Respuestas - PRIMER PARCIAL MATEMATICA 51 TERCER TURNO TEMA 12 05-05-2023

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MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM 
1° PARCIAL 
 
 
 
05/05/2023 TEMA 12 
 Hoja 1 de 4 
 
 
 
Tabla de uso exclusivo para el docente 
 1 2 3 4 
 
Puntaje de cada 
ejercicio 2,50 2,50 2,50 2,50 
Duración del examen: 1h 40’. Completar los datos personales con letra clara, mayúscula e imprenta. 
No se aceptarán respuestas en lápiz. 
 
1. Dado el punto 𝑸 = (𝟑; 𝟏), hallar todos los puntos 𝑷 = (𝒃; 𝒃 + 𝟖) tales que la distancia entre los puntos 
sea igual a √𝟐. 
 
 
Empleamos la fórmula de distancia entre dos puntos: 
 
𝑑 𝑄𝑃 = √(𝑏 + 8 − 1)2 + (𝑏 − 3)2 
√2 = √(𝑏 + 8 − 1)2 + (𝑏 − 3)2 
2 = (𝑏 + 7)2 + (𝑏 − 3)2 
2 = 𝑏2 + 14𝑏 + 49 + 𝑏2 − 6𝑏 + 9 
2 = 2𝑏2 + 8𝑏 + 58 
0 = 2𝑏2 + 8𝑏 + 56 
 
Utilizando la fórmula resolvente de la cuadrática podemos deducir que para ningún valor real de 𝑏 se verifica 
esta igualdad. En consecuencia, no existe ningún punto que verifique las condiciones dadas. 
 
 
Para resolver este ejercicio resignificamos el concepto de distancia entre dos puntos. Este concepto se 
encuentran en el apunte teórico “Distancia entre puntos” correspondiente a la unidad Números reales y plano 
cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
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Hoja 2 de 4 
 
2. Hallar los valores de 𝒄 ∈ ℝ para que la función 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝒄 no se interseque con la función 
𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑. 
 
Para hallar los puntos en de intersección de las funciones debemos plantear: 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
Luego, reemplazamos por las fórmulas de las funciones dadas en el enunciado y resulta que: 
−𝑥2 + 𝑥 + 𝑐 = 𝑥2 + 𝑥 + 3 
Operamos y obtenemos que: 
2𝑥2 + 3 − 𝑐 = 0 
Aplicamos la fórmula resolvente: 
𝑥1,2 =
0 ± √02 − 4.2. (3 − 𝑐)
4
 
Como las funciones no deben intersecarse, la ecuación no debe tener solución por lo que −4.2. (3 − 𝑐) debe ser 
negativo, es decir: 
−4.2. (3 − 𝑐) < 0 
Para que este producto sea negativo 3 − 𝑐 debe ser positivo, por lo tanto: 3 − 𝑐 > 0 
Con lo cual: 
𝑐 < 3 
Al resolver el ejercicio utilizamos los conceptos de función cuadrática y de ecuaciones cuadráticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Hoja 3 de 4 
 
 
3. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝑨 = (
𝟏
𝟐
;
𝟏
𝟑
) y 𝑩 = (𝟏; 𝟏). 
 
La pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B se puede calcular a partir de 𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
𝑚 =
1 −
1
3
1 −
1
2
 
𝑚 =
2
3
1
2
 
𝑚 =
4
3
 
Luego, la recta que pasa por los puntos A y B: 
𝑦 =
4
3
𝑥 + 𝑏 
Y podemos calcular el valor de la ordenada al origen utilizando el punto 𝐵 = (1; 1) 
1 =
4
3
. 1 + 𝑏 
1 −
4
3
= 𝑏 
−
1
3
= 𝑏 
Por lo tanto: 
𝑦 =
4
3
𝑥 −
1
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Hoja 4 de 4 
 
 
4. Determinar las raíces con su orden de multiplicidad y la ordenada al origen de la función 
 𝑸(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑. 
 
Notemos que 𝑥4 − 2𝑥3 = 𝑥3(𝑥 − 2), por lo que 𝑥 = 0 es raíz con multiplicidad 3 y 𝑥 = 2 es raíz con 
multiplicidad 1 y la ordenada al origen es 0.