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CLASE #9
Métodos de integración: Sustitución trigonométrica
Curso: Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
Repaso de trigonometrı́a
Teorema Teorema de Pitágoras. Consideremos el siguiente triángulo rectángulo con hi-
potenusa h, cateto adyacente x y cateto opuesto y respecto al ángulo θ.
y
x
h
θ
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa h es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos x y y.
h2 = x2 + y2 equivalentemente h =
√
x2 + y2
Relaciones trigonométricas
y
x
h
θ
A partir de un triángulo rectángulo se pueden definir las siguientes relaciones entre sus
lados y el ángulo θ
1. Seno: sen θ =
y
h
2. Coseno: cos θ =
x
h
3. Tangente: tan θ =
y
x
1
https://wlh.es/v2/1690385341994/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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4. Cosecante: cot θ =
x
y 5. Secante: sec θ =
h
x
6. Cotangente: csc θ =
h
x
Algunas identidades trigonométricas Las siguientes son algunas de las identidades tri-
gonométricas más importantes.
1. csc θ =
1
sen θ
⇔ sen θ = 1
csc θ
2. sec θ =
1
cos θ
⇔ cos θ = 1
sec θ
3. tan θ =
sen θ
cos θ
4. cot θ =
1
tan θ
⇔ cot θ = cos θ
sen θ
Las siguientes son conocidas como las identidades pitagóricas
1. sen2 θ + cos2 θ = 1 ⇔ cos2 θ = 1 − sen2 θ ⇔ sen2 θ = 1 − cos2 θ
2. sec2 θ = 1 + tan2 θ ⇔ tan2 θ = sec2 θ − 1
3. csc2 θ = 1 + cot2 θ ⇔ cot2 θ = csc2 θ − 1
Sustituciones trigonométricas
Conociendo cómo evaluar las integrales que contienen potencias de funciones trigo-
nométricas, usar sustituciones trigonométricas para evaluar integrales que contienen ra-
dicales √
a2 − x2,
√
a2 + x2,
√
x2 − a2
El objetivo de las sustituciones trigonométricas es eliminar al radical en el integrando.
Hacer esto con las identidades pitagóricas.
Por ejemplo, si a > 0, sea x = a sen θ , donde −π/2 ≤ θ ≤ π/2. Entonces√
a2 − x2 =
√
a2 − (a sen θ)2
=
√
a2 − a2 sen2 θ
=
√
a2(1 − sen2 θ)
=
√
a2 cos2 θ
= a| cos θ|
= a cos θ, cos θ ≥ 0 ya que − π/2 ≤ θ ≤ π/2
En la siguiente tabla se listan las sustituciones trigonométricas que son eficaces para las
expresiones con radicales debido a las identidades trigonométricas especificadas. En cada
caso, la restricción sobre θ se impone para asegurar que la función que define la sustitu-
ción es uno a uno.
2
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Expresión Sustitución Identidad triangulo rectángulo
√
a2 − x2 x = a sen θ, −π/2 ≤ θ ≤ π/2 cos2 θ = 1 − sen2 θ
x
√
a2 − x2
a
θ
√
a2 + x2 x = a tan θ, −π/2 < θ < π/2 sec2 θ = 1 + tan2 θ
x
a
√
a2 + x2
θ
√
x2 − a2 x = a sec θ, 0 ≤ θ < π/2 tan2 θ = sec2 θ − 1
√
x2 − a2
a
x
θ
Ejemplo 1. Evalúe
∫ dx
x2
√
9 − x2
Solución Observe que
√
9 − x2 es de la forma
√
a2 − x2 con a = 3. Ası́ que se puede usar
la sustitución x = a sen θ = 3 sen θ. Luego, x2 = 9 sen2 θ y dx = 3 cos θ dθ.∫ dx
x2
√
9 − x2
=
∫ 3 cos θ dθ
(9 sen2 θ)
√
9 − 9 sen2 θ
=
∫ 3 cos θ dθ
(9 sen2 θ)
√
9(1 − sen2 θ)
=
∫ 3 cos θ dθ
(9 sen2 θ)
√
9 cos2 θ
=
∫
((((
(3 cos θ dθ
(9 sen2 θ)(���
���3 cos θ dθ)
=
∫ dθ
9 sen2 θ
=
1
9
∫ 1
sen2 θ
dθ
=
1
9
∫
csc2 θ dθ = −1
9
cot θ + C
Ahora, debemos recuperar la variable x, de modo que construir unn triángulo rectángulo
a partir de la sustitución x = 3 sen θ. Ası́,
x = 3 sen θ ⇔ sen θ = x
3
Note que tenemos un triángulo rectángulo de hipotenusa 3 y cateto opuesto x
x
√
9 − x2
3
θ
3
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Luego,
cot θ =
√
9 − x2
x
Por lo tanto, ∫ dx
x2
√
9 − x2
= −1
9
cot θ + C
= −
√
9 − x2
9x
+ C
Ejemplo 2. Evalúe
∫ dx
x3
√
x2 − 9
Solución Observe que
√
x2 − 9 es de la forma
√
x2 − a2 con a = 3. Ası́ que se puede usar
la sustitución x = a sec θ = 3 sec θ. Luego, x3 = 27 sec3 θ y dx = 3 sec θ tan θ dθ.∫ dx
x3
√
x2 − 9
=
∫ 3 sec θ tan θ dθ
(27 sec3 θ)
√
9 sec2 θ − 9
=
∫ 3 sec θ tan θ dθ
(27 sec3 θ)
√
9(sec2 θ − 1)
=
∫ 3 sec θ tan θ dθ
(27 sec3 θ)
√
9 tan2 θ
=
∫ 3 sec θ tan θ dθ
(27 sec3 θ)(3 tan2 θ)
=
∫
(((
((((3 sec θ tan θ dθ
(27 sec2 θ)((((((
((
3 sec θ tan θ)
=
1
27
∫ 1
sec2 θ
dθ =
1
27
∫
cos2 θ dθ
=
1
27
∫ (1 + cos 2θ
2
)
dθ =
1
54
∫
(1 + cos 2θ)dθ =
1
54
(
θ +
1
2
sen 2θ
)
+ C
=
1
54
(θ + cos θ sen θ) + C
Ahora, debemos recuperar la variable x, de modo que construir un triángulo rectángulo
a partir de la sustitución x = 3 sec θ. Ası́,
x = 3 sec θ ⇔ sec θ = x
3
⇔ cos θ = 3
x
Note que tenemos un triángulo rectángulo de hipotenusa x y cateto adyacente 3
√
x2 − 9
3
x
θ
Luego,
sen θ =
√
x2 − 9
x
y θ = cos−1
(
3
x
)
4
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Por lo tanto, ∫ dx
x3
√
x2 − 9
=
1
54
(θ + cos θ sen θ) + C
=
1
54
θ +
1
54
cos θ sen θ + C
=
1
54
cos−1
(
3
x
)
+
1
54
(
3
x
)(√
x2 − 9
x
)
+ C
=
1
54
cos−1
(
3
x
)
+
√
x2 − 9
18x2
+ C
Ejemplo 3. Evalúe
∫ dx√
4x2 + 1
Solución Note que
√
4x2 + 1 =
√
4(x2 + 1/4) es de la forma
√
x2 + a2, donde a = 1/2.
Demodo que podemos usar la sustitución x = 12 tan θ. Luego, x
2 = 14 tan
2 θ y dx =
1
2 sec
2 θ dθ. Entonces∫ dx√
4x2 + 1
=
∫ dx√
4(x2 + 1/4)
=
∫ dx
2
√
x2 + 1/4
=
∫ 1
2 sec
2 θ
2
√
1
4 tan
2 θ + 14
dθ =
∫ 1
2 sec
2 θ
2
√
1
4(tan
2 θ + 1)
dθ
=
∫ 1
2 sec
2 θ
2
(
1
2
√
tan2 θ + 1
) dθ = ∫ 12 sec2 θ
2
(
1
2
√
sec2 θ
) dθ
=
∫ 1
2 sec
2 θ
sec θ
dθ =
1
2
∫
sec θ dθ
=
1
2
ln | sec θ + tan θ|+ C
Ahora, debemos recuperar la variable x, de modo que construir un triángulo rectángulo
a partir de la sustitución x = 12 tan θ. Ası́,
x =
1
2
tan θ ⇔ tan θ = 2x
1
= 2x
2x
1
√
4x2 + 1
θ
Ası́,
sec θ =
√
4x2 + 1
1
=
√
4x2 + 1
5
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Por lo tanto, ∫ dx√
4x2 + 1
=
1
2
ln | sec θ + tan θ|+ C
=
1
2
ln |
√
4x2 + 1 + 2x|+ C
Ejemplo 4. Evalúe
∫ dx
(x2 + 1)3/2
Solución Note que (x2 + 1)3/2 = (
√
x2 + 1)3 el cual es de la forma
√
x2 + a2 con a = 1.De
modo que podemos utilizar la sustitución x = tan θ. Luego, x2 = tan2 θ y dx = sec2 θ dθ.
Entonces ∫ dx
(x2 + 1)3/2
=
∫ dx
(
√
x2 + 1)3
=
∫ sec2 θ dθ
(
√
tan2 θ + 1)3
=
∫ sec2 θ dθ
(
√
sec2 θ)3
=
∫ sec2 θ dθ
sec3 θ
=
∫ 1
sec θ
dθ =
∫
cos θ dθ
= sen θ + C
Recuerde que debemos recuperar la variable x. Como x = tan θ, entonces podemos cons-
truir un triángulo rectángulo con cateto opuesto x y cateto adyacente 1
x
1
√
x2 + 1
θ
Ası́,
sen θ =
x√
x2 + 1
Por lo tanto, ∫ dx
(x2 + 1)3/2
= sen θ + C
=
x√
x2 + 1
+ C
Ejemplo 5. Evalúe
∫ 2
√
3
√
x2 − 3
x
dx
6
https://wlh.es/v2/1690385342023/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Solución Tenemos
√
x2 − 3 es de la forma
√
x2 − a2 donde a =
√
3. De modo que po-
demos utilizar la sustitución x =
√
3 sec θ. Luego, x2 = 3 sec2 θ y dx =
√
3 sec θ tan θ dθ.
Además,
si x =
√
3 ⇔
√
3 sec θ =
√
3
⇔ sec θ = 1
⇔ θ = 0
si x = 2 ⇔
√
3 sec θ = 2
⇔ sec θ = 2√
3
⇔ θ = π
6
Entonces ∫ 2
√
3
√
x2 − 3
x
dx =
∫ π/6
0
(√
3 sec2 θ − 3√
3 sec θ
)
√
3 sec θ tan θ dθ
=
∫ π/6
0
(√
3(sec2 θ − 1)
���
��√3 sec θ
)
���
��√3 sec θ tan θ dθ
=
∫ π/6
0
(
√
3 tan θ) tan θ dθ =
√
3
∫ π/6
0
tan2 θ dθ
=
√
3
∫ π/6
0
tan2 θ dθ =
√
3
∫ π/6
0
(sec2 θ − 1) dθ
=
√
3 [tan θ + θ]π/60
=
√
3
[
1√
3
+
π
6
]
= 1 −
√
3π
6
Ejemplo 6. Calcular las siguientes integrales
a)
∫ √9 − x2
x2
dx
b)
∫ 1
x2
√
x2 + 4
dx
c)
∫ x√
x2 + 4
dx
d)
∫ dx√
x2 − a2
, a > 0.
e)
∫ 3√3/2
0
x2
(4x2 + 9)3/2
dx
f)
∫ x√
3 − 2x − x2
dx
Solución Ver Stewart 7maed páginas 479 a la 483.
Ejemplo 7. Calcular las siguientes integrales
a)
∫ √
x2 + 5 dx ¿ b)
∫ 2
1
dx
(6 − x2)3/2
7
https://wlh.es/v2/1690385342029/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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ón Ver Leithold 7maed páginas 568 y 570.
8
https://wlh.es/v2/1690385342037/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Referencias
[1] Larson, R., and Edwards, B. H. (2010). Cálculo I de una variable (9.a ed., Vol. 1).
McGraw-Hill Education.
[2] Leithold, L. (1995).El cálculo (7.a ed., Vol. 1). Harpercollins College Division.
[3] Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable (7.a ed., Vol. 1). Cengage Learning Editores.
9
https://wlh.es/v2/1690385342050/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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