLCULO I SEMESTRES ACADÉMICO 2023 – 1 
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2. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥²−1√𝑥²−4 
Solución 
a) Para calcular el Lím𝑥→−∞ 𝑥2√𝑥2−4 = Lím𝑥→∞ (−𝑥)2√(−𝑥)2−4 = ∞, 𝑠𝑖 𝑥 < 0 → −𝑥 > 0; 𝑥 ≠ ±2 
b) Para el cálculo de las asíntotas, consideramos que 
• Del punto(a) se observa que no hay asíntotas horizontales. 
• Para calcular las asíntotas verticales hacemos lo siguiente: 𝑥 ∈ < −∞,−2 >∪< 2,∞ > ; Lím𝑥→2+ 𝑥2√𝑥2−4 = Lím𝑥→2− 𝑥2√𝑥2−4 = 40+ = ∞ Lím𝑥→−2+ 𝑥2√𝑥2 − 4 = Lím𝑥→−2− 𝑥2√𝑥2 − 4 = 40+ = ∞ 
Por tanto, las asíntotas verticales son 𝑥 = ±2. 
• Para hallar las asíntotas oblicuas, necesitamos calcular 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 𝑚 = Lím𝑥→+∞ 𝑓(𝑥)𝑥 = Lím𝑥→+∞ 𝑥√𝑥2−4 = Lím𝑥→+∞ 1√1− 4𝑥2 =1 𝑛 = Lím𝑥→+∞𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 = Lím𝑥→+∞ 𝑥2−𝑥√𝑥2−4√𝑥2−4 = Lím𝑥→+∞ 𝑥(𝑥−√𝑥2−4)(𝑥+√𝑥2−4)(√𝑥2−4)(𝑥+√𝑥2−4) 𝑛 = Lím𝑥→+∞ 4𝑥(√𝑥2−4)(𝑥+√𝑥2−4) = Lím𝑥→+∞ 4(√𝑥2−4)(𝑥+√𝑥2−4)𝑥 = Lím𝑥→+∞ 4(√1− 4𝑥2)(𝑥+√𝑥2−4) =0 
Luego las asíntotas oblicuas son: 𝑦 = ±𝑥 
Finalmente, graficamos 
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Mg. RENZO EMERSON RODRÍGUEZ CALDERÓN EQUIPO DOCENTE DE CÁLCULO I 2023 - 1 
CÁLCULO I SEMESTRES ACADÉMICO 2023 – 1 
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3. Sea Lím𝑥→3(𝑥2 − 𝑥 − 2) = 4. 
 
Solución 
a) De la definición Lím𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 ⟷ ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0; 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀. 
 
Debemos de hallar entonces un 𝛿 > 0 siempre que exista 𝜀 > 0, tal que se cumple 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿 entonces |(𝑥2 − 𝑥 − 2) − 4| < 𝜀 
Luego |𝑥2 − 𝑥 − 6| < 𝜀 ⟺ |(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)| < 𝜀 ⟺ |𝑥 − 3||𝑥 + 2| < 𝜀……… (1) 
 Para establecer la relación entre 𝛿 y 𝜀, acotamos |𝑥 + 2|. 
 Para ello, podemos asumir inicialmente que 𝛿1 = 1, entonces |𝑥 − 3| < 1. 
Como −1 < 𝑥 − 3 < 1, entonces 4 < 𝑥 + 2 < 6 → −6 < 4 < 𝑥 + 2 < 6 …… (2) 
Luego |𝑥 + 2| < 6 ∧ |𝑥 − 3| < 𝛿, entonces de (1) y (2) obtenemos |𝑥 − 3||𝑥 + 2| < 6𝛿 = 𝜀 → 𝛿2 = 𝜀6 𝛿 = 𝑚𝑖𝑛 {1, 𝜀6} 
Finalmente ∀𝜀 > 0, ∃ 𝛿 = 𝜀6, tal que |𝑥 − 3| < 𝛿 → |(𝑥2 − 𝑥 − 2) − 4| < 𝜀. 
b) Interpretando para 𝜀 = 0,6 
A medida que la variable épsilon es más pequeña, la gráfica de la función coincide con 
la diagonal del rectángulo que se forma al interceptar las vecindades. 
 
Finalmente, graficamos 
 
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4. En la imagen adjunta, se observa el contorno de un resorte que se estira por las fuerzas que 
se le aplican, modelada por la función 𝑓(𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑡 + 𝐶) , que mide (en metros) la 
distancia dirigida del cuerpo desde su posición central, que consideramos el origen, 
después de 𝑡 segundos, siempre que el sentido positivo sea considerado hacia arriba. 
 
Solución
 
 
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CÁLCULO I SEMESTRES ACADÉMICO 2020 – 1 
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a) Como 𝑓(𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑡 + 𝐶), en donde 𝐴 es la amplitud de la función 𝑓(𝑡). 
Además, de la imagen, vemos que 𝐴 = 3, entonces se observa que (0; 3√32 ) ∈ 𝑓. 
Luego, 𝑓(0) = 3𝑠𝑒𝑛(𝐶) = 3√32 → 𝑠𝑒𝑛(𝐶) = √32 , entonces 𝐶 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (√32 ) = 𝜋3. 
Ahora, para hallar 𝐵, observamos la gráfica y vemos que la función se repite 
cada 
𝜋2 , por tanto 𝑇 = 𝜋2. 
Se sabe que 𝑇 = 2𝜋𝐵 → 𝜋2 = 2𝜋𝐵 → 𝐵 = 4. 
Finalmente, el modelo pedido es: 𝑓(𝑡) = 3𝑠𝑒𝑛 (4𝑡 + 𝜋3) , 𝑡 ∈ [0; 2𝜋] 
b) Como nos piden calcular el Lím𝑡→0 𝑓(𝑡)−3√32𝑡 , reemplazamos 𝑓(𝑡). 
 Lím𝑡→0 3𝑠𝑒𝑛(4𝑡+𝜋3)−3√32𝑡 = 3Lím𝑡→0 𝑠𝑒𝑛4𝑡.𝑐𝑜𝑠𝜋3+𝑠𝑒𝑛𝜋3𝑐𝑜𝑠4𝑡−√32𝑡 =3Lím𝑡→0 12𝑠𝑒𝑛4𝑡+√32 𝑐𝑜𝑠4𝑡−√32𝑡 = 32Lím𝑡→0 [𝑠𝑒𝑛4𝑡𝑡 − √3 (1 − 𝑐𝑜𝑠4𝑡𝑡 )] = 32Lím𝑡→0 [4 (𝑠𝑒𝑛4𝑡4𝑡 ) − 4√3 (1 − 𝑐𝑜𝑠4𝑡4𝑡 )] = 32Lím𝑡→0 [4(1) − 4√3(0)] = 32 [4] = 6 
Gráficamente, podemos interpretar que el resorte sufre una deformación 
debido a una fuerza externa en su amplitud cuando el tiempo tiende a cero se 
estira 6metros. 
En efecto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. (4 puntos) Un grupo de ingenieros de la empresa REPSOL, desean diseñar un tanque de 
gas que consta de un cilindro circular recto con extremos semiesféricos iguales donde 𝑙 es 
el largo del cilindro, y 𝑟 es el radio de los extremos semiesféricos. Si el área total de la 
superficie del tanque es 180𝜋 𝑚2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
a) Del dato 𝐴Total = 180𝜋 m2 ⟶ 𝐴Cilindro+𝐴Esfera = 180𝜋 m2 ⟶ 2𝜋𝑟𝑙 + 4𝜋 𝑟2 = 180𝜋. 
Simplificando 𝑟𝑙 + 2𝑟2 = 90 ⟶ 𝑙 = 90−2𝑟2𝑟 , 𝑟 ≠ 0. 
Nos piden el Volumen en función del radio, entonces 
 Volumen = Volumen cilíndro + Volumen esfera 
 𝑉 = 𝜋𝑟2𝑙 + 4𝜋𝑟33 𝑉 = 𝜋𝑟2 (90 − 2𝑟2𝑟 ) + 4𝜋𝑟33 𝑉 = 90𝜋𝑟 − 2𝜋𝑟33 
 
b) Para determinar la función volumen es necesario considerar que 𝑉(𝑟) > 0 y 𝑟 > 0. 
 90𝜋𝑟 − 2𝜋𝑟33 > 0 → 270𝜋𝑟 − 2𝜋𝑟3 > 0 → 𝑟3 − 135𝑟 < 0 𝑟(𝑟 + √135)(𝑟 − √135) < 0 → 𝑟 ∈ 〈+∞;−√135〉 ∪ 〈0;√135〉 
 Pero 𝑟 > 0, 𝑟 ∈ ⟨0; √135⟩. 
 Finalmente, Dom(𝑉) = ⟨0; √135⟩. 
𝑙: Largo 
𝑟: Radio 
REPSOL 
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