ICBT Com 08 - Unidad 2 - Sistemas de ecuaciones

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Universidad Nacional de Moreno
Lic. en Biotecnología
Introducción al Cálculo (ICBT)
Unidad 2: Ecuaciones e Inecuaciones
Ecuaciones con dos incógnitas y sistemas de ecuaciones
Para comenzar, les propongo que piensen dos números que sumados
den como resultado seis…
Soluciones propuestas:
1 2 4 0 6 0,5 −1
5 4 2 6 0 5,5 7
Podríamos pensar ahora, dos números que al restarlos den como
resultado ocho…
Soluciones propuestas:
−1 − −9 = −1 + 9 = 8
10 11 8 9 15 8,5 −1
2 3 0 1 7 0,5 −9
¿Ya encontraron algún par de números que cumplan en simultáneo
ambas condiciones?
Primero veamos que cada uno de los pares de números que
verifican las condiciones mencionadas se pueden representar en
un sistema de ejes cartesianos, si pensamos a las tablas anteriores
de la siguiente manera:
𝑥
𝑥
𝑦
𝑦
Podemos decir entonces que la respuesta a nuestra pregunta es que
𝑥 = 7 y que 𝑦 = −1. (los conjuntos de puntos que resuelven cada
ecuación por separado están “alineados”, por eso concluimos en
que ésa es la solución)
1 2 4 0 6 0,5 −1
5 4 2 6 0 5,5 7
10 11 8 9 15 8,5 −1
2 3 0 1 7 0,5 −9
Ahora bien, pudimos ver que hay varios puntos (o pares de números
-pares ordenados-) que resuelven ambas condiciones por separado,
pero sólo uno que resuelve a ambas a la vez, a ese par lo
llamaremos SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES.
Pero, ¿QUÉ ES UN SISTEMA DE ECUACIONES? Es un conjunto
de ecuaciones que tienen “varias” incógnitas, en particular, nuestro
problema era un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Veamos en nuestro ejemplo:
- Dos números que sumados den como resultado seis: 𝑥 + 𝑦 = 6
- Dos números que al restarlos den como resultado ocho: 𝑥 − 𝑦 = 8
Ésas son las dos ecuaciones (cada una, vimos que tenía varias
posibles soluciones por separado) que forman el sistema:
ቊ
𝑥 + 𝑦 = 6
𝑥 − 𝑦 = 8
Cuya solución es: 𝑆 = 𝑥; 𝑦 = 7;−1
Resolución analítica: Existen varios métodos para resolver un
sistema de ecuaciones de forma analítica (Igualación, Sustitución,
Reducción -o “de sumas y restas”-, Determinantes) pero son todas
herramientas para ajustar el mismo tornillo, con que sepas alguna
de ellas es suficiente (a veces es preferible un método que otro,
según cómo estén acomodadas las ecuaciones, pero eso es harina
de otro costal). En este ejemplo veremos el método de Igualación.
Método de Igualación:
1er paso: despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones.
ቊ
𝑥 + 𝑦 = 6 𝑖
𝑥 − 𝑦 = 8 𝑖𝑖
𝑖 𝑥 + 𝑦 = 6
𝑦 = 6 − 𝑥
𝑖𝑖 𝑥 − 𝑦 = 8
𝑥 = 8 + 𝑦
𝑥 − 8 = 𝑦 → 𝑦 = 𝑥 − 8
Pasando en limpio, el sistema queda de la siguiente manera:
൝
𝑥 + 𝑦 = 6
𝑥 − 𝑦 = 8
→ ቊ
𝑦 = 6 − 𝑥
𝑦 = 𝑥 − 8
Ya tenemos el primer paso terminado, pasamos entonces al
2do paso: igualamos las expresiones obtenidas y resolvemos la
ecuación resultante.
6 − 𝑥 = 𝑥 − 8
6 + 8 = 𝑥 + 𝑥
14 = 2𝑥
14: 2 = 𝑥
7 = 𝑥
Por último, una vez que ya conocemos el valor de una de las
incógnitas…
3er paso: reemplazamos el valor hallado en las ecuaciones
originales, y calculamos el valor de la otra variable.
𝑖 𝑦 = 6 − 𝑥 → 𝑦 = 6 − 7
𝑦 = −1
𝑖𝑖 𝑦 = 𝑥 − 8 → 𝑦 = 7 − 8
𝑦 = −1
Vimos entonces que 𝑥 = 7 (equis o “uno de los números” es 7) e
𝑦 = −1 (y griega o “el otro número” es −1), podemos escribir
definitivamente que la solución del sistema de ecuaciones es:
𝑆 = 𝑥; 𝑦 = 7;−1 (como ya lo sabíamos)
No olvidemos que podemos verificar la solución obtenida:
ቊ
𝑥 + 𝑦 = 6
𝑥 − 𝑦 = 8
ቊ
7 + −1 = 6
7 − −1 = 8
Podemos afirmar que este es un Sistema Compatible, dado que le
encontramos solución (luego veremos bien qué queremos decir
con esto).
Pensemos ahora las primeras ecuaciones, las originales de este
otro modo:
-Dos números que sumados den como resultado seis.
-Dos números que sumados den como resultado siete.
¿Podremos encontrar un par de números que cumplan ambas
condiciones en simultáneo?
ቊ
𝑥 + 𝑦 = 6
𝑥 + 𝑦 = 7
Efectivamente, la respuesta es no.
A diferencia del sistema de ecuaciones anterior, éste es un Sistema
Incompatible, dado que no podemos hallarle solución alguna.
Veamos cómo identificamos analíticamente a un sistema incompatible
ቊ
𝑥 + 𝑦 = 6
𝑥 + 𝑦 = 7
→ ቊ
𝑦 = 6 − 𝑥
𝑦 = 7 − 𝑥
Ahora igualamos las expresiones obtenidas y resolvemos:
6 − 𝑥 = 7 − 𝑥
6 − 7 = −𝑥 + 𝑥
−1 = 0𝑥 → −1 = 0
Lo cual es absurdo, y en consecuencia el sistema no tiene solución, o
mejor dicho es un Sistema Incompatible (S. I.)
Gráficamente queda
de la siguiente manera:
Por último, contemplemos el siguiente ejemplo:
-Dos números que sumados den como resultado seis y que el
doble de uno de ellos sea igual a doce menos el doble del otro.
El sistema de ecuaciones queda planteado de la siguiente manera:
ቊ
𝑥 + 𝑦 = 6
2𝑥 = 12 − 2𝑦
Resolvamos por el método de Igualación (el mismo que venimos
empleando en los dos ejemplos anteriores).
ቊ
𝑥 + 𝑦 = 6
2𝑥 = 12 − 2𝑦
→ ൜
𝑦 = 6 − 𝑥
2𝑦 = 12 − 2𝑥
→ቊ
𝑦 = 6 − 𝑥
𝑦 = 12 − 2𝑥 : 2 = 6 − 𝑥
¿Ya lo notaron?
Sí, ambas expresiones quedaron idénticas:
6 − 𝑥 = 6 − 𝑥
6 − 6 = −𝑥 + 𝑥 → 0 = 0
Lo cual se cumple para cualquier valor de 𝑥.
Este último ejemplo también es un Sistema Compatible, pero no es como
el del primer ejemplo, ya que no hallamos una solución particular.
La solución puede ser expresada de la siguiente manera:
𝑆 = 𝑥; 𝑦 = 𝑥; 6 − 𝑥
Es decir, 𝑥 puede tomar cualquier valor mientras que 𝑦 tiene que tomar el
valor 6 − 𝑥. Por ejemplo:
si 𝑥 = 1 → 𝑦 = 6 − 1 = 5 → 1; 5 es una solución.
si 𝑥 = 2 → 𝑦 = 6 − 2 = 4 → 2; 4 es otra solución.
si 𝑥 = 6 → 𝑦 = 6 − 6 = 0 → 6; 0 es otra solución.
si 𝑥 = −1 → 𝑦 = 6 − −1 = 7 → −1; 7 es otra solución.
Podríamos seguir encontrando soluciones, ¿cuántas? ¡Infinitas!
Por último, podemos observar que un sistema de ecuaciones puede
tener solución (una o infinitas) o puede no tenerlas.
De aquí viene la CLASIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES SEGÚN EL TIPO DE SOLUCIÓN.
Sistema Compatible Determinado (SCD):
Tiene solución única.
Sistema Compatible Indeterminado (SCI):
Tiene infinitas soluciones.
Sistema Incompatible (SI):
No tiene solución.
ቊ
𝑥 + 𝑦 = 6
𝑥 − 𝑦 = 8
ቊ
𝑥 + 𝑦 = 6
𝑥 + 𝑦 = 7
ቊ
𝑥 + 𝑦 = 6
2𝑥 = 12 − 2𝑦
Esperamos que sea de ayuda para 
comprender el resto de los 
problemas.
Equipo docente de Introducción al Cálculo – Licenciatura en Biotecnología