Taller Minimización

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Programación Lineal 
 
 
Trabajo de Minimización 
 
 
 
 
 
Presentado por: 
Sebastián Ricardo Cárdenas 
 
 
 
 
 
Presentado a: 
Richard Javier Gómez Rosso 
 
 
 
 
 
Universidad de Córdoba 
Facultad de ingeniería 
 
 
 
 
Montería - 2022 
 
1. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 
toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada 
una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 
160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación 
es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea 
mínimo? 
A. Se plantea el problema 
𝐹. 𝑂: 𝑍𝑚𝑖𝑛 = 2000𝑥1 + 2000𝑥2 
{
𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 80
3𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 160
5𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 200
 
Con 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
B. Ahora elaboramos la tabla simplex 
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑠3 + 𝐴4 = 80 
3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑠5 + 𝐴6 = 160 
5𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑠7 + 𝐴8 = 200 
𝑍 = 2000𝑥1 + 2000𝑥2 + 0𝑠3 + 𝑀𝐴4 + 0𝑠5 + 𝑀𝐴6 + 0𝑠7 + 𝑀𝐴8 
 2000 2000 0 𝑀 0 𝑀 0 𝑀 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝐴6 𝑆7 𝐴8 𝑉𝑎𝑟. 𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴4 1 2 -1 1 0 0 0 0 80 
𝑀𝐴6 3 2 0 0 -1 1 0 0 160 
𝑀𝐴7 5 2 0 0 0 0 -1 1 200 
𝑍𝑗 9𝑀 6𝑀 −𝑀 𝑀 −𝑀 𝑀 −𝑀 𝑀 440𝑀 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 2000 − 9𝑀 2000 − 6𝑀 𝑀 0 𝑀 0 𝑀 0 
 
C. Establecemos los pivotes (Columna, fila y elemento) 
 
 2000 2000 0 𝑀 0 𝑀 0 𝑀 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝐴6 𝑆7 𝐴8 𝑉𝑎𝑟. 𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴4 1 2 -1 1 0 0 0 0 80/1 = 80 
𝑀𝐴6 3 2 0 0 -1 1 0 0 160/3 = 53.3 
𝑀𝐴7 5 2 0 0 0 0 -1 1 200/5 = 40 
𝑍𝑗 9𝑀 6𝑀 −𝑀 𝑀 −𝑀 𝑀 −𝑀 𝑀 440𝑀 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 2000 − 9𝑀 2000 − 6𝑀 𝑀 0 𝑀 0 𝑀 0 
 
D. Convertimos al pivote en 1 
 2000 2000 0 𝑀 0 𝑀 0 𝑀 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝐴6 𝑆7 𝐴8 𝑉𝑎𝑟. 𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴4 1 2 -1 1 0 0 0 0 80 
𝑀𝐴6 3 2 0 0 -1 1 0 0 160 
𝑀𝐴7 1 
2
5
 0 0 0 0 −
1
5
 
1
5
 40 
𝑍𝑗 9𝑀 6𝑀 −𝑀 𝑀 −𝑀 𝑀 −𝑀 𝑀 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 
 
E. Ahora convertimos los elementos de arriba y debajo del pivote en 0 
𝑅3 − 𝑅1 𝑦 3𝑅3 − 𝑅2 
 2000 2000 0 𝑀 0 𝑀 0 𝑀 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝐴6 𝑆7 𝐴8 𝑉𝑎𝑟. 𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴4 0 −
8
5
 1 -1 0 0 −
1
5
 
1
5
 -40 
𝑀𝐴6 0 −
4
5
 0 0 1 -1 −
3
5
 
3
5
 -40 
2000𝑥1 1 
2
5
 0 0 0 0 −
1
5
 
1
5
 40 
𝑍𝑗 2000 800 −
12𝑀
5
 M -M M -M −400 −
4𝑀
5
 400 +
4𝑀
5
 
80000
− 80𝑀 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 0 1200 −
12𝑀
5
 -M M -M M 400 +
4𝑀
5
 
𝑀
5
− 400 
 
Como no se cumple la condición de que 𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 ≥ 0 
D. Seguimos iterando y buscamos otros pivotes 
 
 
 
 
 
 2000 2000 0 𝑀 0 𝑀 0 𝑀 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝐴6 𝑆7 𝐴8 𝑉𝑎𝑟. 𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴4 0 −
8
5
 1 -1 0 0 −
1
5
 
1
5
 
-40 -> 
25 
𝑀𝐴6 0 −
4
5
 0 0 1 -1 −
3
5
 
3
5
 
-40 -> 
50 
2000𝑥1 1 
2
5
 0 0 0 0 −
1
5
 
1
5
 
40 -> 
100 
𝑍𝑗 2000 800 −
12𝑀
5
 M -M M -M −400 −
4𝑀
5
 400 +
4𝑀
5
 
80000
− 80𝑀 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 0 1200 −
12𝑀
5
 -M M -M M 400 +
4𝑀
5
 
𝑀
5
− 400 
 
E. Hacemos el pivote en un 1 (multiplicamos por −
5
8
) 
 2000 2000 0 𝑀 0 𝑀 0 𝑀 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝐴6 𝑆7 𝐴8 𝑉𝑎𝑟. 𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴4 0 1 −
5
8
 
5
8
 0 0 
1
8
 −
1
8
 25 
𝑀𝐴6 0 −
4
5
 0 0 1 -1 −
3
5
 
3
5
 -40 
2000𝑥1 1 
2
5
 0 0 0 0 −
1
5
 
1
5
 40 
𝑍𝑗 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 
 
F. Ahora convertimos los números arriba y debajo del pivote en 0 (cero) 
Hacemos las siguientes operaciones: 
−𝑅2 −
4
5
𝑅1 𝑦 𝑅3 −
2
5
𝑅1 
 
 
 2000 2000 0 𝑀 0 𝑀 0 𝑀 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝐴6 𝑆7 𝐴8 𝑉𝑎𝑟. 𝑆𝑜𝑙𝑢 
2000𝑥2 0 1 −
5
8
 
5
8
 0 0 
1
8
 −
1
8
 25 -> -40 
𝑀𝐴6 0 0 
1
2
 −
1
2
 -1 1 
1
2
 −
1
2
 20 -> 40 
2000𝑥1 1 0 
1
4
 −
1
4
 0 0 −
1
4
 
1
4
 30 -> 120 
𝑍𝑗 2000 2000 
𝑀
2
− 750 −
𝑀
2
+ 750 -M M 
𝑀
2
− 250 −
𝑀
2
+ 250 20M+110000 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 0 0 −
𝑀
2
+ 750 
𝑀
2
+ 750 M 0 −
𝑀
2
+ 250 
𝑀
2
+ 250 
 
G. Seguimos iterando y buscando otros pivotes 
 2000 2000 0 𝑀 0 𝑀 0 𝑀 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝐴6 𝑆7 𝐴8 𝑉𝑎𝑟. 𝑆𝑜𝑙𝑢 
2000𝑥2 0 1 −
5
8
 
5
8
 0 0 
1
8
 −
1
8
 25 -> -40 
𝑀𝐴6 0 0 
1
2
 −
1
2
 -1 1 
1
2
 −
1
2
 20 -> 40 
2000𝑥1 1 0 
1
4
 −
1
4
 0 0 −
1
4
 
1
4
 30 -> 120 
𝑍𝑗 2000 2000 
𝑀
2
− 750 −
𝑀
2
+ 750 -M M 
𝑀
2
− 250 −
𝑀
2
+ 250 20M+110000 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 0 0 −
𝑀
2
+ 750 
𝑀
2
+ 750 M 0 −
𝑀
2
+ 250 
𝑀
2
+ 250 
 
 
H. Ahora convertimos el pivote en 1 
 2000 2000 0 𝑀 0 𝑀 0 𝑀 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝐴6 𝑆7 𝐴8 𝑉𝑎𝑟. 𝑆𝑜𝑙𝑢 
2000𝑥2 0 1 −
5
8
 
5
8
 0 0 
1
8
 −
1
8
 25 
𝑀𝐴6 0 0 1 −1 -2 2 1 −2 20 
2000𝑥1 1 0 
1
4
 −
1
4
 0 0 −
1
4
 
1
4
 30 
𝑍𝑗 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 
 
I. Convertimos los números de arriba y debajo del pivote en 0 
Haciendo las siguientes operaciones 
𝑅1 +
5
8
𝑅2 𝑦 𝑅3 −
1
4
𝑅2 
 
 2000 2000 0 𝑀 0 𝑀 0 𝑀 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝐴6 𝑆7 𝐴8 𝑉𝑎𝑟. 𝑆𝑜𝑙𝑢 
2000𝑥2 0 1 0 0 −
5
4
 
5
4
 
3
4
 −
3
4
 50 
0𝑆3 0 0 1 −1 −2 2 1 −1 40 
2000𝑥1 1 0 0 0 
1
2
 −
1
2
 −
1
2
 
1
2
 20 
𝑍𝑗 2000 2000 0 0 -1500 1500 500 -500 14000 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 0 0 0 M 1500 M-1500 -500 M+500 
 
Como no se ha cumplido la condición de 𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 ≥ 0 
 
J. Buscamos otro pivote 
 2000 2000 0 𝑀 0 𝑀 0 𝑀 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝐴6 𝑆7 𝐴8 𝑉𝑎𝑟. 𝑆𝑜𝑙𝑢 
2000𝑥2 0 1 0 0 −
5
4
 
5
4
 
3
4
 −
3
4
 50 -> 200/3 
0𝑆3 0 0 1 −1 −2 2 1 −1 40 -> 40 
2000𝑥1 1 0 0 0 
1
2
 −
1
2
 −
1
2
 
1
2
 20 -> -40 
𝑍𝑗 2000 2000 0 0 -1500 1500 500 -500 140000 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 0 0 0 M 1500 M-1500 -500 M+500 
 
Como el pivote ya es 1, omitimos el paso de convertirlo en 1 
K. Convertimos los números arriba y debajo del pivote en 0 haciendo las siguientes 
operaciones: 
𝑅1 −
3
4
𝑅2 𝑦 𝑅3 +
1
2
𝑅2 
 2000 2000 0 𝑀 0 𝑀 0 𝑀 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝐴6 𝑆7 𝐴8 𝑉𝑎𝑟. 𝑆𝑜𝑙𝑢 
2000𝑥2 0 1 −
3
4
 
3
4
 
1
4
 
3
4
 0 0 20 
0𝑆3 0 0 1 −1 −2 2 1 −1 40 
2000𝑥1 1 0 
1
2
 −
1
2
 −
1
2
 
1
2
 0 0 40 
𝑍𝑗 2000 2000 -500 500 -500 2500 0 0 120000 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 0 0 500 M-500 500 M-2500 0 M 
 
Ya se cumple que 𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 ≥ 0 
 
L. Concluimos 
𝑥1 = 40, 𝑥2 = 20 𝑦 𝑍𝑚𝑖𝑛 = 120000 
R// En la mina A se deben trabajar 40 días y en la mina B se deben trabajar 20 para que el 
coste sea de 120000 como mínimo coste 
 
2. 500 alumnos de un colegio van a ir de excursión. La empresa que realiza el viaje dispone 
de 10 autobuses de 40 pasajeros y 8 de 30 pasajeros, pero solo de 15 conductores ese día. 
El alquiler de los autobuses pequeños es de $ 500000 y de los buses grandes es de $ 
600000. ¿Cuántos autobuses de cada uno le convendrá alquilar para que el viaje resulte lo 
más económico posible? 
 
A. Planteamos el modelo 
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 600000𝑥1 + 500000𝑥2 
 
{
40𝑥1 + 30𝑥2 = 500
𝑥1 ≤ 10
𝑥2 ≤ 8
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 15
 
Con 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
B. Ahora elaboramos la tabla simplex 
40𝑥1 + 30𝑥2 − 𝑆3 + 𝐴4 = 500 
𝑥1 + 0𝑥2 + 𝑆5 ≤ 10 
𝑥2 + 𝑆7 ≤ 8 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆9 ≤ 15 
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 600000𝑥1 + 500000𝑥2 + 0𝑆3 + 𝑀𝐴4 + 0𝑆5 + 0𝑆6 + 0𝑆7 
 600000 500000 0 M 0 0 0 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝑆6 𝑆7 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴4 40 30 -1 1 0 0 0 500 
0𝑆5 1 0 0 0 1 0 0 10 
0𝑆6 0 1 0 0 0 1 0 8 
0𝑆7 1 1 0 0 0 0 1 15 
𝑍𝑗 40M 30M -M M 0 0 0 500M 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 600k – 40M 500k – 30M M 0 0 0 0 
 
 
C. Hallamos el pivote y lo hacemos 1 
 600000 500000 0 M 0 0 0 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝑆6 𝑆7 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴4 40 30 -1 1 0 0 0 500 
0𝑆5 1 0 0 0 1 0 0 10 
0𝑆6 0 1 0 0 0 1 0 8 
0𝑆7 1 1 0 0 0 0 1 15 
𝑍𝑗 40M 30M -M M 0 0 0 500M 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 600k – 40M 500k – 30M M 0 0 0 0 
 
D. Convertimos en 0 los elementos de la columna del pivote 
Hacemos los siguiente: 𝑅4 − 𝑅2 𝑦 𝑅1 − 40𝑅2 
 600000 500000 0 M 0 0 0 
𝑉𝑎𝑟.𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝑆6 𝑆7 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴4 0 30 -1 1 -40 0 0 100 
600𝑘𝑥1 1 0 0 0 1 0 0 10 
0𝑆6 0 1 0 0 0 1 0 8 
0𝑆7 0 1 0 0 -1 0 1 5 
𝑍𝑗 600k 30M -M M 600k-40M 0 0 
6 ∗ 106
+ 100𝑀 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 0 500k-30M M 0 
40M-
600K 
0 0 
 
E. Seguimos iterando porque no se cumple que 𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 ≥ 0, hallamos el pivote 
 
 600000 500000 0 M 0 0 0 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝑆6 𝑆7 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴4 0 30 -1 1 -40 0 0 100 
600𝑘𝑥1 1 0 0 0 1 0 0 10 
0𝑆6 0 1 0 0 0 1 0 8 
0𝑆7 0 1 0 0 -1 0 1 5 
𝑍𝑗 600k 30M -M M 600k-40M 0 0 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 0 500k-30M M 0 
40M-
600K 
0 0 
 
F. Convertimos en 1 al pivote 
 600000 500000 0 M 0 0 0 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝑆6 𝑆7 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴4 0 1 −
1
30
 
1
30
 −
4
30
 0 0 
10
3
 
600𝑘𝑥1 1 0 0 0 1 0 0 10 
0𝑆6 0 1 0 0 0 1 0 8 
0𝑆7 0 1 0 0 -1 0 1 5 
𝑍𝑗 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 
 
 
G. Convertimos en 0 los elementos de la columna del pivote 
Hacemos los siguiente: 𝑅3 − 𝑅1 𝑦 𝑅4 − 𝑅1 
 
 600000 500000 0 M 0 0 0 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑆3 𝐴4 𝑆5 𝑆6 𝑆7 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
500𝑘𝑥2 0 1 −
1
30
 
1
30
 −
4
3
 0 0 
10
3
 
600𝑘𝑥1 1 0 0 0 1 0 0 10 
0𝑆6 0 0 
1
30
 −
1
30
 
4
3
 1 0 
14
3
 
0𝑆7 0 0 
1
30
 −
1
30
 
1
3
 0 1 
5
3
 
𝑍𝑗 600k 500k −
500𝑘
30
 
500𝑘
30
 −
200𝑘
3
 0 0 
23000000
3
 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 0 0 
500𝑘
30
 𝑀 −
500𝑘
30
 
200𝑘
3
 0 0 
 
H. Como ya se cumple que 𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 ≥ 0, dejamos de iterar 
𝑥1 = 10, 𝑥2 =
10
3
 𝑦 𝑍 =
23000000
3
= 7666666.6 
Se deben llevar 10 buses de 40 pasajeros y 3.33 ≅ 3 buses de 30 pasajeros para que haya un coste 
mínimo de $7666666.6 
 
3. Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los distintos 
tipos de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir ciertos requisitos nutricionales a un 
costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada ingrediente nutritivo 
básico contenido en un Kg. de cada tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales 
diarios y coste de los alimentos: 
 
 
 
 
A. Se plantea el Modelo 
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 40𝑥1 + 36𝑥2 + 30𝑥3 
{
9𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 ≥ 20
3𝑥1 + 8𝑥2 + 6𝑥3 ≥ 18
𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 ≥ 15
 
 
B. Ahora elaboramos la tabla simplex 
9𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 − 𝑆4 + 𝐴5 ≥ 20 
3𝑥1 + 8𝑥2 + 6𝑥3 − 𝑆6 + 𝐴7 ≥ 18 
𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 − 𝑆8 + 𝐴9 ≥ 15 
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 40𝑥1 + 36𝑥2 + 30𝑥3 + 0𝑆4 + 𝑀𝐴5 + 0𝑆6 + 𝑀𝐴7 + 0𝑆8 + 𝑀𝐴9 
 40 36 30 0 M 0 M 0 M 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑆4 𝐴5 𝑆6 𝐴7 𝑆8 𝐴9 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴5 9 2 4 -1 1 0 0 0 0 20 
𝑀𝐴7 3 8 6 0 0 -1 1 0 0 18 
𝑀𝐴9 1 2 6 0 0 0 0 -1 1 15 
𝑍𝑗 13M 12M 16M -M M -M M -M M 53M 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 40-13M 
36-
12M 
30-16M M 0 M 0 M 0 
 
 
C. Hallamos el pivote 
 40 36 30 0 M 0 M 0 M 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑆4 𝐴5 𝑆6 𝐴7 𝑆8 𝐴9 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴5 9 2 4 -1 1 0 0 0 0 20 -> 5 
𝑀𝐴7 3 8 6 0 0 -1 1 0 0 18 -> 3 
𝑀𝐴9 1 2 6 0 0 0 0 -1 1 15 -> 2.5 
𝑍𝑗 13M 12M 16M -M M -M M -M M 53M 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 40-13M 
36-
12M 
30-16M M 0 M 0 M 0 
 
D. Convertimos al pivote en 1 
 40 36 30 0 M 0 M 0 M 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑆4 𝐴5 𝑆6 𝐴7 𝑆8 𝐴9 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴5 9 2 4 -1 1 0 0 0 0 20 
𝑀𝐴7 3 8 6 0 0 -1 1 0 0 18 
𝑀𝐴9 
1
6
 
1
3
 1 0 0 0 0 −
1
6
 
1
6
 2.5 
𝑍𝑗 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 
 
E. Ahora convertimos los elementos arriba y debajo del pivote en 0 haciendo las siguientes 
operaciones 
𝑅2 − 6𝑅3 𝑦 𝑅1 − 4𝑅3 
 
 
 40 36 30 0 M 0 M 0 M 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑆4 𝐴5 𝑆6 𝐴7 𝑆8 𝐴9 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴5 
25
3
 
2
3
 0 -1 1 0 0 
2
3
 −
2
3
 10 
𝑀𝐴7 2 6 0 0 0 -1 1 1 -1 3 
30𝑥3 
1
6
 
1
3
 1 0 0 0 0 −
1
6
 
1
6
 2.5 
𝑍𝑗 
31𝑀
3
+
1
2
 
15𝑀
2
+ 10 30 -M M -M M 
5𝑀
3
− 5 
−
5𝑀
3
+ 5 
13𝑀
+ 75 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 
−
31𝑀
3
+
81
2
 
−
15𝑀
2
+ 46 
0 M 0 M 0 −
5𝑀
3
+ 5 
8𝑀
3
− 75 
 
F. Seguimos iterando y hallamos otro pivote 
 40 36 30 0 M 0 M 0 M 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑆4 𝐴5 𝑆6 𝐴7 𝑆8 𝐴9 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴5 
25
3
 
2
3
 0 -1 1 0 0 
2
3
 −
2
3
 10 
𝑀𝐴7 2 6 0 0 0 -1 1 1 -1 3 
30𝑥3 
1
6
 
1
3
 1 0 0 0 0 −
1
6
 
1
6
 2.5 
𝑍𝑗 
31𝑀
3
+
1
2
 
15𝑀
2
+ 10 30 -M M -M M 
5𝑀
3
− 5 
−
5𝑀
3
+ 5 
13𝑀
+ 75 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 
−
31𝑀
3
+
81
2
 
−
15𝑀
2
+ 46 
0 M 0 M 0 −
5𝑀
3
+ 5 
8𝑀
3
− 75 
 
G. Convertimos el pivote en 1 
 
 
 40 36 30 0 M 0 M 0 M 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑆4 𝐴5 𝑆6 𝐴7 𝑆8 𝐴9 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
𝑀𝐴5 1 
2
25
 0 −
3
25
 
3
25
 0 0 
2
25
 −
2
25
 
6
5
 
𝑀𝐴7 2 6 0 0 0 -1 1 1 -1 3 
30𝑥3 
1
6
 
1
3
 1 0 0 0 0 −
1
6
 
1
6
 2.5 
𝑍𝑗 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 
 
H. Ahora convertimos los elementos arriba y debajo del pivote en 0 haciendo las siguientes 
operaciones 
𝑅2 − 2𝑅1 𝑦 𝑅3 −
1
6
𝑅3 
 40 36 30 0 M 0 M 0 M 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑆4 𝐴5 𝑆6 𝐴7 𝑆8 𝐴9 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
40𝑥1 1 
2
25
 0 −
3
25
 
3
25
 0 0 
2
25
 −
2
25
 
6
5
 
𝑀𝐴7 0 
146
25
 0 
6
25
 −
6
25
 -1 1 
21
25
 
21
25
 
3
5
 
30𝑥3 0 
8
25
 1 
1
50
 −
1
50
 0 0 −
9
50
 
9
50
 
23
10
 
𝑍𝑗 40 
64
5
+
146𝑀
25
 30 −
21
5
+
6𝑀
25
 
21
5
−
6𝑀
25
 -M M −
11
5
+
21𝑀
25
 
11
5
+
21𝑀
25
 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 40 
116
5
−
146𝑀
25
 
 
0 
21
5
−
6𝑀
25
 
31𝑀
25
−
21
5
 M 0 
11
5
−
21𝑀
25
 
4𝑀
25
−
11
5
 
 
I. Seguimos iterando, encontraremos otro pivote 
 
 40 36 30 0 M 0 M 0 M 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑆4 𝐴5 𝑆6 𝐴7 𝑆8 𝐴9 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
40𝑥1 1 
2
25
 0 −
3
25
 
3
25
 0 0 
2
25
 −
2
25
 
6
5
 
𝑀𝐴7 0 
146
25
 0 
6
25
 −
6
25
 -1 1 
21
25
 
21
25
 
3
5
 
30𝑥3 0 
8
25
 1 
1
50
 −
1
50
 0 0 −
9
50
 
9
50
 
23
10
 
𝑍𝑗 40 
64
5
+
146𝑀
25
 30 −
21
5
+
6𝑀
25
 
21
5
−
6𝑀
25
 -M M −
11
5
+
21𝑀
25
 
11
5
+
21𝑀
25
 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 40 
116
5
−
146𝑀
25
 
 
0 
21
5
−
6𝑀
25
 
31𝑀
25
−
21
5
 M 0 
11
5
−
21𝑀
25
 
4𝑀
25
−
11
5
 
 
 
J. Hacemos 1 al pivote 
 40 36 30 0 M 0 M 0 M 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑆4 𝐴5 𝑆6 𝐴7 𝑆8 𝐴9 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
40𝑥1 1 
2
25
 0 −
3
25
 
3
25
 0 0 
2
25
 −
2
25
 
6
5
 
𝑀𝐴7 0 1 0 
3
73
 −
3
73
 −
25
146
 
25
146
 
21
146
 −
21
146
 
15
146
 
30𝑥3 0 
8
25
 1 
1
50
 −
1
50
 0 0 −
9
50
 
9
50
 
23
10
 
𝑍𝑗 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 
 
K. Ahora convertimos los elementos arriba y debajo del pivote en 0 haciendo las siguientes 
operaciones 
𝑅1 −
2
25
𝑅2 𝑦 𝑅3 −
8
25
𝑅2 
 
 40 36 30 0 M 0 M 0 M 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑆4 𝐴5 𝑆6 𝐴7 𝑆8 𝐴9 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
40𝑥1 1 0 0 −
9
73
 
9
73
 
1
73
 −
1
73
 
5
73
 −
5
73
 
87
73
 
36𝑥2 0 1 0 
3
73
 −
3
73
 −
25
146
 
25
146
 
21
146
 −
21
146
 
15
146
 
30𝑥3 0 0 1 
1
146
 −
1
146
 
4
73
 
−4
73
 −
33
146
 
33
146
 
331
146
 
𝑍𝑗 40 36 30 −
237
73
 
237
73
 −
530
73
 
290
73
 
83
73
 −
83
73
 16.64 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 0 0 0 
237
73
 𝑀 −
237
73
 
530
73
 𝑀 −
290
73
 −
83
73
 𝑀 +
83
73
 
 
L. Seguimos iterando, hallamos otro pivote 
 
 40 36 30 0 M 0 M 0 M 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑆4 𝐴5 𝑆6 𝐴7 𝑆8 𝐴9 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
40𝑥1 1 0 0 −
9
73
 
9
73
 
1
73
 −
1
73
 
5
73
 −
5
73
 
87
73
 
36𝑥2 0 1 0 
3
73
 −
3
73
 −
25
146
 
25
146
 
21
146
 −
21
146
 
15
146
 
30𝑥3 0 0 1 
1
146
 −
1
146
 
4
73
 
−4
73
 −
33
146
 
33
146
 
331
146
 
𝑍𝑗 40 36 30 −
237
73
 
237
73
 −
530
73
 
290
73
 
83
73
 −
83
73
 16.64 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 0 0 0 
237
73
 𝑀 −
237
73
 
530
73
 𝑀 −
290
73
 −
83
73
 𝑀 +
83
73
 
 
M. Convertimos en 1 al pivote 
 
 40 36 30 0 M 0 M 0 M 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑆4 𝐴5 𝑆6 𝐴7 𝑆8 𝐴9 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
40𝑥1 1 0 0 −
9
73
 
9
73
 
1
73
 −
1
73
 
5
73
 −
5
73
 
87
73
 
0𝑆8 0 
146
21
 02
7
 −
2
7
 −
25
21
 
25
21
 1 −1 
5
7
 
30𝑥3 0 0 1 
1
146
 −
1
146
 
4
73
 
−4
73
 −
33
146
 
33
146
 
331
146
 
𝑍𝑗 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 
 
N. Ahora convertimos los elementos arriba y debajo del pivote en 0 haciendo las siguientes 
operaciones 
𝑅1 −
5
73
𝑅2 𝑦 𝑅3 +
33
146
𝑅2 
 40 36 30 0 M 0 M 0 M 
𝑉𝑎𝑟. 𝐵𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑆4 𝐴5 𝑆6 𝐴7 𝑆8 𝐴9 
𝑉𝑎𝑟 
𝑆𝑜𝑙𝑢 
40𝑥1 1 −
10
21
 0 −
1
7
 
9
73
 
2
21
 −
1
73
 0 0 
8
7
 
0𝑆8 0 
146
21
 0 
2
7
 −
2
7
 −
25
21
 
25
21
 1 −1 
5
7
 
30𝑥3 0 
11
7
 1 
1
14
 −
1
14
 
−3
14
 
3
14
 0 0 
17
7
 
𝑍𝑗 40 
590
21
 30 
−
25
7
 
 
−
3615
511
 −
215
21
 
3005
511
 0 0 
830
7
 
𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 0 
166
21
 0 
25
7
 
 
𝑀 −
3615
511
 
215
21
 𝑀 − 
3005
511
 0 M 
 
O. Paramos porque se cumple ya la condición de 𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 ≥ 0, concluimos 
𝑥1 =
8
7
, 𝑥2 = 0, 𝑥3 =
17
7
, 𝑍𝑚𝑖𝑛 =
830
7
 
R// Se deben dar 
8
7
 de maíz, 0 de grasas, 
17
7
 de alfalfa para tener un costo mínimo de 
830
7