Semana 14 Calculo vectorial

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SEMANA 14
Integrales de línea, integrales de línea por trayectoria y trabajo.
Integrales de línea 
• Introducción:
Queremos calcular la masa de varillas o cables a lo largo de una curva
en el plano o en el espacio, o bien determinar el trabajo realizado por
una fuerza variable que actúa a lo largo de tal curva. Para estos cálculos
necesitamos un concepto de integral más general que el de integración
sobre un segmento de recta en el eje x. Ahora necesitamos integrar
sobre una curva C en el plano o en el espacio. Estas integrales, que son
más generales, se conocen como integrales de línea, aunque el nombre
integrales “curvas” sería más descriptivo.
Supongamos que es una función con valores reales y que
queremos integrar a lo largo de la curva
, que se encuentra en el dominio de . Integraremos esta función con
respecto a la longitud de arco desde hasta . Para empezar,
dividimos la curva en un número finito n de subarcos. El subarco típico tiene
una longitud . En cada subarco escogemos un punto
formamos la suma:
Si f una función continua y las funciones g, h y k tienen una primera
derivada continua, entonces
∆ →
A este límite se le conoce como la integral de línea de sobre la curva,
desde a hasta b. Si la curva la denotamos con la letra C, entonces la
notación de la integral es
“la integral de f sobre C”
Si es una curva regular para podemos usar la ecuación
donde .
INTEGRAL DE TRAYECTORIA 
Definición: La integral de trayectoria o integral de a lo largo
de la trayectoria , está definida cuando con
primera derivada continua y cuando la función compuesta
es continua en I. definimos la integral por la
ecuación
A veces, se denota por 
ó
Ejemplo 
Sea la hélice , , y sea 
. Evaluar la integral .
Solución 
Sea , entonces .
Luego, 
Por otro lado, 
Ejercicios: 
1. Calcule , donde es la curva descrita por la parametrización 
con .
2. Determine :
• .
•
Definición: Sea F un campo vectorial en que sea continuo sobre
la primera derivada de la trayectoria, . Definimos
, la integral de línea de a lo largo de , por la
fórmula
Esto es, integramos el producto punto de con sobre el intervalo
Otra forma de representar esta integral es por el vector tangente
unitario, es decir, que para
Ejemplo: 
Sea , con . Sea 
Calcular .
Solución: 
Nota: 
Sea , donde son las 
componentes del campo vectorial ,
Ejemplo: 
Evaluar , donde esta dada por 
.
Solución:
Sea y , entonces 
:
EJERCICIO 
• Evaluar , donde y 
.
• Evaluar , donde y 
Trabajo realizado por una fuerza sobre una curva 
en el espacio
Suponga que el campo vectorial representa una fuerza a través de
una región en el espacio (puede ser la fuerza de gravedad o una fuerza
electromagnética) y también que
es una curva regular en la misma región. Entonces, la integral de ,
es decir, del componente escalar de en la dirección del vector
unitario tangente a la curva, es el trabajo realizado por sobre la curva
desde hasta (figura).
Definición: Trabajo realizado sobre una curva 
regular
El trabajo realizado por una fuerza sobre una curva
regular desde hasta
Para deducir la fórmula (trabajo realizado por una fuerza
continua de magnitud dirigida a lo largo de un intervalo en el eje x).
dividimos la curva en pequeños segmentos, aplicamos la fórmula para el
trabajo (fuerza constante) x (distancia) para aproximar el trabajo realizado
en cada segmento de la curva, sumamos todos los resultados para
aproximar al trabajo realizado sobre toda la curva, y calculamos el trabajo
como el límite de las sumas aproximantes cuando los segmentos se hacen
cada vez más pequeños y más numerosos.
Si denota el valor de en el punto de la curva correspondiente
a y denota al vector unitario tangente a la curva en este
punto, entonces es el componente escalar de en la
dirección de en a .
El trabajo realizado por a lo largo de la curva , desde 
hasta , es aproximadamente
El trabajo realizado por a lo largo de la curva, desde hasta 
, es
Cuando la norma de la partición de tiende a cero, 
Seis maneras distintas para escribir la integral de 
trabajo
𝑊 = 𝐹. 𝑇 𝑑𝑠 𝐿𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛
 = 𝐹 𝑑𝑟 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑎
 = 𝐹.
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 𝑑𝑡 𝑃𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑡 𝑦 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 = 𝐹
𝑑𝑔
𝑑𝑡
+ 𝐹
𝑑ℎ
𝑑𝑡
+ 𝐹
𝑑𝑘
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
 = 𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝐹
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝐹
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐴𝑏𝑟𝑒𝑣𝑖𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑟
 = 𝐹 𝑑𝑥 + 𝐹 𝑑𝑦 + 𝐹 𝑑𝑧 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚ú𝑛
EJEMPLO 
Encuentre el trabajo realizado por 
sobre la curva , , hasta 
Solución 
Primero evaluamos sobre la curva:
Después encontramos ,
Por último, encontramos e integramos desde hasta 
De modo que 
Ejercicios: En los puntos 1 al 4 encuentre el trabajo
realizado por una fuerza F desde (0,0,0) hasta (1,1,1) sobre
cada una de las siguientes trayectorias:
a)La trayectoria recta
b)La trayectoria recta