Taller semana 16

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UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
TALLER - CÁLCULO I (DIFERENCIAL)
Semana: 16
1. Responda F si la afirmación es falsa y V si es correcta. Justifique.
a) ( ) Si f es creciente en todo R, entonces no tiene aśıntota horizontal.
b) ( ) Si f es continua en R, entonces no tiene aśıntota horizontal.
c) ( ) Si f tiene una aśıntota vertical, entonces su dominio no puede ser R.
d) ( ) El rectángulo de mayor área y peŕımetro 20m tiene lados 4m y 6m.
e) ( ) El rectángulo de mayor área con peŕımetro dado es un cuadrado.
f ) ( ) El punto de la elipse 4x2 + 9y2 = 36 más cerca del punto (1, 1) es
(
6
√
13
13 ,
6
√
13
13
)
.
2. Para cada una de las siguientes funciones:
i.) Encuentre el dominio.
ii.) Encuentre las intersecciones con los ejes.
iii.) Determine simetŕıas.
iv.) Encuentre las aśıntotas verticales, horizontales y obĺıcuoas.
v.) Encuentre los intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente.
vi.) Encuentre los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.
vii.) Use la información de los incisos anteriores para trazar la gráfica de la función dada.
a) f(x) =
x− x2
2− 3x + x2
.
b) g(x) = 1 +
1
x
+
1
x2
.
c) h(x) =
x√
x2 − 1
.
d) p(x) =
senx
1 + cosx
.
e) y = (1 + ex)−2.
f ) q(x) = e−1/(x+1).
3. Encontrar dos números positivos tal que el producto es 147 y la suma del primero más tres veces el segundo es mı́nima.
4. Un agricultor con 750 metros de material para construir una valla desea encerrar un área rectangular y luego dividirla en
cuatro corrales con vallas paralelas a un lado del rectángulo. ¿Cuál es el área más gránde posible de los cuatro corrales?
5. Un cono circular recto se circunscribe a una esfera de radio dado. Obtenga la razón de la altura al radio de la base del
cono de volumen mı́nimo que pueda circunscribirse a la esfera.
6. La prima Teresa es zapatera y vendió 900 pares de sandalias a $15000 cada par, en este mes. Pero ha notado que haciendo
un descuento de $1000 en cada par, el número de pares de sandalias vendidas se incrementa en 80 por mes. ¿Qué tan
grande debe ser el descuento para maximizar los ingresos?.
7. La t́ıa Jimena es costurera y fabricando ropa interior vendió 1000 unidades de estas piezas a $1300 cada una, esta semana.
Pero ha notado que haciendo un descuento de $80 en cada unidad, el número de unidades vendidas se incrementa en 100
por semana. ¿Qué tan grande debe ser el descuento para maximizar los ingresos?.
8. Si C(x) es el costo de producir x de un producto, entonces el costo promedio por unidad es P (x) =
C(x)
x
y el costo
marginal es M(x) = C ′(x). Si la función de costo para producir x postres en la reposteŕıa del t́ıo Jose está dada por
C(x) = 8000 + 500x + 2
√
x3, determine cuántas unidades se debe producir para minimizar el costo promedio y halle el
costo promedio mı́nimo.
9. Si C(x) es el costo de producir x de un producto, entonces el costo promedio por unidad es P (x) =
C(x)
x
y el costo
marginal es M(x) = C ′(x). Si la función de costo para producir x postres en la reposteŕıa de Magalis está dada por
C(x) = 18000x+ 150x2 + 10x3, determine cuántas unidades se debe producir para minimizar el costo marginal y halle el
costo marginal mı́nimo.
10. El administrador de un complejo habitacional de 100 apartamentos sabe por experiencia que todas las unidades serán
ocupadas si el alquiler es de $500 al mes. Un estudio de mercadeo sugiere que, en promedio, una unidad queda vacante
por cada $10 de incremento en el alquiler. ¿Qué renta mensual debe cobrar para maximizar los ingresos?
11. El administrador de un complejo habitacional de 200 apartamentos sabe por experiencia que todas las unidades serán
ocupadas si el alquiler es de $600 al mes. Un estudio de mercadeo sugiere que, en promedio, una unidad queda vacante
por cada $20 de incremento en el alquiler. ¿Qué renta mensual debe cobrar para maximizar los ingresos?
12. Un equipo de fútbol juega en un estadio con capacidad para 90.000 espectadores. Con el precio de las entradas a $10,000,
la asistencia promedio hab́ıa sido de 47.000 espectadores. Cuando los precios se redujeron a $9,000, la asistencia promedio
subió a 53.000 espectadores. ¿Cuál debe ser el precio de las entradas para maximizar los ingresos?
13. Un equipo de fútbol juega en un estadio con capacidad para 80.000 espectadores. Con el precio de las entradas a $9,000,
la asistencia promedio hab́ıa sido de 45.000 espectadores. Cuando los precios se redujeron a $8,500, la asistencia promedio
subió a 57.000 espectadores. ¿Cuál debe ser el precio de las entradas para maximizar los ingresos?
14. Tomás hace y vende collares en la playa. El verano pasado vendió los collares a $2500 y sus ventas promedio fueron de
30 por d́ıa. Cuando aumentó el precio por $200 más, encontró que el promedio disminuyó en cinco ventas por d́ıa. Si el
material para cada collar le cuesta a Tomás $900, ¿qué precio de venta debe maximizar su utilidad?
15. Marcela hace y vende pulseras en la playa. El verano pasado vendió las pulseras a $2000 y sus ventas promedio fueron
de 450 por d́ıa. Cuando aumentó el precio por $300 más, encontró que el promedio disminuyó en siete ventas por d́ıa. Si
el material para cada collar le cuesta a Tomás $850, ¿qué precio de venta debe maximizar su utilidad?
16. La mamá de Sof́ıa se dedica a la elaboración de congelados y cuenta con refrigerador con capacidad de 220 unidades de
congelados. Sof́ıa, quien estudió matemáticas en la Universidad de Córdoba, determinó que si x es el número de unidades
que produzca, el precio de venta por unidad es de P (x) = 3x3 +120x2 y el gasto por unidad es G(x) = 1400x2−144000x.
¿Cuál es el número óptimo de unidades que debe producir para maximizar la utilidad y cuánto será la utilidad máxima?