SEMANA-6 Calculo vectorial

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Notas de clase: Calculo Vectorial
William Ramírez
Mileydis De La Hoz
Ronal Barrios
Magister en Ciencias Matemáticas
Universidad de la Costa C.U.C
Abril 2020
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 1 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Definición 2: Sea D ⊆ Rn, una función de n-variables es una función
f : D −→ R tal que a un vector de n componentes se le asigna un número
real.
Si consideramos el espacio R2, tenemos
f : R× R −→ R
(x , y) f−−→ z = f (x , y)
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Definición 2: Sea D ⊆ Rn, una función de n-variables es una función
f : D −→ R tal que a un vector de n componentes se le asigna un número
real.
Si consideramos el espacio R2, tenemos
f : R× R −→ R
(x , y) f−−→ z = f (x , y)
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Definición 2: Sea D ⊆ Rn, una función de n-variables es una función
f : D −→ R tal que a un vector de n componentes se le asigna un número
real.
Si consideramos el espacio R2, tenemos
f : R× R −→ R
(x , y) f−−→ z = f (x , y)
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Definición 2: Sea D ⊆ Rn, una función de n-variables es una función
f : D −→ R tal que a un vector de n componentes se le asigna un número
real.
Si consideramos el espacio R2, tenemos
f : R× R −→ R
(x , y) f−−→ z = f (x , y)
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Ejemplo:
Si f : R2 −→ R, definida por f (x , y) = 2x + y , entonces para x = 1 y y = 5
tenemos que f (1,5) = 2(1) + 5 = 7.
Para f (x , y) =
√
x + y + 1
x − 1
, tenemos que f (3,2) =
√
3 + 2 + 1
3− 1
=
√
6
2
.
Para f (x , y) =
x + y
x − y
, determinar: f (−3,4); f ( 12 ,
1
3 ); f (x + 1, y − 1).
Para g(x , y) =
√
x2 − y , determine: g(3,5); g(−4,−9); g(x + 2,4x + 4).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Ejemplo:
Si f : R2 −→ R, definida por f (x , y) = 2x + y , entonces para x = 1 y y = 5
tenemos que f (1,5) = 2(1) + 5 = 7.
Para f (x , y) =
√
x + y + 1
x − 1
, tenemos que f (3,2) =
√
3 + 2 + 1
3− 1
=
√
6
2
.
Para f (x , y) =
x + y
x − y
, determinar: f (−3,4); f ( 12 ,
1
3 ); f (x + 1, y − 1).
Para g(x , y) =
√
x2 − y , determine: g(3,5); g(−4,−9); g(x + 2,4x + 4).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Ejemplo:
Si f : R2 −→ R, definida por f (x , y) = 2x + y , entonces para x = 1 y y = 5
tenemos que f (1,5) = 2(1) + 5 = 7.
Para f (x , y) =
√
x + y + 1
x − 1
, tenemos que f (3,2) =
√
3 + 2 + 1
3− 1
=
√
6
2
.
Para f (x , y) =
x + y
x − y
, determinar: f (−3,4); f ( 12 ,
1
3 ); f (x + 1, y − 1).
Para g(x , y) =
√
x2 − y , determine: g(3,5); g(−4,−9); g(x + 2,4x + 4).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Ejemplo:
Si f : R2 −→ R, definida por f (x , y) = 2x + y , entonces para x = 1 y y = 5
tenemos que f (1,5) = 2(1) + 5 = 7.
Para f (x , y) =
√
x + y + 1
x − 1
, tenemos que f (3,2) =
√
3 + 2 + 1
3− 1
=
√
6
2
.
Para f (x , y) =
x + y
x − y
, determinar: f (−3,4); f ( 12 ,
1
3 ); f (x + 1, y − 1).
Para g(x , y) =
√
x2 − y , determine: g(3,5); g(−4,−9); g(x + 2,4x + 4).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Ejemplo:
Si f : R2 −→ R, definida por f (x , y) = 2x + y , entonces para x = 1 y y = 5
tenemos que f (1,5) = 2(1) + 5 = 7.
Para f (x , y) =
√
x + y + 1
x − 1
, tenemos que f (3,2) =
√
3 + 2 + 1
3− 1
=
√
6
2
.
Para f (x , y) =
x + y
x − y
, determinar: f (−3,4); f ( 12 ,
1
3 ); f (x + 1, y − 1).
Para g(x , y) =
√
x2 − y , determine: g(3,5); g(−4,−9); g(x + 2,4x + 4).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Ejemplo:
Si f : R2 −→ R, definida por f (x , y) = 2x + y , entonces para x = 1 y y = 5
tenemos que f (1,5) = 2(1) + 5 = 7.
Para f (x , y) =
√
x + y + 1
x − 1
, tenemos que f (3,2) =
√
3 + 2 + 1
3− 1
=
√
6
2
.
Para f (x , y) =
x + y
x − y
, determinar: f (−3,4); f ( 12 ,
1
3 ); f (x + 1, y − 1).
Para g(x , y) =
√
x2 − y , determine: g(3,5); g(−4,−9); g(x + 2,4x + 4).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Dominio:
El de dominio de f es el conjunto de valores posibles que pueden tomar x e y .
Ejemplo 1:
1 Hallar el dominio de f (x , y) = ln(x + y − 1).
2 Hallar el dominio de f (x ; y) =
√
x2 + y2 − 9.
3 Hallar el dominio de f (x ; y) =
1
x2 + y2 − 1
.
4 Hallar el dominio de f (x ; y) =
√
x + y + 1
x − 1
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Dominio:
El de dominio de f es el conjunto de valores posibles que pueden tomar x e y .
Ejemplo 1:
1 Hallar el dominio de f (x , y) = ln(x + y − 1).
2 Hallar el dominio de f (x ; y) =
√
x2 + y2 − 9.
3 Hallar el dominio de f (x ; y) =
1
x2 + y2 − 1
.
4 Hallar el dominio de f (x ; y) =
√
x + y + 1
x − 1
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Dominio:
El de dominio de f es el conjunto de valores posibles que pueden tomar x e y .
Ejemplo 1:
1 Hallar el dominio de f (x , y) = ln(x + y − 1).
2 Hallar el dominio de f (x ; y) =
√
x2 + y2 − 9.
3 Hallar el dominio de f (x ; y) =
1
x2 + y2 − 1
.
4 Hallar el dominio de f (x ; y) =
√
x + y + 1
x − 1
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Dominio:
El de dominio de f es el conjunto de valores posibles que pueden tomar x e y .
Ejemplo 1:
1 Hallar el dominio de f (x , y) = ln(x + y − 1).
2 Hallar el dominio de f (x ; y) =
√
x2 + y2 − 9.
3 Hallar el dominio de f (x ; y) =
1
x2 + y2 − 1
.
4 Hallar el dominio de f (x ; y) =
√
x + y + 1
x − 1
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Dominio:
El de dominio de f es el conjunto de valores posibles que pueden tomar x e y .
Ejemplo 1:
1 Hallar el dominio de f (x , y) = ln(x + y − 1).
2 Hallar el dominio de f (x ; y) =
√
x2 + y2 − 9.
3 Hallar el dominio de f (x ; y) =
1
x2 + y2 − 1
.
4 Hallar el dominio de f (x ; y) =
√
x + y + 1
x − 1
.
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Campos Escalares en R2 y R3
Dominio:
El de dominio de f es el conjunto de valores posibles que pueden tomar x e y .
Ejemplo 1:
1 Hallar el dominio de f (x , y) = ln(x + y − 1).
2 Hallar el dominio de f (x ; y) =
√
x2 + y2 − 9.
3 Hallar el dominio de f (x ; y) =
1
x2 + y2 − 1
.
4 Hallar el dominio de f (x ; y) =
√
x + y + 1
x − 1
.
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Campos Escalares en R2 y R3
Dominio:
El de dominio de f es el conjunto de valores posibles que pueden tomar x e y .
Ejemplo 1:
1 Hallar el dominio de f (x , y) = ln(x + y − 1).
2 Hallar el dominio de f (x ; y) =
√
x2 + y2 − 9.
3 Hallar el dominio de f (x ; y) =
1
x2 + y2 − 1
.
4 Hallar el dominio de f (x ; y) =
√
x + y + 1
x − 1
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Definición 0.1
Si f es una función de dos variables, entonces la gráfica de f es el conjunto
de todos los puntos (x , y , z) ∈ R3 para los cuales (x , y) es el punto un punto
del dominio de f y z = f (x , y).
Ejemplo:
Si f (x , y) = 6− 3x − 2y y z = y = 0 tenemos que 0 = 6− 3x , por ende x = 2
P(2,0,0). De igual manera para x = z = 0, tenemos 0 = 6− 2y lo que
equivale a tener y = 3 Q(0,3,0). Y para x = y = 0 tenemos z = 6 R(0,0,6).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Definición 0.1
Si f es una función de dos variables, entoncesla gráfica de f es el conjunto
de todos los puntos (x , y , z) ∈ R3 para los cuales (x , y) es el punto un punto
del dominio de f y z = f (x , y).
Ejemplo:
Si f (x , y) = 6− 3x − 2y y z = y = 0 tenemos que 0 = 6− 3x , por ende x = 2
P(2,0,0). De igual manera para x = z = 0, tenemos 0 = 6− 2y lo que
equivale a tener y = 3 Q(0,3,0). Y para x = y = 0 tenemos z = 6 R(0,0,6).
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Campos Escalares en R2 y R3
Definición 0.1
Si f es una función de dos variables, entonces la gráfica de f es el conjunto
de todos los puntos (x , y , z) ∈ R3 para los cuales (x , y) es el punto un punto
del dominio de f y z = f (x , y).
Ejemplo:
Si f (x , y) = 6− 3x − 2y y z = y = 0 tenemos que 0 = 6− 3x , por ende x = 2
P(2,0,0). De igual manera para x = z = 0, tenemos 0 = 6− 2y lo que
equivale a tener y = 3 Q(0,3,0). Y para x = y = 0 tenemos z = 6 R(0,0,6).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 18
Campos Escalares en R2 y R3
Definición 0.1
Si f es una función de dos variables, entonces la gráfica de f es el conjunto
de todos los puntos (x , y , z) ∈ R3 para los cuales (x , y) es el punto un punto
del dominio de f y z = f (x , y).
Ejemplo:
Si f (x , y) = 6− 3x − 2y y z = y = 0 tenemos que 0 = 6− 3x , por ende x = 2
P(2,0,0). De igual manera para x = z = 0, tenemos 0 = 6− 2y lo que
equivale a tener y = 3 Q(0,3,0). Y para x = y = 0 tenemos z = 6 R(0,0,6).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 18
Límites y Continuidad
Utilizamos la notación lim(x,y)−→(x0,y0) f (x , y) = L para indicar que podemos
aproximar la función f (x , y) tanto como queramos a un número L siempre y
cuando tomemos (x , y) suficientemente cerca del punto (x0, y0) pero con
(x , y) 6= (x0, y0).
En otras palabras, f (x , y) está cerca de L si (x , y) está cerca de (x0, y0) y
entre más cerca esté (x , y) de (x0, y0), más cerca está f (x , y) de L. Esto
significa que podemos tomar la distancia entre f (x , y) y L tan pequeña como
queramos siempre y cuando la distancia entre (x , y) y (x0, y0) sea lo
suficientemente pequeña. Tenemos entonces la equivalencia
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 18
Límites y Continuidad
Utilizamos la notación lim(x,y)−→(x0,y0) f (x , y) = L para indicar que podemos
aproximar la función f (x , y) tanto como queramos a un número L siempre y
cuando tomemos (x , y) suficientemente cerca del punto (x0, y0) pero con
(x , y) 6= (x0, y0).
En otras palabras, f (x , y) está cerca de L si (x , y) está cerca de (x0, y0) y
entre más cerca esté (x , y) de (x0, y0), más cerca está f (x , y) de L. Esto
significa que podemos tomar la distancia entre f (x , y) y L tan pequeña como
queramos siempre y cuando la distancia entre (x , y) y (x0, y0) sea lo
suficientemente pequeña. Tenemos entonces la equivalencia
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Límites y Continuidad
Utilizamos la notación lim(x,y)−→(x0,y0) f (x , y) = L para indicar que podemos
aproximar la función f (x , y) tanto como queramos a un número L siempre y
cuando tomemos (x , y) suficientemente cerca del punto (x0, y0) pero con
(x , y) 6= (x0, y0).
En otras palabras, f (x , y) está cerca de L si (x , y) está cerca de (x0, y0) y
entre más cerca esté (x , y) de (x0, y0), más cerca está f (x , y) de L. Esto
significa que podemos tomar la distancia entre f (x , y) y L tan pequeña como
queramos siempre y cuando la distancia entre (x , y) y (x0, y0) sea lo
suficientemente pequeña. Tenemos entonces la equivalencia
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 18
Límites y Continuidad
Tenemos entonces la equivalencia
lim
(x,y)−→(x0,y0)
f (x , y) = L⇐⇒ lim
||(x,y)−(x0,y0)||−→0
|f (x , y)− L| = 0.
Así, el límite de una función de dos variables se reduce al límite usual del
cálculo de una variable, y es por esta razón que las propiedades usuales de
los límites unidimensionales también son válidas para límites de funciones de
dos variables.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 18
Límites y Continuidad
Tenemos entonces la equivalencia
lim
(x,y)−→(x0,y0)
f (x , y) = L⇐⇒ lim
||(x,y)−(x0,y0)||−→0
|f (x , y)− L| = 0.
Así, el límite de una función de dos variables se reduce al límite usual del
cálculo de una variable, y es por esta razón que las propiedades usuales de
los límites unidimensionales también son válidas para límites de funciones de
dos variables.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 18
Límites y Continuidad
Tenemos entonces la equivalencia
lim
(x,y)−→(x0,y0)
f (x , y) = L⇐⇒ lim
||(x,y)−(x0,y0)||−→0
|f (x , y)− L| = 0.
Así, el límite de una función de dos variables se reduce al límite usual del
cálculo de una variable, y es por esta razón que las propiedades usuales de
los límites unidimensionales también son válidas para límites de funciones de
dos variables.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 18
Límites y Continuidad
Para calcular un límite, existe la dificultad de que (x , y) puede aproximarse a
(x0, y0) por muchos caminos, (contrario al caso unidimensional en el cual solo
existen dos caminos de acercamiento: por la izquierda y por la derecha) y
para que el límite exista, debe ser el mismo para todos los caminos de
acercamiento. Es claro entonces, que el límite no existe si por dos caminos
distintos se obtienen límites diferentes, como se ve en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
1 Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
no exite.
2 Si f (x , y) =
xy
x2 + y2
, ¿existe el lim(x,y)→(0,0) f (x , y)?
3 Si f (x , y) =
xy2
x2 + y2
, ¿existe el lim(x,y)→(0,0) f (x , y)?
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 18
Límites y Continuidad
Para calcular un límite, existe la dificultad de que (x , y) puede aproximarse a
(x0, y0) por muchos caminos, (contrario al caso unidimensional en el cual solo
existen dos caminos de acercamiento: por la izquierda y por la derecha) y
para que el límite exista, debe ser el mismo para todos los caminos de
acercamiento. Es claro entonces, que el límite no existe si por dos caminos
distintos se obtienen límites diferentes, como se ve en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
1 Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
no exite.
2 Si f (x , y) =
xy
x2 + y2
, ¿existe el lim(x,y)→(0,0) f (x , y)?
3 Si f (x , y) =
xy2
x2 + y2
, ¿existe el lim(x,y)→(0,0) f (x , y)?
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 18
Límites y Continuidad
Para calcular un límite, existe la dificultad de que (x , y) puede aproximarse a
(x0, y0) por muchos caminos, (contrario al caso unidimensional en el cual solo
existen dos caminos de acercamiento: por la izquierda y por la derecha) y
para que el límite exista, debe ser el mismo para todos los caminos de
acercamiento. Es claro entonces, que el límite no existe si por dos caminos
distintos se obtienen límites diferentes, como se ve en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
1 Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
no exite.
2 Si f (x , y) =
xy
x2 + y2
, ¿existe el lim(x,y)→(0,0) f (x , y)?
3 Si f (x , y) =
xy2
x2 + y2
, ¿existe el lim(x,y)→(0,0) f (x , y)?
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 18
Límites y Continuidad
Para calcular un límite, existe la dificultad de que (x , y) puede aproximarse a
(x0, y0) por muchos caminos, (contrario al caso unidimensional en el cual solo
existen dos caminos de acercamiento: por la izquierda y por la derecha) y
para que el límite exista, debe ser el mismo para todos los caminos de
acercamiento. Es claro entonces, que el límite no existe si por dos caminos
distintos se obtienen límites diferentes, como se ve en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
1 Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
no exite.
2 Si f (x , y) =
xy
x2 + y2
, ¿existe el lim(x,y)→(0,0) f (x , y)?
3 Si f (x , y) =
xy2
x2 + y2
, ¿existe el lim(x,y)→(0,0) f(x , y)?
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 18
Límites y Continuidad
Para calcular un límite, existe la dificultad de que (x , y) puede aproximarse a
(x0, y0) por muchos caminos, (contrario al caso unidimensional en el cual solo
existen dos caminos de acercamiento: por la izquierda y por la derecha) y
para que el límite exista, debe ser el mismo para todos los caminos de
acercamiento. Es claro entonces, que el límite no existe si por dos caminos
distintos se obtienen límites diferentes, como se ve en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
1 Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
no exite.
2 Si f (x , y) =
xy
x2 + y2
, ¿existe el lim(x,y)→(0,0) f (x , y)?
3 Si f (x , y) =
xy2
x2 + y2
, ¿existe el lim(x,y)→(0,0) f (x , y)?
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 18
Límites y Continuidad
Para calcular un límite, existe la dificultad de que (x , y) puede aproximarse a
(x0, y0) por muchos caminos, (contrario al caso unidimensional en el cual solo
existen dos caminos de acercamiento: por la izquierda y por la derecha) y
para que el límite exista, debe ser el mismo para todos los caminos de
acercamiento. Es claro entonces, que el límite no existe si por dos caminos
distintos se obtienen límites diferentes, como se ve en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
1 Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
no exite.
2 Si f (x , y) =
xy
x2 + y2
, ¿existe el lim(x,y)→(0,0) f (x , y)?
3 Si f (x , y) =
xy2
x2 + y2
, ¿existe el lim(x,y)→(0,0) f (x , y)?
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 18
Límites y Continuidad
Para calcular un límite, existe la dificultad de que (x , y) puede aproximarse a
(x0, y0) por muchos caminos, (contrario al caso unidimensional en el cual solo
existen dos caminos de acercamiento: por la izquierda y por la derecha) y
para que el límite exista, debe ser el mismo para todos los caminos de
acercamiento. Es claro entonces, que el límite no existe si por dos caminos
distintos se obtienen límites diferentes, como se ve en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
1 Demuestre que lim(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
no exite.
2 Si f (x , y) =
xy
x2 + y2
, ¿existe el lim(x,y)→(0,0) f (x , y)?
3 Si f (x , y) =
xy2
x2 + y2
, ¿existe el lim(x,y)→(0,0) f (x , y)?
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 18
Límites y Continuidad
Ejemplo:
Calcular lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
Solución: lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
=
2(0)2(0)
(0)4 + (0)2
=
0
0
.
Cómo al evaluar nos da 0/0 usaremos trayectorias. Para y = 0 tenemos que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2(0)
x4 + (0)2
= 0.
De igual forma para x = 0, lim
(x,y)→(0,0)
2(0)2y
(0)4 + y2
= 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 18
Límites y Continuidad
Ejemplo:
Calcular lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
Solución: lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
=
2(0)2(0)
(0)4 + (0)2
=
0
0
.
Cómo al evaluar nos da 0/0 usaremos trayectorias. Para y = 0 tenemos que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2(0)
x4 + (0)2
= 0.
De igual forma para x = 0, lim
(x,y)→(0,0)
2(0)2y
(0)4 + y2
= 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 18
Límites y Continuidad
Ejemplo:
Calcular lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
Solución: lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
=
2(0)2(0)
(0)4 + (0)2
=
0
0
.
Cómo al evaluar nos da 0/0 usaremos trayectorias. Para y = 0 tenemos que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2(0)
x4 + (0)2
= 0.
De igual forma para x = 0, lim
(x,y)→(0,0)
2(0)2y
(0)4 + y2
= 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 18
Límites y Continuidad
Ejemplo:
Calcular lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
Solución: lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
=
2(0)2(0)
(0)4 + (0)2
=
0
0
.
Cómo al evaluar nos da 0/0 usaremos trayectorias. Para y = 0 tenemos que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2(0)
x4 + (0)2
= 0.
De igual forma para x = 0, lim
(x,y)→(0,0)
2(0)2y
(0)4 + y2
= 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 18
Límites y Continuidad
Ejemplo:
Calcular lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
Solución: lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
=
2(0)2(0)
(0)4 + (0)2
=
0
0
.
Cómo al evaluar nos da 0/0 usaremos trayectorias. Para y = 0 tenemos que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2(0)
x4 + (0)2
= 0.
De igual forma para x = 0, lim
(x,y)→(0,0)
2(0)2y
(0)4 + y2
= 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 18
Límites y Continuidad
Ejemplo:
Calcular lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
Solución: lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
=
2(0)2(0)
(0)4 + (0)2
=
0
0
.
Cómo al evaluar nos da 0/0 usaremos trayectorias. Para y = 0 tenemos que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2(0)
x4 + (0)2
= 0.
De igual forma para x = 0, lim
(x,y)→(0,0)
2(0)2y
(0)4 + y2
= 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 18
Límites y Continuidad
Ejemplo:
Calcular lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
Solución: lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
=
2(0)2(0)
(0)4 + (0)2
=
0
0
.
Cómo al evaluar nos da 0/0 usaremos trayectorias. Para y = 0 tenemos que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2(0)
x4 + (0)2
= 0.
De igual forma para x = 0, lim
(x,y)→(0,0)
2(0)2y
(0)4 + y2
= 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 18
Límites y Continuidad
En general, para y = mx , tenemos
lim
x→0
2x2(mx)
x4 + (mx)2
= lim
x→0
2x3m
x4 + m2x2
= lim
x→0
2x3m
x2(x2 + m2)
= lim
x→0
2xm
(x2 + m2)
=
2(0)m
((0)2 + m2)
= 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 18
Límites y Continuidad
En general, para y = mx , tenemos
lim
x→0
2x2(mx)
x4 + (mx)2
= lim
x→0
2x3m
x4 + m2x2
= lim
x→0
2x3m
x2(x2 + m2)
= lim
x→0
2xm
(x2 + m2)
=
2(0)m
((0)2 + m2)
= 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 18
Límites y Continuidad
En general, para y = mx , tenemos
lim
x→0
2x2(mx)
x4 + (mx)2
= lim
x→0
2x3m
x4 + m2x2
= lim
x→0
2x3m
x2(x2 + m2)
= lim
x→0
2xm
(x2 + m2)
=
2(0)m
((0)2 + m2)
= 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 18
Límites y Continuidad
En general, para y = mx , tenemos
lim
x→0
2x2(mx)
x4 + (mx)2
= lim
x→0
2x3m
x4 + m2x2
= lim
x→0
2x3m
x2(x2 + m2)
= lim
x→0
2xm
(x2 + m2)
=
2(0)m
((0)2 + m2)
= 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 18
Límites y Continuidad
En general, para y = mx , tenemos
lim
x→0
2x2(mx)
x4 + (mx)2
= lim
x→0
2x3m
x4 + m2x2
= lim
x→0
2x3m
x2(x2 + m2)
= lim
x→0
2xm
(x2 + m2)
=
2(0)m
((0)2 + m2)
= 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 18
Límites y Continuidad
Por ahora podemos pensar que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
= 0.
Veamos que pasa con y = x2. Tenemos que
lim
x→0
2x2x2
x4 + (x2)2
= lim
x→0
2x4
x4 + x4
= lim
x→0
2x4
2x4
= 1.
Luego vemos que por las diferentes trayectorias nos da valores diferente, por
tanto podemos concluir que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
,
no existe.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 18
Límites y Continuidad
Por ahora podemos pensar que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
= 0.
Veamos que pasa con y = x2. Tenemos que
lim
x→0
2x2x2
x4 + (x2)2
= lim
x→0
2x4
x4 + x4
= lim
x→0
2x4
2x4
= 1.
Luego vemos que por las diferentes trayectorias nos da valores diferente, por
tanto podemos concluir que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
,
no existe.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 18
Límites y Continuidad
Por ahora podemos pensar que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
= 0.
Veamos que pasa con y = x2. Tenemos que
lim
x→0
2x2x2
x4 + (x2)2
= lim
x→0
2x4
x4 + x4
= lim
x→0
2x4
2x4
= 1.
Luego vemos que por las diferentes trayectorias nos da valores diferente, por
tanto podemos concluir que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
,
no existe.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 18
Límites y Continuidad
Por ahora podemos pensar que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
= 0.
Veamos que pasa con y = x2. Tenemos que
lim
x→0
2x2x2x4 + (x2)2
= lim
x→0
2x4
x4 + x4
= lim
x→0
2x4
2x4
= 1.
Luego vemos que por las diferentes trayectorias nos da valores diferente, por
tanto podemos concluir que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
,
no existe.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 18
Límites y Continuidad
Por ahora podemos pensar que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
= 0.
Veamos que pasa con y = x2. Tenemos que
lim
x→0
2x2x2
x4 + (x2)2
= lim
x→0
2x4
x4 + x4
= lim
x→0
2x4
2x4
= 1.
Luego vemos que por las diferentes trayectorias nos da valores diferente, por
tanto podemos concluir que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
,
no existe.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 18
Límites y Continuidad
Por ahora podemos pensar que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
= 0.
Veamos que pasa con y = x2. Tenemos que
lim
x→0
2x2x2
x4 + (x2)2
= lim
x→0
2x4
x4 + x4
= lim
x→0
2x4
2x4
= 1.
Luego vemos que por las diferentes trayectorias nos da valores diferente, por
tanto podemos concluir que
lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
,
no existe.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 18
Límites y Continuidad
Definición 0.2
Se dice que una función f de dos variables es continua en (a,b) si
lim
(x,y)→(a,b)
f (x , y) = f (a,b).
f es continua en D si f es continua en todos los puntos (a,b) de D.
Ejemplo:
1 Evalúe lim(x,y)→(1,2)(x2y3 − x3y2 + 3x + 2y) .
2 Sea
f (x , y)) =
 2x , si x = y ,0, si x 6= y . (1)
Determinar si f es continua en (0,0).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 18
Límites y Continuidad
Definición 0.2
Se dice que una función f de dos variables es continua en (a,b) si
lim
(x,y)→(a,b)
f (x , y) = f (a,b).
f es continua en D si f es continua en todos los puntos (a,b) de D.
Ejemplo:
1 Evalúe lim(x,y)→(1,2)(x2y3 − x3y2 + 3x + 2y) .
2 Sea
f (x , y)) =
 2x , si x = y ,0, si x 6= y . (1)
Determinar si f es continua en (0,0).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 18
Límites y Continuidad
Definición 0.2
Se dice que una función f de dos variables es continua en (a,b) si
lim
(x,y)→(a,b)
f (x , y) = f (a,b).
f es continua en D si f es continua en todos los puntos (a,b) de D.
Ejemplo:
1 Evalúe lim(x,y)→(1,2)(x2y3 − x3y2 + 3x + 2y) .
2 Sea
f (x , y)) =
 2x , si x = y ,0, si x 6= y . (1)
Determinar si f es continua en (0,0).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 18
Límites y Continuidad
Definición 0.2
Se dice que una función f de dos variables es continua en (a,b) si
lim
(x,y)→(a,b)
f (x , y) = f (a,b).
f es continua en D si f es continua en todos los puntos (a,b) de D.
Ejemplo:
1 Evalúe lim(x,y)→(1,2)(x2y3 − x3y2 + 3x + 2y) .
2 Sea
f (x , y)) =
 2x , si x = y ,0, si x 6= y . (1)
Determinar si f es continua en (0,0).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 18
Límites y Continuidad
Definición 0.2
Se dice que una función f de dos variables es continua en (a,b) si
lim
(x,y)→(a,b)
f (x , y) = f (a,b).
f es continua en D si f es continua en todos los puntos (a,b) de D.
Ejemplo:
1 Evalúe lim(x,y)→(1,2)(x2y3 − x3y2 + 3x + 2y) .
2 Sea
f (x , y)) =
 2x , si x = y ,0, si x 6= y . (1)
Determinar si f es continua en (0,0).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 18
Límites y Continuidad
Resolver los siguientes ejercicios:
1 Dada f (x , y) =
 3x
2y
x2 + y2
si (x , y) 6= (0,0)
0 si (x , y) = (0,0),
, determine si f es continua
en (0,0).
2 Sea f definida por: f (x , y) =
{ xy
x2 + y2
si (x , y) 6= (0,0)
0 si (x , y) = (0,0)
, determine si f
es continua en (0,0).
3 Verificar si la función f es continua en (0,0)
f (x , y) =
x
3 + y3
x2 + y2
si (x , y) 6= (0,0),
0 si (x , y) = (0,0).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 18
Límites y Continuidad
Resolver los siguientes ejercicios:
1 Dada f (x , y) =
 3x
2y
x2 + y2
si (x , y) 6= (0,0)
0 si (x , y) = (0,0),
, determine si f es continua
en (0,0).
2 Sea f definida por: f (x , y) =
{ xy
x2 + y2
si (x , y) 6= (0,0)
0 si (x , y) = (0,0)
, determine si f
es continua en (0,0).
3 Verificar si la función f es continua en (0,0)
f (x , y) =
x
3 + y3
x2 + y2
si (x , y) 6= (0,0),
0 si (x , y) = (0,0).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 18
Límites y Continuidad
Resolver los siguientes ejercicios:
1 Dada f (x , y) =
 3x
2y
x2 + y2
si (x , y) 6= (0,0)
0 si (x , y) = (0,0),
, determine si f es continua
en (0,0).
2 Sea f definida por: f (x , y) =
{ xy
x2 + y2
si (x , y) 6= (0,0)
0 si (x , y) = (0,0)
, determine si f
es continua en (0,0).
3 Verificar si la función f es continua en (0,0)
f (x , y) =
x
3 + y3
x2 + y2
si (x , y) 6= (0,0),
0 si (x , y) = (0,0).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 18
Límites y Continuidad
Resolver los siguientes ejercicios:
1 Dada f (x , y) =
 3x
2y
x2 + y2
si (x , y) 6= (0,0)
0 si (x , y) = (0,0),
, determine si f es continua
en (0,0).
2 Sea f definida por: f (x , y) =
{ xy
x2 + y2
si (x , y) 6= (0,0)
0 si (x , y) = (0,0)
, determine si f
es continua en (0,0).
3 Verificar si la función f es continua en (0,0)
f (x , y) =
x
3 + y3
x2 + y2
si (x , y) 6= (0,0),
0 si (x , y) = (0,0).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 18
Límites y Continuidad
Resolver los siguientes ejercicios:
1 Dada f (x , y) =
 3x
2y
x2 + y2
si (x , y) 6= (0,0)
0 si (x , y) = (0,0),
, determine si f es continua
en (0,0).
2 Sea f definida por: f (x , y) =
{ xy
x2 + y2
si (x , y) 6= (0,0)
0 si (x , y) = (0,0)
, determine si f
es continua en (0,0).
3 Verificar si la función f es continua en (0,0)
f (x , y) =
x
3 + y3
x2 + y2
si (x , y) 6= (0,0),
0 si (x , y) = (0,0).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 18
Funciones Diferenciables
Derivadas parciales: Sea f una función de dos variables x y y . La derivada
parcial de f con respecto a x es aquella función, que notaremos por fx , tal
que su valor, en cualquier punto (x , y) del dominio de f , está dado por
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
, (2)
siempre que este límite existe.
De igual forma, la derivada parcial de f con respecto a y es aquella función,
que notaremos por fy , tal que su valor, en cualquier punto (x , y) del dominio
de f , está dado por
fy (x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
, (3)
siempre que este límite existe.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 18
Funciones Diferenciables
Derivadas parciales: Sea f una función de dos variables x y y . La derivada
parcial de f con respecto a x es aquella función, que notaremos por fx , tal
que su valor, en cualquier punto (x , y) del dominio de f , está dado por
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
, (2)
siempre que este límite existe.
De igual forma, la derivada parcial de f con respecto a y es aquella función,
que notaremos por fy , tal que su valor, en cualquier punto (x , y) del dominio
de f , está dado por
fy (x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
, (3)
siempre que este límite existe.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 18
Funciones Diferenciables
Derivadas parciales: Sea f una función de dos variables x y y . La derivada
parcial de f con respecto a x es aquella función, que notaremos por fx , tal
que su valor, en cualquier punto (x , y) del dominio de f , está dado por
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
,
(2)
siempre que este límite existe.
De igual forma, la derivada parcial de f con respecto a y es aquella función,
que notaremos por fy , tal que su valor, en cualquier punto (x , y) del dominio
de f , está dado por
fy (x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
, (3)
siempre que este límite existe.
Calculo Vectorial. Notas de clase:Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 18
Funciones Diferenciables
Derivadas parciales: Sea f una función de dos variables x y y . La derivada
parcial de f con respecto a x es aquella función, que notaremos por fx , tal
que su valor, en cualquier punto (x , y) del dominio de f , está dado por
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
, (2)
siempre que este límite existe.
De igual forma, la derivada parcial de f con respecto a y es aquella función,
que notaremos por fy , tal que su valor, en cualquier punto (x , y) del dominio
de f , está dado por
fy (x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
, (3)
siempre que este límite existe.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 18
Funciones Diferenciables
Derivadas parciales: Sea f una función de dos variables x y y . La derivada
parcial de f con respecto a x es aquella función, que notaremos por fx , tal
que su valor, en cualquier punto (x , y) del dominio de f , está dado por
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
, (2)
siempre que este límite existe.
De igual forma, la derivada parcial de f con respecto a y es aquella función,
que notaremos por fy , tal que su valor, en cualquier punto (x , y) del dominio
de f , está dado por
fy (x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
, (3)
siempre que este límite existe.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 18
Funciones Diferenciables
Derivadas parciales: Sea f una función de dos variables x y y . La derivada
parcial de f con respecto a x es aquella función, que notaremos por fx , tal
que su valor, en cualquier punto (x , y) del dominio de f , está dado por
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
, (2)
siempre que este límite existe.
De igual forma, la derivada parcial de f con respecto a y es aquella función,
que notaremos por fy , tal que su valor, en cualquier punto (x , y) del dominio
de f , está dado por
fy (x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
,
(3)
siempre que este límite existe.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 18
Funciones Diferenciables
Derivadas parciales: Sea f una función de dos variables x y y . La derivada
parcial de f con respecto a x es aquella función, que notaremos por fx , tal
que su valor, en cualquier punto (x , y) del dominio de f , está dado por
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
, (2)
siempre que este límite existe.
De igual forma, la derivada parcial de f con respecto a y es aquella función,
que notaremos por fy , tal que su valor, en cualquier punto (x , y) del dominio
de f , está dado por
fy (x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
, (3)
siempre que este límite existe.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 18
Funciones Diferenciables
Otras notaciones:
∂f
∂x
,
∂f
∂y
, D1f , D2f .
Ejemplo: Dada f (x , y) = 3x2 − 2xy + y2, hallar: fx y fy .
Solución: Por la definición tenemos
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
= lim
∆x→0
3(x + ∆x)2 − 2(x + ∆x)y + y2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆x
= lim
∆x→0
3x2 + 6x∆x + 3(∆x)2 − 2xy − 2y∆x + y2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆x
= lim
∆x→0
6x∆x + 3(∆x)2 − 2y(∆x)
∆x
= lim
∆x→0
(6x + 3∆x − 2y)
= 6x − 2y
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 15 / 18
Funciones Diferenciables
Otras notaciones:
∂f
∂x
,
∂f
∂y
, D1f , D2f .
Ejemplo: Dada f (x , y) = 3x2 − 2xy + y2, hallar: fx y fy .
Solución: Por la definición tenemos
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
= lim
∆x→0
3(x + ∆x)2 − 2(x + ∆x)y + y2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆x
= lim
∆x→0
3x2 + 6x∆x + 3(∆x)2 − 2xy − 2y∆x + y2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆x
= lim
∆x→0
6x∆x + 3(∆x)2 − 2y(∆x)
∆x
= lim
∆x→0
(6x + 3∆x − 2y)
= 6x − 2y
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 15 / 18
Funciones Diferenciables
Otras notaciones:
∂f
∂x
,
∂f
∂y
, D1f , D2f .
Ejemplo: Dada f (x , y) = 3x2 − 2xy + y2, hallar: fx y fy .
Solución: Por la definición tenemos
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
= lim
∆x→0
3(x + ∆x)2 − 2(x + ∆x)y + y2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆x
= lim
∆x→0
3x2 + 6x∆x + 3(∆x)2 − 2xy − 2y∆x + y2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆x
= lim
∆x→0
6x∆x + 3(∆x)2 − 2y(∆x)
∆x
= lim
∆x→0
(6x + 3∆x − 2y)
= 6x − 2y
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Funciones Diferenciables
Otras notaciones:
∂f
∂x
,
∂f
∂y
, D1f , D2f .
Ejemplo: Dada f (x , y) = 3x2 − 2xy + y2, hallar: fx y fy .
Solución: Por la definición tenemos
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
= lim
∆x→0
3(x + ∆x)2 − 2(x + ∆x)y + y2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆x
= lim
∆x→0
3x2 + 6x∆x + 3(∆x)2 − 2xy − 2y∆x + y2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆x
= lim
∆x→0
6x∆x + 3(∆x)2 − 2y(∆x)
∆x
= lim
∆x→0
(6x + 3∆x − 2y)
= 6x − 2y
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Funciones Diferenciables
Otras notaciones:
∂f
∂x
,
∂f
∂y
, D1f , D2f .
Ejemplo: Dada f (x , y) = 3x2 − 2xy + y2, hallar: fx y fy .
Solución: Por la definición tenemos
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
= lim
∆x→0
3(x + ∆x)2 − 2(x + ∆x)y + y2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆x
= lim
∆x→0
3x2 + 6x∆x + 3(∆x)2 − 2xy − 2y∆x + y2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆x
= lim
∆x→0
6x∆x + 3(∆x)2 − 2y(∆x)
∆x
= lim
∆x→0
(6x + 3∆x − 2y)
= 6x − 2y
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 15 / 18
Funciones Diferenciables
Otras notaciones:
∂f
∂x
,
∂f
∂y
, D1f , D2f .
Ejemplo: Dada f (x , y) = 3x2 − 2xy + y2, hallar: fx y fy .
Solución: Por la definición tenemos
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
= lim
∆x→0
3(x + ∆x)2 − 2(x + ∆x)y + y2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆x
= lim
∆x→0
3x2 + 6x∆x + 3(∆x)2 − 2xy − 2y∆x + y2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆x
= lim
∆x→0
6x∆x + 3(∆x)2 − 2y(∆x)
∆x
= lim
∆x→0
(6x + 3∆x − 2y)
= 6x − 2y
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 15 / 18
Funciones Diferenciables
Otras notaciones:
∂f
∂x
,
∂f
∂y
, D1f , D2f .
Ejemplo: Dada f (x , y) = 3x2 − 2xy + y2, hallar: fx y fy .
Solución: Por la definición tenemos
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
= lim
∆x→0
3(x + ∆x)2 − 2(x + ∆x)y + y2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆x
= lim
∆x→0
3x2 + 6x∆x + 3(∆x)2 − 2xy − 2y∆x + y2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆x
= lim
∆x→0
6x∆x + 3(∆x)2 − 2y(∆x)
∆x
= lim
∆x→0
(6x + 3∆x − 2y)
= 6x − 2y
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 15 / 18
Funciones Diferenciables
Otras notaciones:
∂f
∂x
,
∂f
∂y
, D1f , D2f .
Ejemplo: Dada f (x , y) = 3x2 − 2xy + y2, hallar: fx y fy .
Solución: Por la definición tenemos
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
= lim
∆x→0
3(x + ∆x)2 − 2(x + ∆x)y + y2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆x
= lim
∆x→0
3x2 + 6x∆x + 3(∆x)2 − 2xy − 2y∆x + y2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆x
= lim
∆x→0
6x∆x + 3(∆x)2 − 2y(∆x)
∆x
= lim
∆x→0
(6x + 3∆x − 2y)
= 6x − 2y
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 15 / 18
Funciones Diferenciables
Otras notaciones:
∂f
∂x
,
∂f
∂y
, D1f , D2f .
Ejemplo: Dada f (x , y) = 3x2 − 2xy + y2, hallar: fx y fy .
Solución: Por la definición tenemos
fx (x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
= lim
∆x→0
3(x + ∆x)2 − 2(x + ∆x)y + y2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆x
= lim
∆x→0
3x2 + 6x∆x + 3(∆x)2 − 2xy − 2y∆x + y2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆x
= lim
∆x→0
6x∆x + 3(∆x)2 − 2y(∆x)
∆x
= lim
∆x→0
(6x + 3∆x − 2y)
= 6x − 2y
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 15 / 18
Funciones Diferenciables
fy (x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2x(y + ∆y) + (y + ∆y)2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2xy − 2x∆y + y2 + 2y∆y + (∆y)2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆y
= lim
∆x→0
−2x∆y + 2y∆y + (∆y)2
∆y
= lim
∆x→0
(−2x + 2y + ∆y)
= −2x + 2y .
Luego D1f (3,−2) = 22.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 16 / 18
Funciones Diferenciables
fy (x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2x(y + ∆y) + (y + ∆y)2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2xy − 2x∆y +y2 + 2y∆y + (∆y)2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆y
= lim
∆x→0
−2x∆y + 2y∆y + (∆y)2
∆y
= lim
∆x→0
(−2x + 2y + ∆y)
= −2x + 2y .
Luego D1f (3,−2) = 22.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 16 / 18
Funciones Diferenciables
fy (x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2x(y + ∆y) + (y + ∆y)2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2xy − 2x∆y + y2 + 2y∆y + (∆y)2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆y
= lim
∆x→0
−2x∆y + 2y∆y + (∆y)2
∆y
= lim
∆x→0
(−2x + 2y + ∆y)
= −2x + 2y .
Luego D1f (3,−2) = 22.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 16 / 18
Funciones Diferenciables
fy (x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2x(y + ∆y) + (y + ∆y)2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2xy − 2x∆y + y2 + 2y∆y + (∆y)2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆y
= lim
∆x→0
−2x∆y + 2y∆y + (∆y)2
∆y
= lim
∆x→0
(−2x + 2y + ∆y)
= −2x + 2y .
Luego D1f (3,−2) = 22.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 16 / 18
Funciones Diferenciables
fy (x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2x(y + ∆y) + (y + ∆y)2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2xy − 2x∆y + y2 + 2y∆y + (∆y)2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆y
= lim
∆x→0
−2x∆y + 2y∆y + (∆y)2
∆y
= lim
∆x→0
(−2x + 2y + ∆y)
= −2x + 2y .
Luego D1f (3,−2) = 22.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 16 / 18
Funciones Diferenciables
fy (x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2x(y + ∆y) + (y + ∆y)2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2xy − 2x∆y + y2 + 2y∆y + (∆y)2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆y
= lim
∆x→0
−2x∆y + 2y∆y + (∆y)2
∆y
= lim
∆x→0
(−2x + 2y + ∆y)
= −2x + 2y .
Luego D1f (3,−2) = 22.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 16 / 18
Funciones Diferenciables
fy (x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2x(y + ∆y) + (y + ∆y)2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2xy − 2x∆y + y2 + 2y∆y + (∆y)2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆y
= lim
∆x→0
−2x∆y + 2y∆y + (∆y)2
∆y
= lim
∆x→0
(−2x + 2y + ∆y)
= −2x + 2y .
Luego D1f (3,−2) = 22.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 16 / 18
Funciones Diferenciables
fy (x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2x(y + ∆y) + (y + ∆y)2 − (3x2 − 2xy + y2)
∆y
= lim
∆x→0
3x2 − 2xy − 2x∆y + y2 + 2y∆y + (∆y)2 − 3x2 + 2xy − y2)
∆y
= lim
∆x→0
−2x∆y + 2y∆y + (∆y)2
∆y
= lim
∆x→0
(−2x + 2y + ∆y)
= −2x + 2y .
Luego D1f (3,−2) = 22.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 16 / 18
Funciones Diferenciables
Ejemplo 1:
Sea f (x , y) = 2x3y5 − 4xy2 + 8y , determinar fx , fy . Para hallar fx debemos
mantemer a y como constante, y para hallar fy se mantiene a x como
constante, por tanto tenemos
fx = 6x2y5 − 4y2, fy = 10x3y4 − 8xy + 8.
Ejemplo 2 Sea f (x , y) = 5x2y3 − 3x2y5, entonces
fx = 10xy3 − 6xy5, fy = 15x2y2 − 15x2y4.
Ejemplo 3 Sea f (x , y) = 3x3 − 4x2y + 3xy2 + sin xy2, determinar fx , fy .
fx = 9x2 − 8xy + 3y2 + y2 cos xy2, fy = −4x2 + 6xy + 2xy cos xy2.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 17 / 18
Funciones Diferenciables
Ejemplo 1:
Sea f (x , y) = 2x3y5 − 4xy2 + 8y , determinar fx , fy . Para hallar fx debemos
mantemer a y como constante, y para hallar fy se mantiene a x como
constante, por tanto tenemos
fx = 6x2y5 − 4y2, fy = 10x3y4 − 8xy + 8.
Ejemplo 2 Sea f (x , y) = 5x2y3 − 3x2y5, entonces
fx = 10xy3 − 6xy5, fy = 15x2y2 − 15x2y4.
Ejemplo 3 Sea f (x , y) = 3x3 − 4x2y + 3xy2 + sin xy2, determinar fx , fy .
fx = 9x2 − 8xy + 3y2 + y2 cos xy2, fy = −4x2 + 6xy + 2xy cos xy2.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 17 / 18
Funciones Diferenciables
Ejemplo 1:
Sea f (x , y) = 2x3y5 − 4xy2 + 8y , determinar fx , fy . Para hallar fx debemos
mantemer a y como constante, y para hallar fy se mantiene a x como
constante, por tanto tenemos
fx = 6x2y5 − 4y2, fy = 10x3y4 − 8xy + 8.
Ejemplo 2 Sea f (x , y) = 5x2y3 − 3x2y5, entonces
fx = 10xy3 − 6xy5, fy = 15x2y2 − 15x2y4.
Ejemplo 3 Sea f (x , y) = 3x3 − 4x2y + 3xy2 + sin xy2, determinar fx , fy .
fx = 9x2 − 8xy + 3y2 + y2 cos xy2, fy = −4x2 + 6xy + 2xy cos xy2.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 17 / 18
Funciones Diferenciables
Ejemplo 1:
Sea f (x , y) = 2x3y5 − 4xy2 + 8y , determinar fx , fy . Para hallar fx debemos
mantemer a y como constante, y para hallar fy se mantiene a x como
constante, por tanto tenemos
fx = 6x2y5 − 4y2, fy = 10x3y4 − 8xy + 8.
Ejemplo 2 Sea f (x , y) = 5x2y3 − 3x2y5, entonces
fx = 10xy3 − 6xy5, fy = 15x2y2 − 15x2y4.
Ejemplo 3 Sea f (x , y) = 3x3 − 4x2y + 3xy2 + sin xy2, determinar fx , fy .
fx = 9x2 − 8xy + 3y2 + y2 cos xy2, fy = −4x2 + 6xy + 2xy cos xy2.
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Funciones Diferenciables
Ejemplo 1:
Sea f (x , y) = 2x3y5 − 4xy2 + 8y , determinar fx , fy . Para hallar fx debemos
mantemer a y como constante, y para hallar fy se mantiene a x como
constante, por tanto tenemos
fx = 6x2y5 − 4y2, fy = 10x3y4 − 8xy + 8.
Ejemplo 2 Sea f (x , y) = 5x2y3 − 3x2y5, entonces
fx = 10xy3 − 6xy5, fy = 15x2y2 − 15x2y4.
Ejemplo 3 Sea f (x , y) = 3x3 − 4x2y + 3xy2 + sin xy2, determinar fx , fy .
fx = 9x2 − 8xy + 3y2 + y2 cos xy2, fy = −4x2 + 6xy + 2xy cos xy2.
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Funciones Diferenciables
Ejemplo 1:
Sea f (x , y) = 2x3y5 − 4xy2 + 8y , determinar fx , fy . Para hallar fx debemos
mantemer a y como constante, y para hallar fy se mantiene a x como
constante, por tanto tenemos
fx = 6x2y5 − 4y2, fy = 10x3y4 − 8xy + 8.
Ejemplo 2 Sea f (x , y) = 5x2y3 − 3x2y5, entonces
fx = 10xy3 − 6xy5, fy = 15x2y2 − 15x2y4.
Ejemplo 3 Sea f (x , y) = 3x3 − 4x2y + 3xy2 + sin xy2, determinar fx , fy .
fx = 9x2 − 8xy + 3y2 + y2 cos xy2, fy = −4x2 + 6xy + 2xy cos xy2.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 17 / 18
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