ICBT Com 08 - Unidad 8

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Martes 19 de octubre de 2021 
Funciones exponenciales 
𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑏 > 0 ; 𝑏 ≠ 1 ; 𝑎 ≠ 0 
Si despejo la 𝑥 para hallar su inversa: 
𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑦 − 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏𝑥 
𝑦
𝑎
−
𝑐
𝑎
= 𝑏𝑥 
log𝑏 (
𝑦
𝑎
−
𝑐
𝑎
) = log𝑏 𝑏
𝑥 
log𝑏 (
𝑦
𝑎
−
𝑐
𝑎
) = 𝑥 
Finalmente: 
𝑦−1 = log𝑏 (
𝑥
𝑎
−
𝑐
𝑎
) 
La función inversa de una exponencial es una logarítmica que como dominio tiene a la imagen 
de a exponencial y como imagen al dominio de la exponencial. 
 
 
Datos: 
Tenemos dos puntos: (0; 85) y (2; 74,5) 
Tenemos la asíntota horizontal, que es 𝑦 = 𝑐 → 𝑦 = 15. 
𝑦(𝑡) = 𝑘 ⋅ 𝑎𝑡 + 15 
𝑦: es la temperatura en °C. 
𝑡: el tiempo medido en minutos. 
 
Siempre es bueno tratar de graficar la información 
 
(tampoco es necesario que lo hagan así de feo) 
Si bien el valor de 𝑘 puede ser calculado hasta mentalmente en estos casos, también se puede 
calcular analíticamente con los puntos que tenemos: 
(0; 85) → 𝑦(0) = 𝑘 ⋅ 𝑎0 + 15 = 85 
𝑘 ⋅ 1 = 85 − 15 
𝑘 = 70 
(2; 74,5) → 𝑦(2) = 70 ⋅ 𝑎2 + 15 = 74,5 
70 ⋅ 𝑎2 = 74,5 − 15 
𝑎2 = 59,5: 70 
𝑎2 = 59,5: 70 
𝑎2 = 0,85 
|𝑎| = √0,85 → 𝑎 = √0,85 ∨ 𝑎 = −√0,85 
 
𝑦(𝑡) = 70 ⋅ √0,85
𝑡
+ 15 
Recordemos que 
√𝑥𝑚
𝑛
= 𝑥𝑚/𝑛 
 
𝑦(𝑡) = 70 ⋅ (0,851/2)
𝑡
+ 15 
a) 
𝑦(𝑡) = 70 ⋅ 0,85𝑡/2 + 15 
b) 
𝑦(4) = 70 ⋅ 0,854/2 + 15 
𝑦(4) = 70 ⋅ 0,852 + 15 = 65,575 
La temperatura es de 65,575°C a los 4 minutos. 
c) 
70 ⋅ 0,85𝑡/2 + 15 = 20 
70 ⋅ 0,85𝑡/2 = 20 − 15 
0,85𝑡/2 = 5: 70 
0,85𝑡/2 =
1
14
 
log0,85 0,85
𝑡/2 = log0,85
1
14
 
𝑡
2
⋅ 1 =
log
1
14
log 0,85
 
𝑡 = 16,23 ⋅ 2 → 𝑡 = 32,46 
Aproximadamente a partir de los 32,46 minutos la temperatura estará por debajo de los 20°C. 
d) 
Como 𝑎 = √0,85 ≈ 0,92 =
92
100
= 92%, podemos decir que la temperatura está 
disminuyendo a razón de un 8% por minuto (respecto de la temperatura final y la inicial). 
 
Como agregado, podemos decir que al tener la expresión 0,85𝑡/2 se observa que la 
temperatura disminuye un 15% cada dos minutos.