Infrencia estadística (1)

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ESTADÍSTICA 
INFERENCIAL
Luis Ramón Barrios Roqueme
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Introducción
Cuando las poblaciones son generalmente muy 
grandes como para ser estudiadas en su totalidad, por 
cuestiones de costo, tiempo u otros factores que 
influyan en la recolección de los datos, se requiere de 
la selección de muestras de dicha población. 
Población
Muestra
Por consiguiente, se utilizan las muestras para 
inferir (hacer inferencia) en la población 
considerada. En este sentido, la Estadística 
inferencial consiste en los métodos utilizados 
para la toma de decisiones o para sacar 
conclusiones acerca de una población a partir de 
la muestra seleccionada.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Introducción
Se puede dividir la estadística inferencial en tres grandes áreas:
✓ Estimación de parámetros que consiste es encontrar las función basada en una 
muestra que se aproximen lo más posible a una o varias características poblacionales 
de interés.
✓ Estimación por intervalos que consiste en encontrar los extremos de intervalos 
con funciones basadas en la muestra el cual contenga la mayor información posible 
de una o varias características poblacionales.
✓ Pruebas de hipótesis que trata de verificar si una cierta afirmación acerca de la 
distribución de una población puede considerarse como válida basándose en una 
muestra observada.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Conceptos básicos
Población: Una población es la colección completa o conjunto de objetos cuyo interés 
para el investigador es realizar inferencia sobres ciertas características comunes de los 
elementos de estudio en el conjunto.
Unidad observacional: Es la unidad objeto de estudio de interés para el investigador 
de la cual puede obtener algunas características para hacer inferencia.
Parámetro: Un parámetro es un cantidad calculada que caracteriza o representa la 
población de interés. Los parámetros serán denotados de manera general como 𝜃.
Muestra: Una muestra es un subconjunto que es representativo de la población y sirve 
para inferir en la población.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Conceptos básicos
Muestra aleatoria: Una muestra aleatoria de tamaño n es un conjunto constituido 
por n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas 𝑋1, 𝑋2,…, 𝑋𝑛. 
Taño muestral: A n se le llama tamaño de la muestra o tamaño muestral y 
corresponde al número de elementos constituidos en la muestra.
Estadística o estimador: Una estadística T es una función de variables aleatorias 
que no depende de ningún parámetro, pero es utilizada para estimar los parámetros 
desconocidos 𝜃 o funciones del parámetro 𝑔(𝜃).
Estimador puntual: Las realizaciones del estimador a partir de “una muestra 
seleccionada” se estimaciones o estimadores puntuales denotados como t.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Estimaciones puntuales
El objetivo fundamental de la estimación puntal es encontrar estimadores para la 
estimación de parámetros desconocidos 𝜃 o una función de los parámetros 𝑔(𝜃).
Ejemplo: Se desea estimar gasto de alimentación diaria promedio de los hogares 
colombianos en los estratos 1 y 2. Si se selecciona una muestra aleatoria de 10 hogares 
y los resultados en miles de pesos son: 10, 25, 30, 35, 30, 40, 35, 50, 15, 28.
ത𝑋 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
=
10 + 25 +⋯+ 28
10
= 29.8
Es decir, el gasto promedio en alimentación diaria de los hogares colombianos en 
estratos 1 y 2 es de $29800
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Estimaciones puntuales
Según la definición de estimador, cualquier estadística se puede considerar como un 
estimador del parámetros desconocido 𝜃 o de una función de este 𝑔(𝜃). 
Ejemplo: Se desea estimar gasto de alimentación diaria promedio de los hogares 
colombianos en los estratos 1 y 2. Si se selecciona una muestra aleatoria de 10 hogares 
y los resultados en miles de pesos son: 10, 25, 30, 35, 30, 40, 35, 50, 15, 28. Ahora 
consideremos la estadística:
𝑋𝑚á𝑥 − 𝑋𝑚í𝑛
2
=
50 − 10
2
= 20
Es decir, el gasto promedio en alimentación diaria en estratos 1 y 2 es de $20000 y 
también parece una estimación aceptable. ¿Qué otra estadística propone?, ¿Cuál es el 
mejor estimador?
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Estimaciones puntuales
Nombre Parámetro 𝜽 Estimador puntual
Total:
𝑡𝑋 =෍
𝑖=1
𝑁
𝑋𝑖 Ƹ𝑡𝑋 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖
Promedio:
𝜇𝑋 =
σ𝑖=1
𝑁 𝑋𝑖
𝑁
ො𝜇𝑋 = ത𝑋 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖
𝑛
Varianza:
𝜎𝑋
2 =
σ𝑖=1
𝑁 𝑋𝑖 − 𝜇𝑋
2
𝑁
ො𝜎𝑋
2 = 𝑆𝑋
2 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖 − ത𝑋
2
𝑛
Algunos parámetros y sus respectivos estimadores puntuales para una variable 
aleatoria X son los siguientes: 
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Algunos métodos de estimación puntual
Método de máxima verosimilitud
El método de estimación máxima verosimilitud (traducido del inglés: Maximum
Likelihood estimator) es uno de los métodos más difundidos y quizás uno de los más 
utilizados para estimación de parámetros. Aunque este método fue concebido y 
empleado por Gauss, se debe realmente al británico Fisher quien lo hizo público en la 
primera década del siglo XX. La idea de este método se basa en encontrar el valor de 𝜃
o de 𝑔(𝜃) que maximiza la probabilidad de observar la muestra 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Algunos métodos de estimación puntual
Método de máxima verosimilitud
Función de verosimilitud: Dadas n variables aleatorias 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 la función de 
verosimilitud se define como la función de densidad conjunta de las n variables, 
denotada y expresada:
𝐿 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, 𝜃 = 𝑓 𝑥1, 𝜃 ∙ 𝑓 𝑥2, 𝜃 ∙∙∙ 𝑓 𝑥𝑛, 𝜃 =ෑ
𝑖=1
𝑛
𝑓(𝑥𝑖 , 𝜃)
Donde f es la función de densidad común para las n variables. No obstante, dada la 
función de verosimilitud, el método de máxima verosimilitud para un parámetro 𝜃
consiste en encontrar el valor de 𝜃 que maximice esta función, este será el estimador 
de máxima verosimilitud de 𝜃 y lo denotaremos como ෠𝜃𝑀𝑉 . 
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Algunos métodos de estimación puntual
Método de máxima verosimilitud
Ejemplo 1: El instituto nacional de salud (INS) necesita conocer el número de casos 
por COVID-19 en ocupación de UCI que ocurren diariamente en 15 de los 32 
departamentos de Colombia donde los resultados de un día cualquiera son 1, 1, 3, 3, 4, 
7, 5, 5, 5, 3, 2, 1, 1, 9, 6.
• Si denotamos el números de ocupación de UCI que ocurren diariamente en un 
departamento de Colombia por X, entonces,
• 𝑋 ≔ {0,1,2, 3, … }, por consiguiente,
• una distribución apropiada para X puede ser la distribución de 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜃)
• Luego, la estimación de máxima verosimilitud para 𝜃 es el promedio muestral, 
veamos:
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Algunos métodos de estimación puntual
Método de máxima verosimilitud
Ejemplo 1.1: Dada una muestra aleatoria 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 con distribución 𝑃𝑜𝑖𝑠(𝜃), el 
estimador de máxima verosimilitud de 𝜃 es el promedio muestral ത𝑋.
Para verificar esta afirmación se calcula primero la función de verosimilitud:
𝐿 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, 𝜃 = 𝑓 𝑥1, 𝜃 ∙ 𝑓 𝑥2, 𝜃 ∙∙∙ 𝑓 𝑥𝑛, 𝜃
=
𝑒−𝜃𝜃𝑥1
𝑥1!
∙
𝑒−𝜃𝜃𝑥2
𝑥2!
∙∙∙
𝑒−𝜃𝜃𝑥𝑛
𝑥𝑛!
=
𝑒−𝑛𝜃𝜃σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
ς𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖!
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Algunos métodos de estimación puntual
Método de máxima verosimilitud
Ejemplo 1.1: (Zhang H. & Gutiérrez H.) Dada una muestra aleatoria 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 con 
distribución 𝑃𝑜𝑖𝑠(𝜃), el estimador de máxima verosimilitud de 𝜃 es el promedio 
muestral ത𝑋.
Encontrar el valor de 𝜃 que maximiza la anterior expresión de 𝐿 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, 𝜃 es 
equivalente a maximizar 𝑒−𝑛𝜃𝜃σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 , pues es la parte que depende de 𝜃. Ahora 
encontrar el valor que máxima una función es equivalente a encontrar el valor que 
maximiza el logaritmo natural de esta función, pues la función logaritmo natural es 
creciente. Por consiguiente, basta en encontrar el valor de 𝜃 que maximiza 
𝐿′ 𝜃 = 𝑙𝑛 𝑒−𝑛𝜃𝜃σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 = −𝑛𝜃 + ln(𝜃)෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Algunos métodos de estimación puntual
Método de máxima verosimilitud
El espacio muestral dela distribución de 𝑃𝑜𝑖𝑠(𝜃) es (0,∞) y 𝐿′(𝜃) es función 
derivable, entonces para hallar el máximo de la función se debe resolver 
𝜕𝐿´(𝜃)
𝜕𝜃
= 0. 
𝜕𝐿´(𝜃)
𝜕𝜃
= −𝑛 +
1
𝜃
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 = 0
Luego tenemos que 𝜃 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
con σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 ≠ 0 es la solución . Calculando la segunda 
derivada evaluada en la anterior solución se puede garantizar que 𝜃 maximiza la 
función de verosimilitud:
อ
𝜕2𝐿´(𝜃)
𝜕𝜃2
𝜃=
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
= − ቤ
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝜃2
𝜃=
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
= −
𝑛2
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Algunos métodos de estimación puntual
Método de máxima verosimilitud
Retomando el Ejemplo 1: 
• Si denotamos el números de ocupación de UCI que ocurren diariamente en un 
departamento de Colombia por X, entonces,
• 𝑋 ≔ {0,1,2, 3, … }, por consiguiente,
• una distribución apropiada para X puede ser la distribución de 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜃)
• Luego, la estimación de máxima verosimilitud para 𝜃 es el promedio muestral,
𝜃 = ത𝑋 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
=
1 + 3 +⋯+ 6
15
= 3.73
Código en R:
x<- c(1, 1, 3, 3, 4, 7, 5, 5, 5, 3, 2, 1, 1, 9, 6)
mean(x)
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Algunos métodos de estimación puntual
Método de Máxima verosimilitud
Ejemplo 2. Suponga que una fábrica de vidrios, tiene una línea de producción de láminas de vidrio 
templado de grosor de 3 cm. Para controlar la calidad de los vidrios de esta línea, se seleccionan 12 
láminas para inspección, estas 12 láminas midieron (en cm) 3.56, 3.36, 2.99, 2.71, 3.31, 3.68, 2.78, 
2.95, 2.82, 3.45, 3.42, 3.15. Estos datos son, aparentemente, continuos y podemos pensar que ellos 
están distribuidos de forma normal. Por lo tanto, podemos estimar el grosor promedio de las 
láminas de esta línea como ො𝜇𝑀𝑉 = ҧ𝑥 = 3.18 𝑐𝑚 y la varianza estimada en este caso es ො𝜎𝑀𝑉
2 = 𝑠𝑛
2 =
0.097 𝑐𝑚2, de donde ො𝜎𝑀𝑉 = 0.31 𝑐𝑚. 
grosor<- c(3.56, 3.36, 2.99, 2.71, 3.31, 3.68,
2.78, 2.95, 2.82, 3.45, 3.42, 3.15)
n<- length(grosor)
Xbar<- mean(grosor)
s2n<- (n-1)*var(grosor)/n
sn<- sqrt(s2n)
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Algunos métodos de estimación puntual
Método de Máxima verosimilitud
# Ingreso de datos y librerías
library(ggplot2)
library(car)
grosor<- c(3.56, 3.36, 2.99, 2.71, 3.31, 3.68,
2.78, 2.95, 2.82, 3.45, 3.42, 3.15)
# Histograma de los datos
df<- data.frame(grosor)
ggplot(df, aes(x=grosor)) + 
geom_histogram(bins=5, color="white", fill="forestgreen")
# Gráfico Quantil-Quantil
qqPlot(grosor, pch = 16, col = 'forestgreen',
main = "NORMAL Q-Q PLOT", id = F )
# Prueba normalidad: Shapiro-Wilk
shapiro.test(grosor)
Shapiro-Wilk normality test
data: grosor
W = 0.94204, p-value = 0.5249
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Algunos métodos de estimación puntual
Método de Máxima verosimilitud
Ejemplo 3. Retomando el ejemplo 2, donde se disponía una muestra de 12 láminas 
de vidrio templado. Ahora suponga que se selecciona una muestra de 10 láminas de 
la misma línea de producción con grosor 3.56, 3.17, 2.98, 2.95, 3.03, 2.87, 3.58, 
3.73, 2.83 y 3.43. Dado que las dos muestras son productos de una misma línea de 
producción, entonces podemos afirmar que las dos muestras provienen de una 
misma distribución normal 𝑁 𝜇, 𝜎2 . ¿Cómo es posible estimar el grosor promedio 
y la desviación estándar de esta línea de producción?
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Algunos métodos de estimación puntual
Método de Máxima verosimilitud
Resultado 1. Suponga que se tienen dos muestras aleatorias independientes 
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛1 y 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛2 provenientes de 𝑁 𝜇1, 𝜎1
2 y 𝑁 𝜇2, 𝜎2
2 , 
respectivamente. A continuación se presentan dos casos de estimación del 
promedio y la varianza conjunta para las dos muestras aleatorias utilizando el 
método de estimación por máxima verosimilitud.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Algunos métodos de estimación puntual
Método de Máxima verosimilitud
Caso 1. Suponga que se tienen dos muestras aleatorias independientes 
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛1 y 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛2 provenientes de la misma distribución normal
𝑁 𝜇, 𝜎2 , esto es 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇 y 𝜎1
2 = 𝜎2
2 = 𝜎2. Entonces mediante el proceso de 
estimación de máxima verosimilitud para 𝜇 y 𝜎2 se tiene que:
Ƹ𝜇𝑀𝑉 =
σ𝑖=1
𝑛1 𝑋𝑖 +σ𝑗=1
𝑛2 𝑋𝑗
𝑛1 + 𝑛2
,
y
ො𝜎𝑀𝑉
2 =
σ𝑖=1
𝑛1 𝑋𝑖 − Ƹ𝜇𝑀𝑉
2 +σ𝑗=1
𝑛2 𝑋𝑗 − Ƹ𝜇𝑀𝑉
2
𝑛1 + 𝑛2
,
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Algunos métodos de estimación puntual
Método de Máxima verosimilitud
Caso 2. Suponga que se tienen dos muestras aleatorias independientes 
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛1 y 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛2 provenientes de distribuciones normales con la 
misma esperanza, pero varianzas diferentes, esto es 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇 y 𝜎1
2 ≠ 𝜎2
2. 
Supongamos 𝜎1
2 y 𝜎2
2 son conocidas y mediante el proceso de estimación de 
máxima verosimilitud para 𝜇 y 𝜎2 se tiene que:
Ƹ𝜇𝑀𝑉 =
𝑛1 ത𝑋1+𝑛2 ത𝑋2
𝜎1
2
𝜎2
2
𝑛1+𝑛2
𝜎1
2
𝜎2
2
y ො𝜎𝑀𝑉
2 =
σ
𝑖=1
𝑛1 𝑋𝑖− ത𝑋1
2+σ𝑗=1
𝑛2 𝑋𝑗− ത𝑋2
2
𝑛1+𝑛2
=
𝑛1−1 𝑆1
2+ 𝑛2−1 𝑆2
2
𝑛1+𝑛2
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Algunos métodos de estimación puntual
Método de Máxima verosimilitud
Ejemplo 4. Retomando el ejemplo 2, suponga que hay en total, dos líneas de 
producción de láminas de vidrio templado de 3 cm y además por ajuste inapropiado 
de temperatura la línea A tiene una desviación estándar de 0.6 cm, mucho mayor 
que la línea B cuya desviación estándar es 0.3 cm. Si se desea estimar el grosor 
promedio de las láminas de vidrio del grosor nominal de 3 cm, se debe seleccionar 
una muestra de las láminas de la línea A, y una muestra de la línea B. Suponga que 
el grosor de 10 láminas de cada línea corresponde a 3.80, 2.81, 2.98, 2.97, 3.69, 
2.77, 3.08, 2.98, 2.37, 3.00 y 2.87, 3.48, 2.65, 3.38, 2.75, 2.99, 2.81, 2.54, 2.84, 2.79, 
respectivamente. Estime el grosor promedio de las láminas de vidrio y su 
desviación estándar. 
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Algunos métodos de estimación puntual
Otros métodos de estimador de parámetros:
• Método de los momentos
• Métodos de mínimos cuadrados 
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Propiedades de los estimadores puntuales
Error cuadrático medio
Ejemplo 5: Consideremos la siguiente 
situación. Suponga que para estimar un 
parámetro 𝜃, se disponen de tres 
estimadores 𝑇1, 𝑇2 y 𝑇3, suponga además 
que las respectivas estimaciones e 7 
muestras observadas de la población son: 
Muestra T1 T2 T3
1 4.1 5.5 5.1
2 4.3 5.6 5.0
3 5.6 5.4 4.8
4 5.3 5.5 4.9
5 4.5 5.4 5.2
6 4.7 5.6 5.0
7 5.7 5.5 4.9
Promedio 4.88 5.5 4.99
Desviación 0.64 0.08 0.13
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Propiedades de los estimadores puntuales
Error cuadrático medio
Suponga que el valor verdadero de 𝜃 es 5, ¿Cuál estimador es mejor dadas las 
anteriores estimaciones?
• Los valores que toma 𝑇1 en promedio están cerca de 5, pero estos están muy 
alejados entre sí, es decir, tienen una dispersión grande.
• Los valores que toma 𝑇2 están alrededor de 5.5 muy por encima del valor 
verdadero de 𝜃, esta situación se llama sobreestimación.
• Los valores que toma 𝑇3, en primer lugar, están al rededor del 5, además una 
dispersión pequeña. 
Lo anterior indica que en todas las muestras, el valor de 𝑇3 está cercano del valor de 𝜃
y podemos concluir que es el mejor estimador de los tres.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Propiedades de los estimadores puntuales
Error cuadrático medio
La anterior situación nos ilustra que un buen estimador 𝑇 debe tener dos propiedades
1. Los valores que toma 𝑇 en promedio deben ser cercanos al parámetro 𝜃. Teniendo 
en cuenta la esperanza de una variable aleatoria, podemos concluir que 𝑇 debe 
cumplir con 𝐸 𝑇 = 𝜃.
2. La varianza de 𝜃 debe ser pequeña.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Propiedades de los estimadores puntuales
Error cuadrático medio
Sesgo: Dada una muestra aleatoria 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 proveniente de una distribución con 
parámetro desconocido 𝜃, y se T un estimador de 𝜃, se define el sesgo de T como
𝐵𝑇 = 𝐸 𝑇 − 𝜃
Cuando 𝐵𝑇 = 0 o equivalente a 𝐸 𝑇 = 𝜃, se dice que el estimador T es insesgado 
para 𝜃. Cuando𝐵𝑇 > 0 o equivalente a 𝐸 𝑇 > 𝜃, se dice que T sobreestima a 𝜃. 
Análogamente se dice que T subestima a 𝜃 cuando 𝐵𝑇 < 0 o equivalente a 𝐸 𝑇 < 𝜃. 
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Propiedades de los estimadores puntuales
Error cuadrático medio
Ejemplo 6: Calcular el sesgo para cada estadística de la situación presente en el 
ejemplo 5, considere que 𝜃 = 5.
• 𝐵𝑇1 = 𝐸 𝑇1 − 𝜃 = 4.88 − 5 = −0.12
• 𝐵𝑇2 = 𝐸 𝑇2 − 𝜃 = 5.5 − 5 = 0.5
• 𝐵𝑇3 = 𝐸 𝑇3 − 𝜃 = 4.99 − 5 = −0.01
• En conclusión, es más probable que 𝑇3 sea un mejor estimador para 𝜃 = 5. 
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Propiedades de los estimadores puntuales
Error cuadrático medio
ECM: Dada una muestra aleatoria 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 proveniente de una distribución con 
parámetro desconocido 𝜃, y se T un estimador de 𝜃, se define el Error Cuadrático 
Medio (ECM) de T como
𝐸𝐶𝑀𝑇 = 𝑉𝑎𝑟 𝑇 + 𝐵𝑇
2
Entonces, un buen estimador debe tener el error cuadrático medio pequeño, para las 
estimadores insesgados, se requiere que la varianza sea pequeña. 
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Propiedades de los estimadores puntuales
Error cuadrático medio
Ejemplo 6: Calcular el ECM para cada estadística de la situación presente en el 
ejemplo 5, considere que 𝜃 = 5.
• 𝐸𝐶𝑀𝑇1 = 𝑉𝑎𝑟 𝑇1 + 𝐵𝑇1
2 = 0.642 + (−0.12)2= 0.424
• 𝐸𝐶𝑀𝑇2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑇2 + 𝐵𝑇2
2 = 0.082 + (0.5)2= 0.2564
• 𝐸𝐶𝑀𝑇3 = 𝑉𝑎𝑟 𝑇3 + 𝐵𝑇3
2 = 0.132 + (−0.01)2= 0.017
• En conclusión, es más probable que 𝑇3 sea un mejor estimador para 𝜃 = 5. 
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Teorema Central del Límite
Sea 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 una sucesión de variables aleatorias independientes e igualmente 
distribuidas (i.i.d) con media 𝜇 y varianza finita y positiva 𝜎2. Sea 𝑋 = σ𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖, 
entonces la variable aleatoria 
𝑍𝑛 =
𝑋 − 𝑛𝜇
𝜎 𝑛
=
𝑛 ത𝑋 − 𝜇
𝜎
=
ത𝑋 − 𝜇
𝜎/ 𝑛
está, aproximadamente distribuida normal con media 0 y varianza 1 
Nota: El Teorema Central del Límite puede ser aplicado a la mayoría de las 
distribuciones clásicas como, por ejemplo: distribución binomial, distribución 
Poisson, binomial negativa, gamma, Weibull, etc. pues ellas satisfacen las hipótesis 
del teorema. Sin embargo, no puede ser aplicado a la distribución Cauchy pues ella 
no satisface las condiciones dadas en éste.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Teorema Central del Límite
Ejemplo: Ejemplo: Un elevador de carga grande puede transportar un máximo de 
5000 kg. Supóngase que una carga, que contiene 45 cajas, se debe transportar 
mediante el elevador. La experiencia ha demostrado que el peso 𝑋, de una caja de 
este tipo de carga, se ajusta a una distribución de probabilidad con una media de 
𝜇 = 100 kg y una desviación estándar de 𝜎 = 27.5 kg. Calcular la probabilidad 
de que las 45 cajas se puedan transportar simultáneamente en el elevador.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Teorema Central del Límite
Si denotamos el peso de cada caja por 𝑋𝑖 y se sabe que 𝑋𝑖~𝑁(𝜇 = 100, 𝜎 = 27.5), 𝑖 =
1,2, … , 𝑛. Sea 𝑋 = σ𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖 el peso total de las cajas, entonces, se desea encontrar 
𝑃 𝑋 ≤ 5000 . Por TCL tenemos que: 
𝑃 𝑋 ≤ 5000 = 𝑃
𝑋 − 𝑛𝜇
𝜎 𝑛
≤
5000 − 45(100)
27.5 45
= 𝑃 𝑍𝑛 ≤ 2.71
= 0.9966
Código en R:
X<- 5000
n<- 45
mu<- 100
sig<- 27.5
Zn<- (X-n*mu)/(sig*sqrt(n))
pnorm(Zn)
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Teorema Central del Límite
Ejemplo: Muchos insumos de producción, como el mineral de hierro, el carbón y el 
azúcar sin refinar, se muestrean, para determinar su calidad, por un método que 
implica la toma periódica de muchas pequeñas muestras cuando el material se mueve 
sobre una banda transportadora. Posteriormente las muestras pequeñas se juntan y 
mezclan para formar una muestra compuesta. Sea 𝑌𝑖 el volumen de la 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎
muestra pequeña de un lote particular y supóngase que 𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛 es una muestra 
aleatoria, en donde cada 𝑌𝑖 tiene media 𝜇 (en pulgadas cúbicas) y varianza 𝜎
2. El 
volumen promedio de las muestras, 𝜇, se puede regular ajustando el tamaño del equipo 
que se utiliza para el muestreo. Supóngase que la varianza de los volúmenes de las 
muestras, 𝜎2, es, aproximadamente, 4 para una situación particular. Se requiere que el 
volumen total de la muestra exceda las 200 pulgadas cúbicas con una probabilidad de 
0.95 cuando se seleccionan 𝑛 = 50 muestras pequeñas. Determinar el ajuste de 𝜇 que 
permitirá satisfacer los requerimientos del muestreo.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Teorema Central del Límite
Si denotamos la medida en pulgadas cúbicas de cada muestra por 𝑋𝑖 y se sabe que 𝑋𝑖~𝑁(𝜇, 𝜎 = 2), 
𝑖 = 1,2, … , 𝑛 = 50. Sea 𝑋 = σ𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖 medidad total de las muestras, entonces, se desea encontrar 𝜇, 
tal que 𝑃 𝑋 > 200 = 0.95. Por TCL tenemos que: 
𝑃 𝑋 > 200 = 0.95 ⟹ 1 − 𝑃
𝑋 − 𝑛𝜇
𝜎 𝑛
≤
200 − 50𝜇
2 50
= 0.95
⟹ 𝑃 𝑍𝑛 ≤
200 − 50𝜇
2 50
= 0.05
⟹ 𝑍𝑛 =
200 − 50𝜇
2 50
𝑦 𝑍𝑛 = −1.65
Igualando y despejando 𝜇 de la última ecuación obtenida, tenemos
−1.65 =
200 − 50𝜇
2 50
⟹ 𝜇 =
200 + 2 1.65 50
50
= 4.47
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Estimación de parámetros por intervalos de confianza
Dada 𝑋 una variable aleatoria de una población con fdp o fmp 𝑓(𝑥, 𝜃), caracterizada por 
el parámetro desconocido 𝜃. Sea también 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 una muestra aleatoria de 
tamaño 𝑛. Los estimadores de intervalo 𝐿 = 𝑙 (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) (iniciales en ingles de 
lower) y 𝑈 = 𝑢 (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) (iniciales en ingles de upper), 𝐿 < 𝑈 basados en la 
muestra aleatoria, contiene al parámetro desconocido 𝜃 con una probabilidad de 1 − 𝛼, 
esto es,
𝑃 𝐿 ≤ 𝜃 ≤ 𝑈 = 1 − 𝛼,
donde:
• 1 − 𝛼 es llamada probabilidad nivel de confianza,
• 𝛼 es llama probabilidad o nivel de significancia y
• 𝐿, 𝑈 es llamado rango o intervalo de confianza para el parámetro desconocido 𝜃.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Estimación de parámetros por intervalos de confianza
Seleccionada la muestra 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 de tamaño 𝑛 se pueden determinar los siguientes 
intervalos: 
• Intervalo de confianza para 𝜇 cuando 𝜎 es conocida:
ത𝑋 − 𝑍
1−
𝛼
2
𝜎
𝑛
≤ 𝜇 ≤ ത𝑋 + 𝑍
1−
𝛼
2
𝜎
𝑛
• Intervalo de confianza para 𝜇 cuando 𝜎 es desconocida:
ത𝑋 − 𝑡𝑛−1,𝛼/2
𝑆𝑥
𝑛
≤ 𝜇 ≤ ത𝑋 + 𝑡𝑛−1,𝛼/2
𝑆𝑥
𝑛
donde 𝑆𝑥 es la desviación estándar muestral, dada por:
𝑆𝑥 = 𝑆𝑥
2 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖 − ത𝑋
2
𝑛 − 1
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Estimación de parámetros por intervalos de confianza
Sea 𝑆2 la varianza muestral de una muestra aleatoria de 𝑛 observaciones de una 
distribución normal con varianza 𝜎2 desconocida.
• Intervalo de confianza para 𝜎2:
(𝑛 − 1)𝑆2
𝜒𝛼
2,𝑛−1
2 ≤ 𝜎
2 ≤
(𝑛 − 1)𝑆2
𝜒
1−
𝛼
2,𝑛−1
2
donde 𝜒𝛼
2
,𝑛−1
2 y 𝜒
1−
𝛼
2
,𝑛−1
2 son los puntos porcentuales 100𝛼/2 superior e inferior de la 
distribución ji-cuadrada con 𝑛 − 1 grados de libertad, respectivamente. 
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Estimación de parámetros por intervalos de confianza
Sea 𝑋 una v.a. con distribución Binomial de parámetro desconocido 𝜋 y sea 
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 una muestra aleatoria de tamaño 𝑛.
• Intervalo de confianza para 𝜋 (proporción):
𝑝 − 𝑍
1−
𝛼
2
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
≤ 𝜋 ≤ ത𝑋 + 𝑍
1−
𝛼
2
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
donde p es la proporción muestral, dada por: 
𝑝 =
𝑥
𝑛