Semana_13 Calculo vectorial

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William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Departamento de Ciencias Naturales y Exactas
Notas de clase: Cálculo Vectorial
Notas de clase: Cálculo Vectorial
William Raḿırez
Mileydis De La Hoz
Ronal Barrios
Universidad de la Costa C.U.C
Julio 2020
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Momentos y centro de masa
Momentos y centro de masa para placas planas delgadas:
Consideremos el problema de calcular el centro de masa de una
placa plana y delgada: un disco de aluminio o una lámina
triangular de metal. Supondremos que la distribución de masa
en la placa es continua. La función densidad de un material,
denotado como ρ(x , y), es la masa por unidad de área.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Momentos y centro de masa
Momentos y centro de masa para placas planas delgadas:
Consideremos el problema de calcular el centro de masa de una
placa plana y delgada: un disco de aluminio o una lámina
triangular de metal. Supondremos que la distribución de masa
en la placa es continua. La función densidad de un material,
denotado como ρ(x , y), es la masa por unidad de área.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Momentos y centro de masa
Masa de una figura plana:
Se escoge un punto arbitrario de la región (xi , yi ) ∈ R en el
plano xy , entonces la masa de ese subrectángulo se obtiene
como:
Mij = ρ(xi , yj) M Aij .
Por lo tanto, la masa de la placa plana de área A, se puede
estimar mediante la doble suma
M ≈
n∑
i=1
n∑
j=1
ρ(xi , yj) M Aij .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Momentos y centro de masa
Masa de una figura plana:
Se escoge un punto arbitrario de la región (xi , yi ) ∈ R en el
plano xy , entonces la masa de ese subrectángulo se obtiene
como:
Mij = ρ(xi , yj) M Aij .
Por lo tanto, la masa de la placa plana de área A, se puede
estimar mediante la doble suma
M ≈
n∑
i=1
n∑
j=1
ρ(xi , yj) M Aij .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Momentos y centro de masa
Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la
norma de la partición P tienda a cero, se tiene:
M ≈ lim
||P||→0
n∑
i=1
n∑
j=1
ρ(xi , yj) M Aij =
∫ ∫
R
ρ(x , y)dA.
Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene:
Definición 0.1
Considere una lámina plana de densidad variable ρ(x , y), que
ocupa una región R en el plano xy , entonces su masa,
denotada por M, está dada por:
M =
∫ ∫
R
ρ(x , y)dxdy .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Momentos y centro de masa
Ejemplo.
Determina la masa de la placa limitada por las curvas
x = y2 − 1, x = 2y2 − 2, cuya densidad es igual a la unidad.
Solución: Sea ρ(x , y) = 1, entonces tracemos la región limitada
por las curvas:
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Momentos y centro de masa
Ejemplo.
Determina la masa de la placa limitada por las curvas
x = y2 − 1, x = 2y2 − 2, cuya densidad es igual a la unidad.
Solución: Sea ρ(x , y) = 1, entonces tracemos la región limitada
por las curvas:
William
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La Hoz
Ronal Barrios
Momentos y centro de masa
Entonces la región R está definida como
R =
{
(x , y)/ 2y2 − 2 ≤ x ≤ y2 − 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1
}
.
Por lo tanto
M =
∫ 1
−1
∫ y2−1
2y2−2
dxdy
=
∫ 1
−1
(1− y2)dy
=
4
3
.
William
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Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Momentos y centro de masa
Momentos estáticos de figuras planas:
El momento estático de una part́ıcula alrededor de un eje se
define como el producto de su masa y la distancia que la separa
de ese eje.
Teniendo en cuenta que la región está en el plano xy , el
momento estático alrededor del eje x , para cada subrectángulo
Rij , denotado como Mxij , viene dado por:
Mxij = yjρ(xi , yj) M Aij .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Momentos y centro de masa
Momentos estáticos de figuras planas:
El momento estático de una part́ıcula alrededor de un eje se
define como el producto de su masa y la distancia que la separa
de ese eje.
Teniendo en cuenta que la región está en el plano xy , el
momento estático alrededor del eje x , para cada subrectángulo
Rij , denotado como Mxij , viene dado por:
Mxij = yjρ(xi , yj) M Aij .
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La Hoz
Ronal Barrios
Momentos y centro de masa
Sumando el momento estático alrededor del eje x para cada
subrectángulo, se tiene que
Mx ≈
n∑
i=1
n∑
j=1
yjρ(xi , yj) M Aij .
Mx ≈ lim
||P||→0
n∑
i=1
n∑
j=1
yjρ(xi , yj) M Aij =
∫ ∫
R
yρ(x , y)dA.
Análogamente, el momento estático alrededor del eje y, que se
denota por My , se obtiene como:
My ≈ lim
||P||→0
n∑
i=1
n∑
j=1
xiρ(xi , yj) M Aij =
∫ ∫
R
xρ(x , y)dA.
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Momentos y centro de masa
Definición:
Sea R una región en el plano xy , tal que su densidad viene
dada por la función ρ : R2 −→ R, la cual es continua para todo
(x , y) en R, entonces el momento estático alrededor del eje x ,
denotado por Mx , se obtiene como:
Mx =
∫ ∫
R
yρ(x , y)dA.
Mientras que el momento estático alrededor del eje y ,
denotado My , se calcula como:
My =
∫ ∫
R
xρ(x , y)dA.
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La Hoz
Ronal Barrios
Momentos y centro de masa
Ejemplo.
Determine los momentos estáticos de la placa limitada por las
curvas x = y2 − 1, x = 2y2 − 2, cuya densidad es igual a la
unidad.
Solución: Sea ρ(x , y) = 1, entonces tracemos la región limitada
por las curvas:
William
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Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Momentos y centro de masa
Ejemplo.
Determine los momentos estáticos de la placa limitada por las
curvas x = y2 − 1, x = 2y2 − 2, cuya densidad es igual a la
unidad.
Solución: Sea ρ(x , y) = 1, entonces tracemos la región limitada
por las curvas:
William
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La Hoz
Ronal Barrios
Momentos y centro de masa
Los momentos estáticos se calculan por las fórmulas:
Mx =
∫ ∫
R yρ(x , y)dA ∧ My =
∫ ∫
R xρ(x , y)dA.
Entonces,
Mx =
∫ 1
−1
∫ y2−1
2y2−2
ydxdy
=
∫ 1
−1
y(1− y2)dy
= 0.
My =
∫ 1
−1
∫ y2−1
2y2−2
xdxdy
=
∫ 1
−1
(
−3
2
y2 + 3y2 − 3
2
)dy
= −8
5
.
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Ronal Barrios
Centro de masa
El centro de gravedad también llamado centro de masa de una
figura plana R, en un punto P de coordenadas (x , y) en R, en
el cual la región se equilibra horizontalmente. Las coordenadas
de ese punto se obtienen por las ecuaciones:
x =
My
M
,
y =
Mx
M
.
Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos
estáticos se calculan por medio de integrales dobles.
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La Hoz
Ronal Barrios
Centro de masa
Definición:
Sea R una región del plano xy , tal que su densidad viene dada
por la función ρ : R2 → R, la cual es continua para todo (x , y)
en R, entonces el centro de masa viene dado por:
x =
1
M
∫ ∫
R
xρ(x , y)dA,
y =
1
M
∫ ∫
R
yρ(x , y)dA.
Donde M es la masa de la placa R, que se obtiene como∫ ∫
R
ρ(x , y)dA.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Centro de masa
Definición:
Sea R una región del plano xy , tal que su densidad viene dada
por la función ρ : R2 → R, la cual es continua para todo (x , y)
en R, entonces el centro de masa viene dado por:
x =
1
M
∫ ∫
R
xρ(x , y)dA,
y =
1
M
∫ ∫
R
yρ(x , y)dA.
Donde M es la masa de la placa R, que se obtiene como∫ ∫
R
ρ(x , y)dA.
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La Hoz
Ronal Barrios
Centro de masa
Ejemplo:
determine el centro de masa de la placa plana limitada por las
curvas x = y2 − 1, x = 2y2 − 2, cuya densidad es igual a la
unidad.
Solución:
Tomando los resultados anteriores
x =
My
M
= −6
5
,
y =
Mx
M
= 0.
Entonces P(−66 , 0)
William
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Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Centro de masa
Ejemplo:
determine el centro de masa de la placa plana limitada por las
curvas x = y2 − 1, x = 2y2 − 2, cuya densidad es igual a la
unidad.
Solución:
Tomando los resultados anteriores
x =
My
M
= −6
5
,
y =
Mx
M
= 0.
Entonces P(−66 , 0)
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Mileydis De
La Hoz
Ronal BarriosCentro de masa
Gráfica:
William
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Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Centro de masa
Gráfica:
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Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Centro de masa
Ejemplos:
1 Determine la masa, momentos estáticos y centro de masa
de la placa limitada por las curvas
y =
3
2
x2 − 6x + 4 ∧ y = 2|x − 2|,
cuya densidad vaŕıa de acuerdo a la función
ρ(x , y) = 1 + 2x .
2 Determine el centro de masa de una placa delgada de
densidad ρ = 3 acotada por las rectas x = 0, y = x , y la
parábola y = 2− x2 en el primer cuadrante.
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La Hoz
Ronal Barrios
Centro de masa
Ejemplos:
1 Determine la masa, momentos estáticos y centro de masa
de la placa limitada por las curvas
y =
3
2
x2 − 6x + 4 ∧ y = 2|x − 2|,
cuya densidad vaŕıa de acuerdo a la función
ρ(x , y) = 1 + 2x .
2 Determine el centro de masa de una placa delgada de
densidad ρ = 3 acotada por las rectas x = 0, y = x , y la
parábola y = 2− x2 en el primer cuadrante.
William
Raḿırez
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La Hoz
Ronal Barrios
Momentos de inercia
El momento de inercia de una part́ıcula alrededor de un eje se
define como el producto de su masa y el cuadrado de la
distancia que la separa de ese eje y se considera como una
medida de la oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él
una fuerza de rotación. Los segundos momentos más
importantes son los momentos de inercia alrededor de los ejes
coordenados y del origen.
El procedimiento para obtener los momentos en forma de
integrales dobles es similar a los momentos estáticos, por lo
tanto, el momento de inercia de una placa R alrededor al eje x
se denota Ix , se calcula como
Ix = lim
||P||→0
n∑
i=1
n∑
j=1
(yj)
2ρ(xi , yj) M Aij =
∫ ∫
R
y2ρ(x , y)dA.
William
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La Hoz
Ronal Barrios
Momentos de inercia
Análogamente, el momento de inercia alrededor del eje y se
denota como Iy y se obtiene como
Iy = lim
||P||→0
n∑
i=1
n∑
j=1
(xi )
2ρ(xi , yj) M Aij =
∫ ∫
R
x2ρ(x , y)dA.
La suma de estos dos momentos se conocen como momentos
de inercia alrededor del origen I0
I0 = lim
||P||→0
n∑
i=1
n∑
j=1
[(xi )
2+(yj)
2]ρ(xi , yj) M Aij =
∫ ∫
R
(x2+y2)ρ(x , y)dA.
William
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La Hoz
Ronal Barrios
Momentos de inercia
Definición:
sea R una región del plano xy , tal que su densidad viene dada
por la función ρ : R2 −→ R, la cual es continua para todo
(x , y) en R, entonces los momentos de inercia alrededor de los
ejes x y y , denotados por Ix e Iy , se obtienen como:
Ix =
∫ ∫
R
y2ρ(x , y)dA
y
Iy =
∫ ∫
R
x2ρ(x , y)dA
El momento polar de inercia, I0, es
I0 =
∫ ∫
R
(x2 + y2)ρ(x , y)dA.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Momentos de inercia
Definición:
sea R una región del plano xy , tal que su densidad viene dada
por la función ρ : R2 −→ R, la cual es continua para todo
(x , y) en R, entonces los momentos de inercia alrededor de los
ejes x y y , denotados por Ix e Iy , se obtienen como:
Ix =
∫ ∫
R
y2ρ(x , y)dA
y
Iy =
∫ ∫
R
x2ρ(x , y)dA
El momento polar de inercia, I0, es
I0 =
∫ ∫
R
(x2 + y2)ρ(x , y)dA.
William
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La Hoz
Ronal Barrios
Momentos de inercia
Radios de giro:
1 Con respecto al eje x : Rx =
√
Ix
M .
2 Con respecto al eje y : Ry =
√
Iy
M .
3 Con respecto al origen: R0 =
√
I0
M .
William
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La Hoz
Ronal Barrios
Momentos de inercia
Ejemplos:
1 calcula los momentos de inercia y radios de giro del
ejemplo anterior..
2 Calcule el momento de inercia y el radio de giro de una
plca delgada con respecto al eje x , acotada por la parábola
x = y − y2 y la recta x + y = 0 si ρ(x , y) = x + y .
3 Determine el centro de masa y el momento de inercia de
una placa delgada, con respecto al eje x , acotada por las
curvas x = y2 y x = 2y − y2 si la densidad en el punto
(x , y) es ρ(x , y) = 1 + y .
4 Determine el centro de masa, el momento de inercia y el
radio de giro de una placa delgada, con respecto al eje y ,
acotada por la recta y = 1 y la parábola y = x2 si
ρ(x , y) = y + 1.
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La Hoz
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Momentos de inercia
Ejemplos:
1 calcula los momentos de inercia y radios de giro del
ejemplo anterior..
2 Calcule el momento de inercia y el radio de giro de una
plca delgada con respecto al eje x , acotada por la parábola
x = y − y2 y la recta x + y = 0 si ρ(x , y) = x + y .
3 Determine el centro de masa y el momento de inercia de
una placa delgada, con respecto al eje x , acotada por las
curvas x = y2 y x = 2y − y2 si la densidad en el punto
(x , y) es ρ(x , y) = 1 + y .
4 Determine el centro de masa, el momento de inercia y el
radio de giro de una placa delgada, con respecto al eje y ,
acotada por la recta y = 1 y la parábola y = x2 si
ρ(x , y) = y + 1.
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Centro de masa
Fórmulas:
En caso que la región sea tridimensional, es decir; un sólido en
el espacio tenemos:
1 Masa de un sólido en el espacio:
M =
∫ ∫ ∫
B
ρ(x , y , z)dV .
2 Momentos estáticos de un sólido en el espacio:
1 Mxy =
∫ ∫ ∫
B
zρ(x , y , z)dV .
2 Myz =
∫ ∫ ∫
B
xρ(x , y , z)dV .
3 Mxz =
∫ ∫ ∫
B
yρ(x , y , z)dV .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Centro de masa
Fórmulas:
En caso que la región sea tridimensional, es decir; un sólido en
el espacio tenemos:
1 Masa de un sólido en el espacio:
M =
∫ ∫ ∫
B
ρ(x , y , z)dV .
2 Momentos estáticos de un sólido en el espacio:
1 Mxy =
∫ ∫ ∫
B
zρ(x , y , z)dV .
2 Myz =
∫ ∫ ∫
B
xρ(x , y , z)dV .
3 Mxz =
∫ ∫ ∫
B
yρ(x , y , z)dV .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Centro de masa
Fórmulas:
1 Centro de masa de un sólido del espacio: P(x , y , z)
1 x =
1
M
∫ ∫ ∫
B
xρ(x , y , z)dV .
2 y =
1
M
∫ ∫ ∫
B
yρ(x , y , z)dV .
3 z =
1
M
∫ ∫ ∫
B
zρ(x , y , z)dV .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Centro de masa
Fórmulas:
1 Centro de masa de un sólido del espacio: P(x , y , z)
1 x =
1
M
∫ ∫ ∫
B
xρ(x , y , z)dV .
2 y =
1
M
∫ ∫ ∫
B
yρ(x , y , z)dV .
3 z =
1
M
∫ ∫ ∫
B
zρ(x , y , z)dV .
William
Raḿırez
Mileydis De
La Hoz
Ronal Barrios
Centro de masa
Fórmulas:
1 Momentos de inercia:
1 Ix =
∫ ∫ ∫
B
(y2 + z2)ρ(x , y , z)dV .
2 Iy =
∫ ∫ ∫
B
(x2 + z2)ρ(x , y , z)dV .
3 Iz =
∫ ∫ ∫
B
(x2 + y2)ρ(x , y , z)dV .
2 Momento polar de inercia:
I0 =
∫ ∫ ∫
B
(x2 + y2 + z2)ρ(x , y , z)dV .
Ejercicio: El cubo [1, 2]× [1, 2]× [1, 2] tiene densidad de masa
ρ(x , y , z) = (1 + x)ezy . Hallar la masa de la caja.
William
Raḿırez
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Centro de masa
Fórmulas:
1 Momentos de inercia:
1 Ix =
∫ ∫ ∫
B
(y2 + z2)ρ(x , y , z)dV .
2 Iy =
∫ ∫ ∫
B
(x2 + z2)ρ(x , y , z)dV .
3 Iz =
∫ ∫ ∫
B
(x2 + y2)ρ(x , y , z)dV .
2 Momento polar de inercia:
I0 =
∫ ∫ ∫
B
(x2 + y2 + z2)ρ(x , y , z)dV .
Ejercicio: El cubo [1, 2]× [1, 2]× [1, 2] tiene densidad de masa
ρ(x , y , z) = (1 + x)ezy . Hallar la masa de la caja.
William
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