wuolah-free-6sustitucion-gulag-free

Vista previa del material en texto

CLASE #6
Métodos de integración: Integración por
sustitución
Curso: Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
Integración por sustitución
Debido a la existencia del teorema fundamental, es importante disponer de técnicas
para hallar antiderivadas. Pero nuestras fórmulas de antiderivación no indican cómo eva-
luar integrales como ∫
2x
√
1 + x2 dx.
Regla de sustitución
Si u = g(x) es una función derivable cuyo rango es un intervalo I y f es continua
sobre I , entonces ∫
f (g(x))g′(x) dx =
∫
f (u) du = F(u) + C,
donde F es una antiderivada o primitiva de f en I.
Observación . Como u = g(x) entonces du = g′(x) dx.
Estrategia para aplicar la regla de sustitución
Los pasos que se utilizan para la integración por sustitución se resumen en la siguiente
guı́a.
1. Elegir una sustitución u = g(x). Usualmente, es mejor elegir la parte interna de una
función compuesta, tal como una cantidad elevada a una potencia.
2. Calcular du = g′(x) dx.
1
https://wlh.es/v2/1690385396345/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
https://wlh.es/v2/1690385396345/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
3. Reescribir la integral en términos de la variable u.
4. Encontrar la integral resultante en términos de u.
5. Reemplazar u por g(x) para obtener una antiderivada o primitiva en términos de x.
6. Verificar la respuesta por derivación.
Ejemplo 1. Determinar
∫
2x(5 + x2)2 dx
Solución Hagamos la siguiente sustitución{
u = 5 + x2
du = 2x dx
Luego, sustituyendo en la integral∫
2x(5 + x2)2 dx =
∫
(5 + x2)22x dx
=
∫
u2 du
=
u3
3
+ C
=
(5 + x2)3
3
+ C
Ejemplo 2. Determinar
∫
5 cos(5x) dx
Solución Hagamos la siguiente sustitución{
u = 5x
du = 5 dx
Luego, sustituyendo en la integral∫
5 cos(5x) dx =
∫
cos(5x)5 dx
=
∫
cos(u) du
= sen(u) + C
= sen(5x) + C
Ejemplo 3. Determinar
∫ 4x2
(1 − 8x3)4 dx
2
https://wlh.es/v2/1690385396348/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Solución Hagamos la siguiente sustitución{
u = 1 − 8x3
du = −24x2 dx
Note que
du = −24x2 dx ⇒ 4x2 dx = −1
6
du
Luego, sustituyendo en la integral∫ 42
(1 − 8x3)4 dx =
∫
(1 − 8x3)−442 dx
=
∫
u−4
(
−1
6
du
)
= −1
6
∫
u−4 du
= −1
6
(
−1
3
u−3
)
+ C
=
1
18
u−3 + C
=
1
18u3
+ C
=
1
18(1 − 8x3)3 + C
Ejemplo 4. Determinar
∫ sen(√x)√
x
dx
Solución Hagamos la siguiente sustitución{
u =
√
x
du = 1
2
√
x
dx
Note que
du =
1
2
√
x
dx ⇒ 1√
x
dx = 2du
Luego, sustituyendo en la integral∫ sen(√x)√
x
dx =
∫
sen(
√
x)
(
1√
x
dx
)
=
∫
sen(u) (2du)
= 2
∫
sen(u) du
= −2 cos(u) + C
= −2 cos(
√
x) + C
3
https://wlh.es/v2/1690385396353/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Ejemplo 5. Determinar las siguientes integrales
1.
∫
x3 cos(x4 + 2) dx
2.
∫
2x
√
1 + x2 dx
3.
∫ √
3x + 1 dx
4.
∫ x√
1 − 4x2
dx
5.
∫
e5x dx
6.
∫
x5
√
1 + x2 dx
7.
∫
tan x dx
Solución Ver Stewart, 7ma ed páginas 408 a 410.
Reto . Determinar
∫ 1
1 + tanx
dx
Regla de sustitución para integrales definidas
Si g′ es continua sobre [a, b] y f es continua sobre el rango de u0g((x), entonces∫ b
a
f (g(x))g′(x) dx =
∫ g(b)
g(a)
f (u) du
Ejemplo 6. Evalúe
∫ π/2
0
sen3 x cos x dx
Solución Hagamos la siguiente sustitución{
u = sen x
du = cos x dx
Para cambiar los lı́mites de integración debemos debemos evaluar la función u = g(x) =
sen x en x = 0 y x = π/2 .
• Si x = 0, entonces u = g(0) = sen(0) = 0
• Si x = π/2, entonces u = g(π/2) = sen(π/2) = 1
Ahora aplicaremos la sustitución∫ π/2
0
sen3 cos x dx =
∫ 1
0
u3 du
=
u4
4
]u=1
u=0
=
(1)4
4
− (0)
4
4
=
1
4
4
https://wlh.es/v2/1690385396365/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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://wlh.es/v2/1690385396365/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Ejemplo 7. Evalúe
∫ 3
0
x
√
1 + x dx
Solución Hagamos la siguiente sustitución
u =
√
1 + x ⇔ u2 = 1 + x
2u du = dx
Además,
x = u2 − 1
Para cambiar los lı́mites de integración debemos debemos evaluar la función u = g(x) =√
1 + x en x = 0 y x = 3 .
• Si x = 0, entonces u = g(0) =
√
1 + 0 =
√
1 = 1
• Si x = π/2, entonces u = g(3) =
√
1 + 3 =
√
4 = 2
Ahora aplicaremos la sustitución∫ 3
0
x
√
1 + x dx =
∫ 2
1
(u2 − 1)u(2u du)
=
∫ 2
1
(u2 − 1)(2u2 du)
= 2
∫ 2
1
(u2 − 1)u2 du
= 2
∫ 2
1
(u4 − u2) du
= 2
(
u5
5
− u
3
3
]2
1
)
= 2
[(
(2)5
5
− (2)
3
3
)
−
(
(1)5
5
− (1)
3
3
)]
= 2
[(
32
5
− 8
3
)
−
(
1
5
− 1
3
)]
= 2
(
32
5
− 8
3
− 1
5
+
1
3
)
= 2
(
31
5
− 7
3
)
= 2
(
58
15
)
=
116
15
Ejemplo 8. Determinar las siguientes integrales
5
https://wlh.es/v2/1690385396367/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
1.
∫ 4
0
√
2x + 1 dx 2.
∫ 2
1
dx
(3 − 5x)2
3.
∫ e
1
ln x
x
dx
Solución Ver Stewart, 7ma ed páginas 411 y 412.
Simetrı́a
En el teorema siguiente se usa la regla de sustitución para las integrales definidas a fin
de simplificar el cálculo de integrales de funciones que poseen propiedades de simetrı́a.
Teorema . [Integrales de funciones simétricas] Suponga que f es continua sobre[−a, a]
• Si f es una función par, es decir, f (−x) = f (x), entonces∫ a
−a
f (x) dx = 2
∫ a
0
f (x) dx
• Si f es una función impar, es decir, f (−x) = − f (x), entonces∫ a
−a
f (x) dx = 0
Ejemplo 9. Evaluar
∫ π/2
−π/2
(sen3 x cos x + sen x cos x) dx
Solución Haciendo f (x) = sen3 x cos x + sen x cos x se obtiene
f (−x) = sen3(−x) cos(−x) + sen(−x) cos(−x)
= − sen3 x cos x − sen x cos x
= −(sen3 x cos x + sen x cos x)
= − f (x)
De tal modo, f es una función impar, y debido a que f es simétrica respecto al origen en
[−π/2, π/2], es posible aplicar el teorema delas Integrales de funciones simétricas para
concluir que ∫ π/2
−π/2
(sen3 x cos x + sen x cos x) dx = 0.
Ejemplo 10. Determinar las siguientes integrales
1.
∫ 2
−2
(x6 + 1) dx 2.
∫ 1
−1
tan x
1 + x2 + x4
dx
Solución Ver Stewart, 7ma ed página 413.
6
https://wlh.es/v2/1690385396375/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Referencias
[1] Larson, R., and Edwards, B. H. (2010). Cálculo I de una variable (9.a ed., Vol. 1).
McGraw-Hill Education.
[2] Leithold, L. (1995).El cálculo (7.a ed., Vol. 1). Harpercollins College Division.
[3] Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable (7.a ed., Vol. 1). Cengage Learning Editores.
7
https://wlh.es/v2/1690385396385/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
https://wlh.es/v2/1690385396385/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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