Integrales Triples- CalcVectorial_CIII

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Actividad Cálculo Vectorial - Integrales
Triples
Carlos Alfredo Perez Cassiani
1) Demostrar que :
0
3
∫ 
−1
2
∫ 
0
1
∫ 𝑥𝑦𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 274 
Sol:
➔ Resolvemos la integral en dx:
●
0
3
∫ 
−1
2
∫ ( 𝑥
2
2 |0
1𝑦𝑧2) 𝑑𝑦𝑑𝑧 =
0
3
∫ 
−1
2
∫ ( 𝑦𝑧
2
2 ) 𝑑𝑦𝑑𝑧
➔ Resolvemos la integral en dy:
●
0
3
∫( 12
𝑦2
2 |−1
2 𝑧2)𝑑𝑧 
● =>
0
3
∫ 12 (2 −
1
2 )𝑧
2𝑑𝑧 
● =>
0
3
∫( 34 𝑧
2)𝑑𝑧 
➔ Resolvemos la integral en dz:
● =34 (
𝑧3
3 |0
3) 34 (
27
3 ) 
➔ Resolvemos la operación::
● ✅34 (
27
3 ) = 
27
4
2) Demostrar que:
0
3
∫ 
0
1
∫ 
−1
2
∫ 𝑥𝑦𝑧2 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 = 274 
Sol:
➔ Resolvemos la integral en dy:
●
0
3
∫ 
0
1
∫( 𝑦
2
2 |−1
2 𝑥𝑧2) 𝑑𝑦𝑑𝑧 =
0
3
∫ 
0
1
∫ (2 − 12 ) 𝑥𝑧
2𝑑𝑦𝑑𝑧
➔ Resolvemos la integral en dx:
●
0
3
∫( 32
𝑥2
2 |0
1𝑧2)𝑑𝑧 =
0
3
∫ 34 𝑧
2𝑑𝑧 
➔ Resolvemos la integral en dz:
● =34 (
𝑧3
3 |0
3) 34 (
27
3 ) 
➔ Resolvemos la operación::
● ✅34 (
27
3 ) = 
27
4
3) Resolver Integral Triple sobre región tipo II:
0
1
∫ 
0
1−𝑥
∫ 
0
1−𝑥−𝑧
∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 
Sol:
● Resolvemos la integral en dy:
●
0
1
∫
0
1−𝑥
∫ (𝑥 𝑦
2
2 )|0
1−𝑥−𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑥 =
0
1
∫
0
1−𝑥
∫ 𝑥( 𝑥+𝑥
3+𝑥𝑧2−2𝑥2−2𝑥𝑧+2𝑥2𝑧
2 )𝑑𝑧𝑑𝑥 
● Resolvemos la integral en dz:
●
0
1
∫
0
1−𝑥
∫ ( 𝑥(1+𝑥
2+𝑧2−2𝑥−2𝑧+2𝑥𝑧)
2 )𝑑𝑧𝑑𝑥 
● =>
0
1
∫ 𝑥2 (𝑧 + 𝑥
2𝑧 + 𝑧
3
3 − 2𝑥𝑧 − 𝑧
2 + 𝑥𝑧2)|
0
1−𝑥𝑑𝑥 
● =>
0
1
∫( 3𝑥𝑧+3𝑥
3+𝑥𝑧3−6𝑥2𝑧−3𝑥𝑧2+3𝑥2𝑧2
6 )|0
1−𝑥𝑑𝑥 
● => (
0
1
∫ −𝑥
4+3𝑥3−3𝑥2+𝑥
6 )𝑑𝑥
● Resolvemos la integral en dx:
■
0
1
∫ 16 (− 𝑥
4 + 3𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑥
■
0
1
∫ 16 (−
𝑥5
5 +
3𝑥4
4 − 𝑥
3 + 𝑥
2
2 )𝑑𝑥
■
0
1
∫(− 𝑥
5
30 +
𝑥4
8 −
1
6 𝑥
3
+ 𝑥
2
12 )𝑑𝑥
■ (− 𝑥
5
30 +
𝑥4
8 −
1
6 𝑥
3
+ 𝑥
2
12 )|0
1
■ (− 130 +
1
8 −
1
6 1
3
+ 1
2
12 )
● Resolvemos la operación::
■ (− 130 +
1
8 −
1
6 1
3
+ 1
2
12 ) = −
1
120
3) Resolver Integral Triple sobre región tipo III:
0
1
∫ 
0
1−𝑦
∫ 
0
1−𝑦−𝑧
∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 
Sol:
● Resolvemos la integral en dy:
●
0
1
∫
0
1−𝑦
∫ (𝑦 𝑥
2
2 )|0
1−𝑦−𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑦 =
0
1
∫
0
1−𝑥
∫ 𝑦+𝑦
3+𝑦𝑧2−2𝑦2−2𝑦𝑧+2𝑦2𝑧
2 𝑑𝑧𝑑𝑦 
●
0
1
∫
0
1−𝑦
∫ 𝑦(1+𝑦
2+𝑧2−2𝑦 −2𝑧+2𝑦𝑧)
2 𝑑𝑧𝑑𝑦
●
0
1
∫
0
1−𝑦
∫ 𝑦2 (1 + 𝑦
2 + 𝑧2 − 2𝑦 − 2𝑧 + 2𝑦𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦
● Resolvemos la integral en dz:
●
0
1
∫ 𝑦2 [(𝑧 + 𝑦
2𝑧 + 𝑧
3
3 − 2𝑦𝑧 − 𝑧
2 + 𝑦𝑧2)]|
0
1−𝑦𝑑𝑦 
● =>
0
1
∫ [ (3𝑦𝑧+3𝑦
3𝑧+𝑦𝑧3−6𝑦2𝑧 −3𝑦𝑧2+3𝑦2𝑧2)
6 ]|0
1−𝑦𝑑𝑦
● =>
0
1
∫( 3𝑥(1−𝑧)+3𝑥
3+𝑥(1−𝑧)3−6𝑥2(1−𝑧)−3𝑥(1−𝑧)2+3𝑥2(1−𝑧)2
6 )𝑑𝑦 
● =>
0
1
∫ (−𝑦
4+3𝑦3−3𝑦2+𝑦)
6 𝑑𝑦
● Resolvemos la integral en dy:
■
0
1
∫ 16 (− 𝑦
4 + 3𝑦3 − 3𝑦2 + 𝑦)𝑑𝑦
■
0
1
∫ 16 (−
𝑦5
5 +
3𝑦4
4 − 𝑦
3 + 𝑦
2
2 )𝑑𝑦
■
0
1
∫(− 𝑦
5
30 +
𝑦4
8 −
1
6 𝑦
3
+ 𝑦
2
12 )𝑑𝑦
■ (− 𝑦
5
30 +
𝑦4
8 −
1
6 𝑦
3
+ 𝑦
2
12 )|0
1
■ (− 130 +
1
8 −
1
6 1
3
+ 1
2
12 )
● Resolvemos la operación:
■ (− 130 +
1
8 −
1
6 1
3
+ 1
2
12 ) = −
1
120