SINTITUL-15

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TRILCE
177
Capítulo
CERTEZAS - MÁXIMOS Y MÍNIMOS15
CERTEZAS
INTRODUCCIÓN
En una competencia de habilidad mental, se presentaron 3 concursantes : Juan Carlos, Martha y Gari.
La competencia consistía en indicar cuántas veces como mínimo habría que extraer una bola para tener la seguridad de
contar por lo menos con una bola roja sabiendo que en la bolsa habían 10 bolas rojas, 7 negras y 8 verdes.
* Juan Carlos : Niño hábil e inteligente, contestó rápidamente sin pensar 1. Pues dijo que con suerte la primera bola
extraída puede ser roja.
* Martha : Niña seria y metódica, contestó 3; pues dijo que la primera y segunda pueden ser de colores distintos y la
tercera ya puede ser roja.
* Gari : El más gordito de los tres, pícaro, pero no menos inteligente, contestó 16; a lo que los otros concursantes se
rieron; pero Gari les dijo que si suponía que primero salieran las bolas de colores diferentes al rojo estas serían 15 y que
después con toda seguridad la siguiente sería roja.
¿Quién cree Ud, que tenía la razón y ganó el concurso?
Ejemplo 1
En una urna depositamos 8 esferas blancas, 7 rojas y 9
azules. Cuantas esferas habrá que extraer al azar y como
mínimo para tener la certeza de haber extraído ...
a) Un par del mismo color.
b) Por lo menos uno de cada color.
c) Tres azules.
d) Un color por completo.
e) Una azul y tres rojas.
Ejemplo 2
Se tiene una baraja de naipes (52 naipes, 13 de cada palo).
¿Cuántas cartas se deberán extraer al azar y como mínimo
para tener la certeza de haber extraído ...
a) .... un naipe de color rojo?
b) .... dos naipes de diamantes?
c) .... tres naipes de espadas?
d) .... dos diamantes y tres corazones?
e) .... una espada y cuatro tréboles?
Ejemplo 3
En una caja depositamos 50 esferas, numeradas del 1 al 50.
¿Cuántas esferas habrá que extraer al azar y como mínimo
para tener la certeza de haber sacado ...
a) ... una esfera con numeración par?
b) ... una esfera que utilice la cifra 5 en su numeración?
c) .... dos esferas cuya numeración estén comprendidas
entre 30 y 40?
d) .... tres esferas múltiplos de 6?
e) .... una esfera cuya numeración no sea mayor que 10?
Raz. Matemático
178
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
INTRODUCCIÓN
Luis le dice a Mathías : "En el bolsillo de mi pantalón hay 20 monedas de un sol y 10 monedas de 5 soles".
Ve y extrae monedas de él, hasta que salga una moneda diferente a la que extraíste anteriormente y el dinero que salga será
para ti.
* ¿Cuál es la mínima cantidad de dinero que puede tener Mathías?
* ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que puede tener Mathías?
Muchas veces un ejercicio puede tener, según los datos planteados, varias respuestas en un rango de valores, lo cual puede
llevar a pedir una solución máxima o una mínima.
Problemas de pesos y costos
1. Si un kilo de naranja contiene desde 4 hasta 8 naranjas,
¿Cuál es el mayor peso que puede tener 4 docenas de
naranjas?
Resolución:
2. Si una bolsa de caramelos contiene desde 50 hasta 60
caramelos, ¿Cuál es la menor cantidad de bolsas que
debo adquirir, si deseo comprar 600 caramelos?
Resolución:
Nota importante:
Ganancia = Precio de venta Precio de costo 
En la relación anterior:
* Los valores máximo y mínimos de ganancia se obtienen:
Ganancia = Precio de venta Precio de costo 
 máxima máximo mínimo

Ganancia = Precio de venta Precio de costo 
 mínima mínimo máximo

3. Se compran libros que cuestan desde S/. 10 hasta S/. 20
c/u, y se venden a precios que varían desde S/. 25 hasta
S/. 35. Si se venden 10 libros, ¿Cuál es la ganancia
máxima? ¿Cuál es la ganancia mínima?
Resolución:
Problemas de operaciones aritméticas
1. El número 143 se divide en 2 números de dos dígitos
cada uno. Si uno de ellos es el menor posible, ¿Cuál es
éste?
Resolución:
2. Un banco tiene 7 sucursales en una ciudad y hay 70
empleados en ellas. Si ninguna oficina tiene menos de 8
empleados, ni más de 14, ¿Cuál es el menor número de
empleados que puede haber en 6 oficinas?
Resolución:
TRILCE
179
3. Si "A" tiene un valor entre 4 y 5; y "B" tiene un valor
entero entre 20 y 40, ¿entre qué valores estará A
B
?
Resolución:
Problemas diversos
Ejemplo de caminos:
La figura muestra una red de caminos mediante la cual se
desea ir de a "A" a "B" con no más de 3 paradas intermedias
en otras ciudades. Si los números representan los días que
demora ir de una ciudad a otra, ¿Cuál es el menor número
de días que tomará ir de "A" a "B?
A B
C
D E
F
G
4
2 1
5
9
3 5
1
25
6
Resolución:
Ejemplo de coloración de mapas:
Pili desea pintar el siguiente mapa de modo que no existan
2 zonas contiguas (con un lado común) del mismo color,
¿Cuál es el menor número de colores que ella deberá utili-
zar?
Resolución:
Raz. Matemático
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EJERCICIOS PROPUESTOS
Enunciado I
De un juego de naipes (52 naipes, 13 de cada palo), ¿cuán-
tas hay que extraer como mínimo para tener la certeza de
haber obtenido ...
01. ... un naipe de color negro?
a) 1 b) 2 c) 266
d) 27 e) 25
02. ... dos naipes de trébol?
a) 39 b) 40 c) 41
d) 42 e) 43
03. ... tres naipes pares de color negro?
a) 40 b) 41 c) 42
d) 43 e) 44
04. ... dos corazones y 1 diamante?
a) 40 b) 41 c) 42
d) 43 e) 44
05. ... tres espadas y 2 tréboles?
a) 40 b) 42 c) 43
d) 45 e) 41
Enunciado II
Dentro de una urna depositamos 120 esferas numeradas
del 1 al 120, ¿cuántas esferas hay que extraer como mínimo
para tener la certeza de haber obtenido ...
06. ... una esfera con numeración que termine en cero?
a) 12 b) 100 c) 108
d) 109 e) 110
07. ... una esfera de cifras iguales?
a) 109 b) 100 c) 110
d) 111 e) 108
08. ... una esfera con numeración par?
a) 60 b) 61 c) 70
d) 80 e) 103
09. ... dos esferas cuya numeración estén comprendidas
entre 50 y 70?
a) 99 b) 101 c) 103
d) 105 e) 102
10. ... tres esferas comprendidas entre 80 y 110, que sean
impares?
a) 91 b) 94 c) 96
d) 100 e) 108
Enunciado III
Dentro de una urna depositamos 6 esferas blancas, 8 ne-
gras, 12 rojas y 15 amarillas. ¿Cuántas esferas se deben
extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber
obtenido ...
11. ... un par de uno de los colores?
a) 2 b) 4 c) 6
d) 5 e) 8
12. ... cinco esferas rojas?
a) 16 b) 30 c) 32
d) 34 e) 33
13. ... dos negras y tres amarillas?
a) 29 b) 30 c) 32
d) 35 e) 33
14. ... dos blancas y cuatro rojas?
a) 33 b) 35 c) 37
d) 39 e) 36
15. ... por lo menos una de cada color?
a) 32 b) 34 c) 36
d) 38 e) 37
16. Dentro de una urna depositamos 12 esferas rojas, 15
blancas, 20 negras, 36 azules y 52 verdes, ¿cuántas
esferas hay que sacar como mínimo para estar seguro
de haber extraído 12 de uno de los colores?
a) 50 b) 55 c) 56
d) 102 e) 58
17. Cesitar tiene en una urna 12 fichas numeradas del 1 al
12, ¿cuál es el mínimo número de fichas que ha de
extraer para tener la certeza de haber obtenido 3 fichas
numeradas consecutivas?
a) 2 b) 4 c) 6
d) 7 e) 9
TRILCE
181
18. En una bolsa hay 9 bolas blancas, 8 bolas rojas, 12
bolas azules, ¿cuántas bolas como mínimo se deben
extraer al azar para tener la certeza de haber obtenido 3
bolas del mismo color?
a) 7 b) 6 c) 12
d) 22 e) 21
19. Se tiene un mazo de 52 cartas (13 de cada palo),
¿cuántas cartas hay que sacar como mínimo para estar
seguro de haber obtenido una carta con numeración
par y de color rojo?
a) 38 b) 27 c) 40
d) 41 e) 42
20. Una urna contiene 18 bolas negras, 14 rojas y 17
blancas, la menor cantidad que debe sacarse para
obtener al menos una de cada color es :
a) 35 b) 31 c) 29
d) 38 e) 36
21. En un juego de tiro al blanco, ¿cuánta es la diferencia
entre lo máximo y mínimo que se puede obtener con 3
tiros si cada zona permite un máximo de 2 tiros, si los
disparos deben dar en el tablero?
10 9 8 7 5 1
a) 25 b) 22 c) 20
d) 24 e) 36
22. Se compran camisas cuyo precio unitario varía desde
S/. 12 hasta S/. 21 y se vende cada una a un precio que
varía desde S/. 18 hasta S/. 25. ¿Cuál es la máxima
ganancia que se puede obtener por la venta de 3
camisas?
a) S/. 18 b) S/. 12 c) S/.39
d) S/. 45 e) S/. 16
23. Dados 9 rectángulos como muestra la figura, ¿cuál es el
mínimo número de colores a emplear de modo que no
se tengan dos rectángulos pintados del mismo color
juntos?
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
24. La figura muestra una red de caminos mediante la cual
se va de A a B pasando a lo más una vez por las otras
ciudades. Si los números representan los días que
demora ir de una ciudad a otra. ¿Cuál es la diferencia
entre el máximo y el mínimo número de días que se
tomará ir de A a B?
9
A B
1 2 3
4 12
1053
4
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
25. Dos kilos de manzanas contienen desde 20 hasta 35
manzanas, ¿cuál será el mínimo peso que tendrá 140
manzanas?
a) 8 kg b) 8,5 kg c) 9 kg
d) 12 kg e) 16 kg
26. Pepe dispone de pesas de 1, 2, 4, 8,16, etc. kg cada
una. Si él desea equilibrar un peso de 341 kg utilizando
el mínimo número de pesas posibles, ¿cuál o cuáles
de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
I. Pepe debe utilizar 4 pesas en total.
II. La pesa de 4 kg es parte de la solución.
III. La pesa de 8 kg es parte de la solución.
a) Sólo I b) Sólo II
c) I y II d) II y III
e) Todas
27. Si un kilo de naranjas contiene desde 6 hasta 8 naranjas,
¿cuál es el mayor peso que pueden tener 4 docenas de
naranjas?
a) 6 kg b) 7 kg c) 8 kg
d) 10 kg e) 16 kg
28. Tres naranjas pesan desde 3 hasta 4,8 Kg. ¿Cuál es el
máximo número de naranjas que puede haber en 12
Kg?
a) Menos de 40 b) Entre 40 y 50
c) Entre 50 y 60 d) Entre 60 y 70
e) Más de 70
Raz. Matemático
182
29. Un tablero de ajedrez consta de 64 casilleros, como
muestra la figura. Si el caballo puede moverse 3
casilleros por vez (2 en línea recta y el tercero hacia un
costado pero no en diagonal), ¿cuál es el mínimo
número de movimientos que requiere el caballo para
pasar del casillero 3G al 4G ?
A
B
C
D
E
F
G
H
1 2 3 4 5 6 7 8
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
30. Una caja de manzanas contiene desde 30 hasta 40
frutas. Si el precio de compra varía desde 8 y 12 soles
por caja y se pueden vender desde 15 hasta 25 soles la
caja, ¿cuál será la máxima ganancia a obtener por la
venta de 120 manzanas?
a) 60 b) 72 c) 51
d) 62 e) 68
31. Un vaso de yogurt contiene, según la marca, desde 20
hasta 35 calorías.Si la dieta de María le permite
desayunar sólo yogurt, en una cantidad de 140 calorías,
¿cuál será lo máximo que ella gastará si cada vaso cuesta
desde 1,7 hasta 3,5 soles?
a) 20,5 b) 24,5 c) 22
d) 28 e) 25
32. Si dos números suman 1, ¿cuál será el máximo valor
que puede tener su producto?
a) 1 b) 8
7
c) 4
1
d) 2
1
e) 8
1
33. Al adquirir cierto vehículo, un comprador recibe 5 llaves,
a saber: de la puerta, el encendido, la guantera, la
maletera, el tanque de gasolina, ¿cuántas veces tendrá
que probar las llaves como mínimo para saber con
certeza la correspondencia entre llaves y chapas?
a) 5 b) 15 c) 10
d) 8 e) 14
34. Karina tiene una colección de libros de "T" tomos. Si el
más ancho tiene "x" cm, de espesor y el más delgado
tiene "y" cm de espesor, ¿cuál debe ser la mínima
longitud de un estante en el cual quepan todos sus
libros, si por los menos hay uno de cada espesor?
a) T b) Ty  x
c) Ty y + x d) Tx  x + y
e) Tx1543.
35. Un grupo de 456 personas va a elegir un presidente.
Si se presentan 5 candidatos para el puesto, ¿cuál es el
menor número de votos que puede obtener uno de
ellos y obtener así más que cualquiera de los otros 4?
a) 90 b) 229 c) 92
d) 24 e) 16
36. ¿Cuál es el máximo valor de la siguiente expresión?
22 )3x()1x(1
2R


a) 1 b) 2 c) 3
2
d) 2
1
e) 0
37. Una caja de naranjas contiene desde 20 hasta 25
unidades. Si el precio de compra varía entre 10 y 15
soles por caja y el precio de venta varía entre 20 y 25
soles por caja, ¿cuál será la máxima ganancia a
obtenerse por la venta de 100 naranjas?
a) S/. 50 b) S/. 60 c) S/. 75
d) S/. 80 e) S/. 10
38. ¿Cuál es el máximo valor que puede alcanzar la
expresión?
2)5x(5
50M


a) 20 b) 10 c) 5
d) 3
5
e) 16
39. ¿Cuántas veces hay que tirar un dado para tener la
seguridad de haber obtenido 10 veces la misma cara?
a) 54 b) 53 c) 52
d) 55 e) 50
40.Se tiene 4 candados y 2 llaves; si sé que cada llave abre
sólo un candado, ¿cuántos intentos como mínimo se
debe realizar, para determinar con seguridad la llave
correspondiente?
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
TRILCE
183
41. Dentro de una urna depositamos caramelos de limón,
caramelos de naranja y caramelos de licor, y la suficiente
cantidad de cada tipo, ¿cuántos caramelos se deben
extraer como mínimo para tener la certeza de haber
sacado un par de caramelos del mismo sabor?
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
42. En una caja hay 10 pares de guantes utilizables de
color negro y 10 pares de guantes utilizables de color
rojo, ¿cuántos guantes hay que sacar, para estar seguro
de obtener un par de guantes utilizables del mismo
color?
a) 3 b) 16 c) 38
d) 20 e) 21
43. Se tiene 3 cajas, en una hay 6 esferas blancas, 6 esferas
rojas y 6 esferas negras. En otra, hay 6 conos blancos,
6 conos rojos y 6 conos negros, y en la tercera caja hay
6 cubos blancos, 6 cubos rojos y 6 cubos negros, ¿cuál
es el menor número de objetos que se deben extraer
de las tres cajas para tener la certeza de haber extraído
necesariamente entre ellas un par de esferas, un par de
conos y un par de cubos, todos del mismo color?
a) 10 b) 11 c) 32
d) 13 e) 14
44. Se tiene 120 fichas numeradas del 1 al 120, ¿cuántas
fichas se deben extraer para tener la certeza de contar
con 2 fichas que tengan 2 dígitos y que estos dos dígitos
sean iguales?
a) 112 b) 111 c) 114
d) 113 e) 109
45. Un dado tiene 2 caras pintadas de color azul; 3 caras
pintadas de rojo y una cara de negro.
¿Cuál es el mínimo número de veces que debe lanzarse
este dado para obtener 2 caras rojas?
a) Menos de 5. b) Más de 8.
c) Entre 10 y 15. d) 2.
e) 2 ó más.
46. Emilia reparte entre sus 5 hijos desde 50 hasta 75 soles
de propina semanales. Si Catty reparte entre sus 4
hijos, desde 40 hasta 80 soles de propina semanales.
¿Cuál es la máxima diferencia que puede existir entre
lo que recibe un hijo de Emilia y uno de Catty?
a) 5 b) 6 c) 8
d) 10 e) 15
47. En una urna hay fichas rojas, blancas y azules, si las
rojas son 48 y éstas son 16 veces las blancas, siendo
las azules a las blancas como 5 es a 1, ¿cuántas fichas
habrá que extraer al azar y como mínimo para obtener
un color por completo?
a) 63 b) 65 c) 62
d) 64 e) 67
48. Se forma un cubo soldando 12 pedazos de alambre de
3 cm de longitud cada uno. Si una hormiga parte de
uno de los vértices y sigue caminando a lo largo de las
aristas, ¿cuál es la máxima distancia que puede recorrer
antes que vuelva a tocar un vértice por segunda vez, si
no puede recorrer una arista dos veces?
a) 24 cm b) 21 cm c) 18 cm
d) 15 cm e) 12cm
49. Dentro de una caja depositamos 120 bolas numeradas
del 1 al 120, ¿cuántas hay que extraer como mínimo,
para obtener 1 bola con numeración impar y múltiplo
de 3, comprendida entre 30 y 50?
a) 117 b) 118 c) 110
d) 101 e) 119
50. Una bolsa contiene caramelos: 20 de limón, 15 de
naranja, 18 de manzana y 12 de piña. ¿Cuántos
caramelos hay que extraer al azar para tener la seguridad
de obtener por lo menos 4 de cada sabor?
a) 48 b) 57 c) 17
d) 37 e) 28
51. En una urna hay 160 bolas, por cada 3 bolas blancas
hay 20 negras y 17 rojas. ¿Cuántas bolas se deben
extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de
haber obtenido dos negras y 3 rojas?
a) 8 b) 95 c) 22
d) 17 e) 92
52. Un kilogramo de duraznos contiene desde 8 hasta 12
duraznos. El precio de los más grandes varía desde 2
hasta 3,5 soles cada kilo y el de los más pequeños
entre 1 y 1,5 soles el kilo. Si Lucía compra 4 docenas
pagando lo máximo posible e Irene la misma cantidad
con el mínimo posible de dinero, ¿cuál es la diferencia
de lo pagado por ambas?
a) 28 b) 17 c) 21
d) 14 e) 16
Raz. Matemático
184
53. Si en una urna hay 48 bolas numeradas
consecutivamente del 4 al 51, ¿cuántas bolas como
mínimo debemos de extraer al azar para tener la certeza
de haber extraído 7 bolas numeradas con un número
impar?
a) 29b) 31 c) 27
d) 30 e) 19
54. Una bolsa contiene caramelos: n de limón, (n  1) de
naranja, (n 2) de piña y (n3) de mango. ¿Cuántos
caramelos como mínimo hay que extraer al azar para
tener la seguridad de haber extraído por lo menos 3 de
cada sabor? (n > 6).
a) 2n b) 3n c) 3n  1
d) 4n 1 e) 3n + 1
55. Se tiene un dado donde tres de sus caras tienen el
mismo color y el resto de caras de colores diferentes,
¿cuántas veces hay que lanzar el dado para tener la
seguridad de haber obtenido el mismo color 4 veces?
a) 12 b) 18 c) 13
d) 15 e) 20
56. Se tiene fichas de "m" clases diferentes y la cantidad
suficiente de cada clase, ¿cuántas como mínimo se
deben extraer para tener la certeza de haber sacado
"m" de una de las clases?
a) 1mm2  b) m2m2 
c) 1m2  d) 1mm2 
e) m2m2 
57. En una bolsa oscura hay caramelos de "n" sabores
diferentes y lo suficiente: ¿cuántos caramelos se deben
extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de
haber obtenido 10 de uno de los sabores?
a) 10n b) 9n 1 c) 9n + 1
d) 10 e) 10n + 1
58. En una urna se tiene (2p q) fichas verdes y (3p + 2q)
fichas rojas, ¿cuántas fichas se deben sacar para tener
la certeza de haber extraído "3p" fichas de uno de los
colores?
a) 3p + q b) 4p + q c) 5p  q
d) p  q e) 5p + q
59. En una urna se tiene (P Q) fichas rojas y (P + Q)
fichas azules, ¿cuántas fichas se deben sacar para tener
la certeza de haber extraído "P" de uno de los colores?
a) 2P Q b) 2P + Q c) P  Q
d) 2Q  P e) P + Q
60. De un juego de naipes (52 cartas, 13 de cada palo),
¿cuántos naipes hay que extraer al azar y como mínimo
para tener la seguridad de haber conseguido dos naipes
que sumen 10?
a) 35 b) 30 c) 31
d) 32 e) 34
TRILCE
185
Claves Claves 
d
c
d
b
b
d
d
b
c
e
d
d
d
c
c
c
e
a
d
e
b
c
b
e
a
b
c
a
c
e
b
c
c
c
b
b
c
b
d
b
c
e
c
d
e
d
d
a
b
b
b
b
c
b
c
d
c
c
a
e
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.