Semana_3 Calculo Vectorial

Vista previa del material en texto

Notas de clase: Calculo Vectorial
William Ramírez
Mileydis De La Hoz
Ronal Barrios
Magister en Ciencias Matemáticas
Universidad de la Costa C.U.C
Abril 2020
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 1 / 17
Funciones Vectoriales
Una función ~r : J → Rn donde J es un conjunto de números reales, se llama
función vectorial. El valor de la función ~r en t lo designaremos corrientemente
por ~r(t), puesto que ~r(t) ∈ Rn, entonces
~r(t) = (x1(t), x2(t), x3(t), · · · , xn(t)) ,
donde cada xi es una función real xi : J → R, i = 1,2, ...,n. Las funciones xi
son llamadas las componentes de la función vectorial ~r(t).
En algunos casos representaremos las funciones vectoriales como
combinación lineal de la base usual en Rn. Por ejemplo cuando n = 2
algunas veces utilizaremos la representación
~r(t) = f (t)i + h(t)j
y cuando n = 3 utilizaremos
~r(t) = f (t)i + h(t) + g(t)kj .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 17
Funciones Vectoriales
Una función ~r : J → Rn donde J es un conjunto de números reales, se llama
función vectorial. El valor de la función ~r en t lo designaremos corrientemente
por ~r(t), puesto que ~r(t) ∈ Rn, entonces
~r(t) = (x1(t), x2(t), x3(t), · · · , xn(t)) ,
donde cada xi es una función real xi : J → R, i = 1,2, ...,n. Las funciones xi
son llamadas las componentes de la función vectorial ~r(t).
En algunos casos representaremos las funciones vectoriales como
combinación lineal de la base usual en Rn. Por ejemplo cuando n = 2
algunas veces utilizaremos la representación
~r(t) = f (t)i + h(t)j
y cuando n = 3 utilizaremos
~r(t) = f (t)i + h(t) + g(t)kj .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 17
Funciones Vectoriales
Una función ~r : J → Rn donde J es un conjunto de números reales, se llama
función vectorial. El valor de la función ~r en t lo designaremos corrientemente
por ~r(t), puesto que ~r(t) ∈ Rn, entonces
~r(t) = (x1(t), x2(t), x3(t), · · · , xn(t)) ,
donde cada xi es una función real xi : J → R, i = 1,2, ...,n. Las funciones xi
son llamadas las componentes de la función vectorial ~r(t).
En algunos casos representaremos las funciones vectoriales como
combinación lineal de la base usual en Rn. Por ejemplo cuando n = 2
algunas veces utilizaremos la representación
~r(t) = f (t)i + h(t)j
y cuando n = 3 utilizaremos
~r(t) = f (t)i + h(t) + g(t)kj .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 17
Funciones Vectoriales
Una función ~r : J → Rn donde J es un conjunto de números reales, se llama
función vectorial. El valor de la función ~r en t lo designaremos corrientemente
por ~r(t), puesto que ~r(t) ∈ Rn, entonces
~r(t) = (x1(t), x2(t), x3(t), · · · , xn(t)) ,
donde cada xi es una función real xi : J → R, i = 1,2, ...,n. Las funciones xi
son llamadas las componentes de la función vectorial ~r(t).
En algunos casos representaremos las funciones vectoriales como
combinación lineal de la base usual en Rn. Por ejemplo cuando n = 2
algunas veces utilizaremos la representación
~r(t) = f (t)i + h(t)j
y cuando n = 3 utilizaremos
~r(t) = f (t)i + h(t) + g(t)kj .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
Si ~r(t) = [2t2,−3t ,5t + 1] = 2t2i − 3tj + (5t + 1)k , hallar:
1 ~r( 12 ).
2 ~r(2).
3 ~r(−3).
4 limh→0
~r(t + h)−~r(t)
h
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
Si ~r(t) = [2t2,−3t ,5t + 1] = 2t2i − 3tj + (5t + 1)k , hallar:
1 ~r( 12 ).
2 ~r(2).
3 ~r(−3).
4 limh→0
~r(t + h)−~r(t)
h
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
Si ~r(t) = [2t2,−3t ,5t + 1] = 2t2i − 3tj + (5t + 1)k , hallar:
1 ~r( 12 ).
2 ~r(2).
3 ~r(−3).
4 limh→0
~r(t + h)−~r(t)
h
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
Si ~r(t) = [2t2,−3t ,5t + 1] = 2t2i − 3tj + (5t + 1)k , hallar:
1 ~r( 12 ).
2 ~r(2).
3 ~r(−3).
4 limh→0
~r(t + h)−~r(t)
h
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
Si ~r(t) = [2t2,−3t ,5t + 1] = 2t2i − 3tj + (5t + 1)k , hallar:
1 ~r( 12 ).
2 ~r(2).
3 ~r(−3).
4 limh→0
~r(t + h)−~r(t)
h
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
Si ~r(t) = [2t2,−3t ,5t + 1] = 2t2i − 3tj + (5t + 1)k , hallar:
1 ~r( 12 ).
2 ~r(2).
3 ~r(−3).
4 limh→0
~r(t + h)−~r(t)
h
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
Si ~r(t) = [2t2,−3t ,5t + 1] = 2t2i − 3tj + (5t + 1)k , hallar:
1 ~r( 12 ).
2 ~r(2).
3 ~r(−3).
4 limh→0
~r(t + h)−~r(t)
h
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 17
Funciones Vectoriales
Dominio de una función vectorial.:
Sea ~r(t) = f (t)i + h(t)j + g(t)k una función vectorial, el dominio de ~r(t) es
definido como:
Dom~r(t) = Dom f (t) ∩ Dom h(t) ∩ Dom g(t).
Ejemplo: Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones
vectoriales
1 ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 ~r(t) = 2t i +
√
t − 1j + 5tk .
3 ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
4 ~r(t) =
t
t2 − 1
i +
√
t2 + 4t + 3j + 3tk .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 17
Funciones Vectoriales
Dominio de una función vectorial.:
Sea ~r(t) = f (t)i + h(t)j + g(t)k una función vectorial, el dominio de ~r(t) es
definido como:
Dom~r(t) = Dom f (t) ∩ Dom h(t) ∩ Dom g(t).
Ejemplo: Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones
vectoriales
1 ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 ~r(t) = 2t i +
√
t − 1j + 5tk .
3 ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
4 ~r(t) =
t
t2 − 1
i +
√
t2 + 4t + 3j + 3tk .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 17
Funciones Vectoriales
Dominio de una función vectorial.:
Sea ~r(t) = f (t)i + h(t)j + g(t)k una función vectorial, el dominio de ~r(t) es
definido como:
Dom~r(t) = Dom f (t) ∩ Dom h(t) ∩ Dom g(t).
Ejemplo: Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones
vectoriales
1 ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 ~r(t) = 2t i +
√
t − 1j + 5tk .
3 ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
4 ~r(t) =
t
t2 − 1
i +
√
t2 + 4t + 3j + 3tk .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 17
Funciones Vectoriales
Dominio de una función vectorial.:
Sea ~r(t) = f (t)i + h(t)j + g(t)k una función vectorial, el dominio de ~r(t) es
definido como:
Dom~r(t) = Dom f (t) ∩ Dom h(t) ∩ Dom g(t).
Ejemplo: Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones
vectoriales
1 ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 ~r(t) = 2t i +
√
t − 1j + 5tk .
3 ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
4 ~r(t) =
t
t2 − 1
i +
√
t2 + 4t + 3j + 3tk .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 17
Funciones Vectoriales
Dominio de una función vectorial.:
Sea ~r(t) = f (t)i + h(t)j + g(t)k una función vectorial, el dominio de ~r(t) es
definido como:
Dom~r(t) = Dom f (t) ∩ Dom h(t) ∩ Dom g(t).
Ejemplo: Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones
vectoriales
1 ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 ~r(t) = 2t i +
√
t − 1j + 5tk .
3 ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
4 ~r(t) =
t
t2 − 1
i +
√
t2 + 4t + 3j + 3tk .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 17
Funciones Vectoriales
Dominio de una función vectorial.:
Sea ~r(t) = f (t)i + h(t)j + g(t)k una función vectorial, el dominio de ~r(t) es
definido como:
Dom~r(t) = Dom f (t) ∩ Dom h(t) ∩ Dom g(t).
Ejemplo: Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones
vectoriales
1 ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 ~r(t) = 2t i +
√
t − 1j + 5tk .
3 ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
4 ~r(t) =
t
t2 − 1
i +
√
t2 + 4t + 3j + 3tk .
WilliamRamírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 17
Funciones Vectoriales
Dominio de una función vectorial.:
Sea ~r(t) = f (t)i + h(t)j + g(t)k una función vectorial, el dominio de ~r(t) es
definido como:
Dom~r(t) = Dom f (t) ∩ Dom h(t) ∩ Dom g(t).
Ejemplo: Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones
vectoriales
1 ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 ~r(t) = 2t i +
√
t − 1j + 5tk .
3 ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
4 ~r(t) =
t
t2 − 1
i +
√
t2 + 4t + 3j + 3tk .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 17
Funciones Vectoriales
Dominio de una función vectorial.:
Sea ~r(t) = f (t)i + h(t)j + g(t)k una función vectorial, el dominio de ~r(t) es
definido como:
Dom~r(t) = Dom f (t) ∩ Dom h(t) ∩ Dom g(t).
Ejemplo: Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones
vectoriales
1 ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 ~r(t) = 2t i +
√
t − 1j + 5tk .
3 ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
4 ~r(t) =
t
t2 − 1
i +
√
t2 + 4t + 3j + 3tk .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 17
Funciones Vectoriales
Dominio de una función vectorial.:
Sea ~r(t) = f (t)i + h(t)j + g(t)k una función vectorial, el dominio de ~r(t) es
definido como:
Dom~r(t) = Dom f (t) ∩ Dom h(t) ∩ Dom g(t).
Ejemplo: Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones
vectoriales
1 ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 ~r(t) = 2t i +
√
t − 1j + 5tk .
3 ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
4 ~r(t) =
t
t2 − 1
i +
√
t2 + 4t + 3j + 3tk .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 17
Funciones Vectoriales
Operaciones algebraicas.:
Las operaciones algebraicas de los vectores pueden aplicarse para las
funciones vectoriales. Sean ~r(t) y ~w(t) , funciones vectoriales definidas sobre
un dominio común y f una función real, entonces definimos las funciones,
~r + ~w , ~r · ~w y f~r , mediante
1 (~r + ~w)(t) = ~r(t) + ~w(t)
2 (~r · ~w) = ~r(t) · ~w(t)
3 f~r(t) = f (t)~r(t).
Además en el caso de que ~r y ~w tengan sus valores en R3 podemos definir el
producto vectorial (
~r × ~w
)
= ~r(t)× ~w(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 17
Funciones Vectoriales
Operaciones algebraicas.:
Las operaciones algebraicas de los vectores pueden aplicarse para las
funciones vectoriales. Sean ~r(t) y ~w(t) , funciones vectoriales definidas sobre
un dominio común y f una función real, entonces definimos las funciones,
~r + ~w , ~r · ~w y f~r , mediante
1 (~r + ~w)(t) = ~r(t) + ~w(t)
2 (~r · ~w) = ~r(t) · ~w(t)
3 f~r(t) = f (t)~r(t).
Además en el caso de que ~r y ~w tengan sus valores en R3 podemos definir el
producto vectorial (
~r × ~w
)
= ~r(t)× ~w(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 17
Funciones Vectoriales
Operaciones algebraicas.:
Las operaciones algebraicas de los vectores pueden aplicarse para las
funciones vectoriales. Sean ~r(t) y ~w(t) , funciones vectoriales definidas sobre
un dominio común y f una función real, entonces definimos las funciones,
~r + ~w , ~r · ~w y f~r , mediante
1 (~r + ~w)(t) = ~r(t) + ~w(t)
2 (~r · ~w) = ~r(t) · ~w(t)
3 f~r(t) = f (t)~r(t).
Además en el caso de que ~r y ~w tengan sus valores en R3 podemos definir el
producto vectorial (
~r × ~w
)
= ~r(t)× ~w(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 17
Funciones Vectoriales
Operaciones algebraicas.:
Las operaciones algebraicas de los vectores pueden aplicarse para las
funciones vectoriales. Sean ~r(t) y ~w(t) , funciones vectoriales definidas sobre
un dominio común y f una función real, entonces definimos las funciones,
~r + ~w , ~r · ~w y f~r , mediante
1 (~r + ~w)(t) = ~r(t) + ~w(t)
2 (~r · ~w) = ~r(t) · ~w(t)
3 f~r(t) = f (t)~r(t).
Además en el caso de que ~r y ~w tengan sus valores en R3 podemos definir el
producto vectorial (
~r × ~w
)
= ~r(t)× ~w(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 17
Funciones Vectoriales
Operaciones algebraicas.:
Las operaciones algebraicas de los vectores pueden aplicarse para las
funciones vectoriales. Sean ~r(t) y ~w(t) , funciones vectoriales definidas sobre
un dominio común y f una función real, entonces definimos las funciones,
~r + ~w , ~r · ~w y f~r , mediante
1 (~r + ~w)(t) = ~r(t) + ~w(t)
2 (~r · ~w) = ~r(t) · ~w(t)
3 f~r(t) = f (t)~r(t).
Además en el caso de que ~r y ~w tengan sus valores en R3 podemos definir el
producto vectorial (
~r × ~w
)
= ~r(t)× ~w(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 17
Funciones Vectoriales
Operaciones algebraicas.:
Las operaciones algebraicas de los vectores pueden aplicarse para las
funciones vectoriales. Sean ~r(t) y ~w(t) , funciones vectoriales definidas sobre
un dominio común y f una función real, entonces definimos las funciones,
~r + ~w , ~r · ~w y f~r , mediante
1 (~r + ~w)(t) = ~r(t) + ~w(t)
2 (~r · ~w) = ~r(t) · ~w(t)
3 f~r(t) = f (t)~r(t).
Además en el caso de que ~r y ~w tengan sus valores en R3 podemos definir el
producto vectorial (
~r × ~w
)
= ~r(t)× ~w(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 17
Funciones Vectoriales
Operaciones algebraicas.:
Las operaciones algebraicas de los vectores pueden aplicarse para las
funciones vectoriales. Sean ~r(t) y ~w(t) , funciones vectoriales definidas sobre
un dominio común y f una función real, entonces definimos las funciones,
~r + ~w , ~r · ~w y f~r , mediante
1 (~r + ~w)(t) = ~r(t) + ~w(t)
2 (~r · ~w) = ~r(t) · ~w(t)
3 f~r(t) = f (t)~r(t).
Además en el caso de que ~r y ~w tengan sus valores en R3 podemos definir el
producto vectorial
(
~r × ~w
)
= ~r(t)× ~w(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 17
Funciones Vectoriales
Operaciones algebraicas.:
Las operaciones algebraicas de los vectores pueden aplicarse para las
funciones vectoriales. Sean ~r(t) y ~w(t) , funciones vectoriales definidas sobre
un dominio común y f una función real, entonces definimos las funciones,
~r + ~w , ~r · ~w y f~r , mediante
1 (~r + ~w)(t) = ~r(t) + ~w(t)
2 (~r · ~w) = ~r(t) · ~w(t)
3 f~r(t) = f (t)~r(t).
Además en el caso de que ~r y ~w tengan sus valores en R3 podemos definir el
producto vectorial (
~r × ~w
)
= ~r(t)× ~w(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 17
Funciones Vectoriales
Límites:
Si ~r = (f1, f2, · · · , fn), es una función vectorial y L = (l1, l2, · · · , ln) ∈ Rn,
definimos el límite por:
lim
t−→a
~r(t) = L⇐⇒ lim
t−→a
f1(t) = l1, lim
t−→a
f2(t) = l2, lim
t−→a
fN = ln,
siempre que los límites existan.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 17
Funciones Vectoriales
Límites:
Si ~r = (f1, f2, · · · , fn), es una función vectorial y L = (l1, l2, · · · , ln) ∈ Rn,
definimos el límite por:
lim
t−→a
~r(t) = L⇐⇒ lim
t−→a
f1(t) = l1, lim
t−→a
f2(t) = l2, lim
t−→a
fN = ln,
siempre que los límites existan.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 17
Funciones Vectoriales
Límites:
Si ~r = (f1, f2, · · · , fn), es una función vectorial y L = (l1, l2, · · · , ln) ∈ Rn,
definimos el límite por:
lim
t−→a
~r(t) = L⇐⇒ lim
t−→a
f1(t) = l1, lim
t−→a
f2(t) = l2, lim
t−→a
fN = ln,
siempre que los límites existan.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 17
Funciones Vectoriales
Límites:
Si ~r = (f1, f2, · · · , fn), es una función vectorial y L = (l1, l2, · · · , ln) ∈ Rn,
definimos el límite por:
lim
t−→a
~r(t) = L⇐⇒ lim
t−→a
f1(t) = l1, lim
t−→a
f2(t) = l2, lim
t−→a
fN = ln,
siempre que los límites existan.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 17
Funciones Vectoriales
Diremos que ~r(t) es continua en a si limt−→a~r(t) = ~r(a). Es decir, ~r es
continua en a si y solo si cada componente es continua en a.
Ejemplo:
1 Determine el limt−→0~r(t), donde ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 Determineel limt−→0~r(t), donde ~r(t) = cos(t)i +
sin(t)
t
j .
3 Determine el limt−→1~r(t), donde ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 17
Funciones Vectoriales
Diremos que ~r(t) es continua en a si limt−→a~r(t) = ~r(a). Es decir, ~r es
continua en a si y solo si cada componente es continua en a.
Ejemplo:
1 Determine el limt−→0~r(t), donde ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 Determine el limt−→0~r(t), donde ~r(t) = cos(t)i +
sin(t)
t
j .
3 Determine el limt−→1~r(t), donde ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 17
Funciones Vectoriales
Diremos que ~r(t) es continua en a si limt−→a~r(t) = ~r(a). Es decir, ~r es
continua en a si y solo si cada componente es continua en a.
Ejemplo:
1 Determine el limt−→0~r(t), donde ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 Determine el limt−→0~r(t), donde ~r(t) = cos(t)i +
sin(t)
t
j .
3 Determine el limt−→1~r(t), donde ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 17
Funciones Vectoriales
Diremos que ~r(t) es continua en a si limt−→a~r(t) = ~r(a). Es decir, ~r es
continua en a si y solo si cada componente es continua en a.
Ejemplo:
1 Determine el limt−→0~r(t), donde ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 Determine el limt−→0~r(t), donde ~r(t) = cos(t)i +
sin(t)
t
j .
3 Determine el limt−→1~r(t), donde ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 17
Funciones Vectoriales
Diremos que ~r(t) es continua en a si limt−→a~r(t) = ~r(a). Es decir, ~r es
continua en a si y solo si cada componente es continua en a.
Ejemplo:
1 Determine el limt−→0~r(t), donde ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 Determine el limt−→0~r(t), donde ~r(t) = cos(t)i +
sin(t)
t
j .
3 Determine el limt−→1~r(t), donde ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 17
Funciones Vectoriales
Diremos que ~r(t) es continua en a si limt−→a~r(t) = ~r(a). Es decir, ~r es
continua en a si y solo si cada componente es continua en a.
Ejemplo:
1 Determine el limt−→0~r(t), donde ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 Determine el limt−→0~r(t), donde ~r(t) = cos(t)i +
sin(t)
t
j .
3 Determine el limt−→1~r(t), donde ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 17
Funciones Vectoriales
Diremos que ~r(t) es continua en a si limt−→a~r(t) = ~r(a). Es decir, ~r es
continua en a si y solo si cada componente es continua en a.
Ejemplo:
1 Determine el limt−→0~r(t), donde ~r(t) = (1 + t2)i + te−t j +
sin(t)
t
k .
2 Determine el limt−→0~r(t), donde ~r(t) = cos(t)i +
sin(t)
t
j .
3 Determine el limt−→1~r(t), donde ~r(t) =
t2 − 1
t − 1
i +
t3 − 1
t − 1
j + 2tk .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 17
Funciones Vectoriales
Derivada:
La derivada ~r ′ , de una función vectorial ~r está definida de la misma manera
que para las funciones de valores reales:
d~r
dt
= lim
h−→0
~r(t + h)−~r(t)
h
.
Teorema 0.1
Si ~r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k , donde f ,g y h son funciones derivables,
entonces
~r ′ = f
′
(t)i + g
′
(t)j + h
′
(t)k .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 17
Funciones Vectoriales
Derivada:
La derivada ~r ′ , de una función vectorial ~r está definida de la misma manera
que para las funciones de valores reales:
d~r
dt
= lim
h−→0
~r(t + h)−~r(t)
h
.
Teorema 0.1
Si ~r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k , donde f ,g y h son funciones derivables,
entonces
~r ′ = f
′
(t)i + g
′
(t)j + h
′
(t)k .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 17
Funciones Vectoriales
Derivada:
La derivada ~r ′ , de una función vectorial ~r está definida de la misma manera
que para las funciones de valores reales:
d~r
dt
= lim
h−→0
~r(t + h)−~r(t)
h
.
Teorema 0.1
Si ~r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k , donde f ,g y h son funciones derivables,
entonces
~r ′ = f
′
(t)i + g
′
(t)j + h
′
(t)k .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 17
Funciones Vectoriales
Derivada:
La derivada ~r ′ , de una función vectorial ~r está definida de la misma manera
que para las funciones de valores reales:
d~r
dt
= lim
h−→0
~r(t + h)−~r(t)
h
.
Teorema 0.1
Si ~r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k , donde f ,g y h son funciones derivables,
entonces
~r ′ = f
′
(t)i + g
′
(t)j + h
′
(t)k .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 17
Funciones Vectoriales
Derivada:
La derivada ~r ′ , de una función vectorial ~r está definida de la misma manera
que para las funciones de valores reales:
d~r
dt
= lim
h−→0
~r(t + h)−~r(t)
h
.
Teorema 0.1
Si ~r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k , donde f ,g y h son funciones derivables,
entonces
~r ′ = f
′
(t)i + g
′
(t)j + h
′
(t)k .
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 17
Funciones Vectoriales
Teorema: Suponga que u y v son funciones vectoriales derivables, c es un
escalar y f es una función de valores reales. Entonces,
1
d
dt
[u(t) + v(t)] = u
′
(t) + v
′
(t).
2
d
dt
[cu(t)] = cu
′
(t).
3
d
dt
[f (t)u(t)] = f
′
(t)u(t) + f (t)u
′
(t).
4
d
dt
[u(t) · v(t)] = u
′
(t) · v(t) + u(t) · v
′
(t).
5
d
dt
[u(t)× v(t)] = u
′
(t)× v(t) + u(t)× v
′
(t).
6
d
dt
[u(f (t))] = f
′
(t)u
′
(f (t)).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 17
Funciones Vectoriales
Teorema: Suponga que u y v son funciones vectoriales derivables, c es un
escalar y f es una función de valores reales. Entonces,
1
d
dt
[u(t) + v(t)] = u
′
(t) + v
′
(t).
2
d
dt
[cu(t)] = cu
′
(t).
3
d
dt
[f (t)u(t)] = f
′
(t)u(t) + f (t)u
′
(t).
4
d
dt
[u(t) · v(t)] = u
′
(t) · v(t) + u(t) · v
′
(t).
5
d
dt
[u(t)× v(t)] = u
′
(t)× v(t) + u(t)× v
′
(t).
6
d
dt
[u(f (t))] = f
′
(t)u
′
(f (t)).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 17
Funciones Vectoriales
Teorema: Suponga que u y v son funciones vectoriales derivables, c es un
escalar y f es una función de valores reales. Entonces,
1
d
dt
[u(t) + v(t)] = u
′
(t) + v
′
(t).
2
d
dt
[cu(t)] = cu
′
(t).
3
d
dt
[f (t)u(t)] = f
′
(t)u(t) + f (t)u
′
(t).
4
d
dt
[u(t) · v(t)] = u
′
(t) · v(t) + u(t) · v
′
(t).
5
d
dt
[u(t)× v(t)] = u
′
(t)× v(t) + u(t)× v
′
(t).
6
d
dt
[u(f (t))] = f
′
(t)u
′
(f (t)).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 17
Funciones Vectoriales
Teorema: Suponga que u y v son funciones vectoriales derivables, c es un
escalar y f es una función de valores reales. Entonces,
1
d
dt
[u(t) + v(t)] = u
′
(t) + v
′
(t).
2
d
dt
[cu(t)] = cu
′
(t).
3
d
dt
[f (t)u(t)] = f
′
(t)u(t) + f (t)u
′
(t).
4
d
dt
[u(t) · v(t)] = u
′
(t) · v(t) + u(t) · v
′
(t).
5
d
dt
[u(t)× v(t)] = u
′
(t)× v(t) + u(t)× v
′
(t).
6
d
dt
[u(f (t))] = f
′
(t)u
′
(f (t)).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 17
Funciones Vectoriales
Teorema: Suponga que u y v son funciones vectoriales derivables, c es un
escalar y f es una función de valores reales. Entonces,
1
d
dt
[u(t) + v(t)] = u
′
(t) + v
′
(t).
2
d
dt
[cu(t)] = cu
′
(t).
3
d
dt
[f (t)u(t)] = f
′
(t)u(t) + f (t)u
′
(t).
4
d
dt
[u(t) · v(t)] = u
′
(t) · v(t) + u(t) · v
′
(t).
5
d
dt
[u(t)× v(t)] = u
′
(t)× v(t) + u(t)× v
′
(t).
6
d
dt
[u(f (t))] = f
′
(t)u
′
(f (t)).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 17
Funciones Vectoriales
Teorema: Suponga que u y v son funciones vectoriales derivables, c es un
escalar y f es una función de valores reales. Entonces,
1
d
dt
[u(t) + v(t)] = u
′
(t) + v
′
(t).
2
d
dt
[cu(t)] = cu
′
(t).
3
d
dt
[f (t)u(t)] = f
′
(t)u(t) + f (t)u
′
(t).
4
d
dt
[u(t) · v(t)] = u
′
(t) · v(t) + u(t) · v
′
(t).
5
d
dt
[u(t)× v(t)] = u′
(t)× v(t) + u(t)× v
′
(t).
6
d
dt
[u(f (t))] = f
′
(t)u
′
(f (t)).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 17
Funciones Vectoriales
Teorema: Suponga que u y v son funciones vectoriales derivables, c es un
escalar y f es una función de valores reales. Entonces,
1
d
dt
[u(t) + v(t)] = u
′
(t) + v
′
(t).
2
d
dt
[cu(t)] = cu
′
(t).
3
d
dt
[f (t)u(t)] = f
′
(t)u(t) + f (t)u
′
(t).
4
d
dt
[u(t) · v(t)] = u
′
(t) · v(t) + u(t) · v
′
(t).
5
d
dt
[u(t)× v(t)] = u
′
(t)× v(t) + u(t)× v
′
(t).
6
d
dt
[u(f (t))] = f
′
(t)u
′
(f (t)).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
Para la función vectorial dada por:
~r(t) = cos(t)i + sin(t)j + 2tk .
Determinar
1 ~r ′(t)
2 ~r ′′(t)
3 ~r ′(t) · ~r ′′(t)
4 ~r ′(t)× ~r ′′(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
Para la función vectorial dada por:
~r(t) = cos(t)i + sin(t)j + 2tk .
Determinar
1 ~r ′(t)
2 ~r ′′(t)
3 ~r ′(t) · ~r ′′(t)
4 ~r ′(t)× ~r ′′(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
Para la función vectorial dada por:
~r(t) = cos(t)i + sin(t)j + 2tk .
Determinar
1 ~r ′(t)
2 ~r ′′(t)
3 ~r ′(t) · ~r ′′(t)
4 ~r ′(t)× ~r ′′(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
Para la función vectorial dada por:
~r(t) = cos(t)i + sin(t)j + 2tk .
Determinar
1 ~r ′(t)
2 ~r ′′(t)
3 ~r ′(t) · ~r ′′(t)
4 ~r ′(t)× ~r ′′(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 17
Funciones Vectoriales
Integral:
Si una función vectorial ~r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k continua está definida en el
intervalo [a,b], entonces cada componente real es continua en [a,b] y por lo
tanto integrable. Así podemos definir:
∫ b
a
~r(t)dt =
∫ b
a
f (t)i dt +
∫ b
a
g(t)j dt +
∫ b
a
h(t)k dt .
Nota:
De acuerdo a estas definiciones muchos de los resultados sobre límites,
continuidad, derivación e integración de funciones reales son válidos para las
funciones vectoriales.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 17
Funciones Vectoriales
Integral:
Si una función vectorial ~r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k continua está definida en el
intervalo [a,b], entonces cada componente real es continua en [a,b] y por lo
tanto integrable. Así podemos definir:
∫ b
a
~r(t)dt =
∫ b
a
f (t)i dt +
∫ b
a
g(t)j dt +
∫ b
a
h(t)k dt .
Nota:
De acuerdo a estas definiciones muchos de los resultados sobre límites,
continuidad, derivación e integración de funciones reales son válidos para las
funciones vectoriales.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 17
Funciones Vectoriales
Integral:
Si una función vectorial ~r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k continua está definida en el
intervalo [a,b], entonces cada componente real es continua en [a,b] y por lo
tanto integrable. Así podemos definir:
∫ b
a
~r(t)dt =
∫ b
a
f (t)i dt +
∫ b
a
g(t)j dt +
∫ b
a
h(t)k dt .
Nota:
De acuerdo a estas definiciones muchos de los resultados sobre límites,
continuidad, derivación e integración de funciones reales son válidos para las
funciones vectoriales.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 17
Funciones Vectoriales
Integral:
Si una función vectorial ~r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k continua está definida en el
intervalo [a,b], entonces cada componente real es continua en [a,b] y por lo
tanto integrable. Así podemos definir:
∫ b
a
~r(t)dt =
∫ b
a
f (t)i dt +
∫ b
a
g(t)j dt +
∫ b
a
h(t)k dt .
Nota:
De acuerdo a estas definiciones muchos de los resultados sobre límites,
continuidad, derivación e integración de funciones reales son válidos para las
funciones vectoriales.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 17
Funciones Vectoriales
Integral:
Si una función vectorial ~r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k continua está definida en el
intervalo [a,b], entonces cada componente real es continua en [a,b] y por lo
tanto integrable. Así podemos definir:
∫ b
a
~r(t)dt =
∫ b
a
f (t)i dt +
∫ b
a
g(t)j dt +
∫ b
a
h(t)k dt .
Nota:
De acuerdo a estas definiciones muchos de los resultados sobre límites,
continuidad, derivación e integración de funciones reales son válidos para las
funciones vectoriales.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
Resolver las siguientes integrales:
1
∫
t dt i +
∫
3 dt j +
∫
sin(t)dt k .
2
∫ 1
0
~r(t)dt donde~r(t) = 3
√
t i +
1
t + 1
j + e−tk .
3 Sea ~r(t) =
cos(
√
t)√
t sin3(
√
t)
i + tan(t) sec2(t)j +
1
t2 + 4
k , hallar:
∫
~r(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
Resolver las siguientes integrales:
1
∫
t dt i +
∫
3 dt j +
∫
sin(t)dt k .
2
∫ 1
0
~r(t)dt donde~r(t) = 3
√
t i +
1
t + 1
j + e−tk .
3 Sea ~r(t) =
cos(
√
t)√
t sin3(
√
t)
i + tan(t) sec2(t)j +
1
t2 + 4
k , hallar:
∫
~r(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
Resolver las siguientes integrales:
1
∫
t dt i +
∫
3 dt j +
∫
sin(t)dt k .
2
∫ 1
0
~r(t)dt donde~r(t) = 3
√
t i +
1
t + 1
j + e−tk .
3 Sea ~r(t) =
cos(
√
t)√
t sin3(
√
t)
i + tan(t) sec2(t)j +
1
t2 + 4
k , hallar:
∫
~r(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
Resolver las siguientes integrales:
1
∫
t dt i +
∫
3 dt j +
∫
sin(t)dt k .
2
∫ 1
0
~r(t)dt donde~r(t) = 3
√
t i +
1
t + 1
j + e−tk .
3 Sea ~r(t) =
cos(
√
t)√
t sin3(
√
t)
i + tan(t) sec2(t)j +
1
t2 + 4
k , hallar:
∫
~r(t).
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
La velocidad de una particula está dada como muestra la figura, se requiere
determinar la ecuación de la trayectoria del desplazamient o partiendo del
reposo es decir cuando t = 0, el desplazamiento es r =< 0,0,0 >.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
La velocidad de una particula está dada como muestra la figura, se requiere
determinar la ecuación de la trayectoria del desplazamient o partiendo del
reposo es decir cuando t = 0, el desplazamiento es r =< 0,0,0 >.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 17
Funciones Vectoriales
Ejemplo:
La velocidad de una particula está dada como muestra la figura, se requiere
determinar la ecuación de la trayectoria del desplazamient o partiendo del
reposo es decir cuando t = 0, el desplazamiento es r =< 0,0,0 >.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 17
Funciones Vectoriales
Solución:
v =
dr
dt
=⇒ r =
∫
vdt + c.
Entonces
r =
〈∫
2 cos t dt + c1,
∫
2 sin t dt + c2,
∫
t dt + c3.
〉
r =
〈
2 sin t + c1,−2 cos t + c2,
t2
2
+ c3.
〉
.
Tomando la condición inicial se tiene que
< 0,0,0 >=< c1,−2 + c2, c3 > .
Por lo tanto c1 = 0, c2 = 2yc3 = 0.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 17
Funciones Vectoriales
Solución:
v =
dr
dt
=⇒ r =
∫
vdt + c.
Entonces
r =
〈∫
2 cos t dt + c1,
∫
2 sin t dt + c2,
∫
t dt + c3.
〉
r =
〈
2 sin t + c1,−2 cos t + c2,
t2
2
+ c3.
〉
.
Tomando la condición inicial se tiene que
< 0,0,0 >=< c1,−2 + c2, c3 > .
Por lo tanto c1 = 0, c2 = 2yc3 = 0.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 17
Funciones Vectoriales
Solución:
v =
dr
dt
=⇒ r =
∫
vdt + c.
Entonces
r =
〈∫
2 cos t dt + c1,
∫
2 sin t dt + c2,
∫
t dt + c3.
〉
r =
〈
2 sin t + c1,−2 cos t + c2,
t2
2
+ c3.
〉
.
Tomando la condición inicial se tiene que
< 0,0,0 >=< c1,−2 + c2, c3 > .
Por lo tanto c1 = 0, c2 = 2yc3 = 0.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 17
Funciones Vectoriales
Solución:
v =
dr
dt
=⇒ r =
∫
vdt + c.
Entoncesr =
〈∫
2 cos t dt + c1,
∫
2 sin t dt + c2,
∫
t dt + c3.
〉
r =
〈
2 sin t + c1,−2 cos t + c2,
t2
2
+ c3.
〉
.
Tomando la condición inicial se tiene que
< 0,0,0 >=< c1,−2 + c2, c3 > .
Por lo tanto c1 = 0, c2 = 2yc3 = 0.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 17
Funciones Vectoriales
Solución:
v =
dr
dt
=⇒ r =
∫
vdt + c.
Entonces
r =
〈∫
2 cos t dt + c1,
∫
2 sin t dt + c2,
∫
t dt + c3.
〉
r =
〈
2 sin t + c1,−2 cos t + c2,
t2
2
+ c3.
〉
.
Tomando la condición inicial se tiene que
< 0,0,0 >=< c1,−2 + c2, c3 > .
Por lo tanto c1 = 0, c2 = 2yc3 = 0.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 17
Funciones Vectoriales
Solución:
v =
dr
dt
=⇒ r =
∫
vdt + c.
Entonces
r =
〈∫
2 cos t dt + c1,
∫
2 sin t dt + c2,
∫
t dt + c3.
〉
r =
〈
2 sin t + c1,−2 cos t + c2,
t2
2
+ c3.
〉
.
Tomando la condición inicial se tiene que
< 0,0,0 >=< c1,−2 + c2, c3 > .
Por lo tanto c1 = 0, c2 = 2yc3 = 0.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 17
Funciones Vectoriales
Solución:
v =
dr
dt
=⇒ r =
∫
vdt + c.
Entonces
r =
〈∫
2 cos t dt + c1,
∫
2 sin t dt + c2,
∫
t dt + c3.
〉
r =
〈
2 sin t + c1,−2 cos t + c2,
t2
2
+ c3.
〉
.
Tomando la condición inicial se tiene que
< 0,0,0 >=< c1,−2 + c2, c3 > .
Por lo tanto c1 = 0, c2 = 2yc3 = 0.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 17
Funciones Vectoriales
En consecuencia, la ecuación que describe la trayectoria de la partícula es
r =
〈
2 sin t ,2− 2 cos t , t
2
2
〉
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 15 / 17
Funciones Vectoriales
En consecuencia, la ecuación que describe la trayectoria de la partícula es
r =
〈
2 sin t ,2− 2 cos t , t
2
2
〉
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 15 / 17
Funciones Vectoriales
En consecuencia, la ecuación que describe la trayectoria de la partícula es
r =
〈
2 sin t ,2− 2 cos t , t
2
2
〉
.
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 15 / 17
Funciones Vectoriales
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 16 / 17
Funciones Vectoriales
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 16 / 17
¡Gracias por su Atención!
William Ramírez Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 17 / 17