Integrales Multiples - CalcVectorial_CIII

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Actividad Cálculo Vectorial - Integrales
Múltiples
Carlos Alfredo Perez Cassiani
1) Demostrar que :
1
2
∫(
0
3
∫ 𝑥2𝑦𝑑𝑥)𝑑𝑦 = 272
Sol:
a. Resolvemos la integral en dx:
●
1
2
∫(
0
3
∫ 𝑥2𝑦𝑑𝑥)𝑑𝑦 = 
1
2
∫ ( 𝑥
3
3 𝑦|0
3)𝑑𝑦
b. Resolvemos la integral en dy:
●
1
2
∫ ( 𝑥
3
3 𝑦|0
3)𝑑𝑦 =
1
2
∫ 9𝑦𝑑𝑦 
● =
1
2
∫ 9𝑦𝑑𝑦 = 9. 𝑦
2
2 |1
2 9( 42 −
1
2 )
c. Resolvemos la operación::
● ✅9( 42 −
1
2 ) ] = 9.
3
2 = 
27
2
2) Demostrar que:
0
4
∫(
1
4
∫ 6𝑥2𝑦 − 2𝑥 𝑑𝑥)𝑑𝑦 = 948
Sol:
d. Resolvemos la integral en dx:
●
0
4
∫( 6𝑥
3
3 − 
2𝑥2
2 )|1
4 𝑑𝑦 =
0
4
∫((2. 64𝑦 − 16) − (2𝑦 − 1 )) 𝑑𝑦 =
0
4
∫[ 126𝑦 − 15]𝑑𝑦 
e. Resolvemos la integral en dy:
○
0
4
∫(126𝑦 − 15)𝑑𝑦 = (126 𝑦
2
2 − 15𝑦)|0
4 = 1008 − 60 = 948 ✅ 
3) Resolver Integral Doble sobre región tipo II y demostrar que:
0
8
∫(
0
3 𝑦
∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥)𝑑𝑦 = 96
Sol:
●
0
8
∫(
0
3 𝑦
∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥)𝑑𝑦 = 
0
8
∫( 2𝑥
2
2 |0
3 𝑦𝑦)𝑑𝑦 
● = .y dy => .y dy => dy
0
8
∫( 2𝑥
2
2 |0
3 𝑦𝑦)𝑑𝑦
0
8
∫ ( 3 𝑦)
2
0
8
∫ 𝑦
2
3
0
8
∫ 𝑦
5
3
● dy = ⇒ ✅
0
8
∫ 𝑦
5
3 3
8 𝑦
8
3 |
0
8 38 (8)
8
3 = 96
4) Evalúe , donde R es la región acotada por las parábolas∫
𝑅
∫(𝑥 + 2𝑦)𝑑𝐴
.𝑦 = 2𝑥2 ∧ 𝑦 = 1 + 𝑥2 
Sol:
● Calcular las regiones:
○ Igualamos:
2𝑥2 = 1 + 𝑥2 
2𝑥2 − 𝑥2 = 1 + 𝑥2 − 𝑥2 
 𝑥2 = 1 
 𝑥 = 1 , 𝑥 = − 1 
𝑥 = 1 , 𝑥 = − 1
● Graficamos para obtener la intersección:
Obtenemos los puntos cuando :𝑦 = 2𝑥2 
x y
-1 2
0 0
1 2
Obtenemos los puntos cuando :𝑦 = 1 + 𝑥2 
x y
-1 2
0 1
1 2
Resolvemos:
−1
1
∫
2𝑥2
1+𝑥2
∫ (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥
●
−1
1
∫
2𝑥2
1+𝑥2
∫ (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥 = 
−1
1
∫ (𝑥𝑦 + 2 𝑦
2
2 )|2𝑥2
1+𝑥2
𝑑𝑥 
●
−1
1
∫ [(𝑥(1 + 𝑥2) + (1 + 𝑥2)
2
) − (𝑥(2𝑥2) + (2𝑥2)
2
) ] 𝑑𝑥 
●
−1
1
∫ [(𝑥3 + 𝑥4) − (2𝑥3 + 2𝑥4)] 𝑑𝑥 
● =[(𝑥3 + 𝑥4) − (2𝑥3 + 2𝑥4)] |
−1
1 [(2 − 4) ] = − 2
5) Evalúe la integral doble , sobre la región R acotada por las gráficas de y = 1, y∫
𝑅
∫ 𝑒𝑥+3𝑦𝑑𝐴
= 2, y = x∧ y = −x + 5
Sol:
● Calcular las regiones:
○ Igualamos:
6) Emplee la integral doble para determinar el área de la región acotada por las gráficas de
.𝑦 = 𝑥2 ∧ 𝑦 = 8 − 𝑥2