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Clase #20
Aplicaciones: Coordenadas Polares
Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
Coordenadas polares y gráficas polares
Si P es cualquier otro punto en el plano, sea r la distancia de 0 a P y sea θ el ángulo
(por lo regular medido en radianes) entre el eje polar y la recta OP. Entonces el punto P
se representa mediante el par ordenado (r, θ) y r, θ se llaman coordenadas polares de P.
Se usa la convención de que un ángulo es positivo si se mide en el sentido contrario a las
manecillas del reloj desde el eje polar, y negativo si se mide en el sentido de las manecillas
del reloj. Si P = 0, entonces r = 0 y se está de acuerdo en que (0, θ) representa el polo
para cualquier valor de θ.
Extendemos el significado de las coordenadas polares (r, θ) al caso en que r es negativa,
los puntos (−r, θ) y (r, θ) están sobre la misma recta que pasa por 0 y a la misma distancia
|r| desde 0, pero en lados opuestos de 0. Si r > 0, el punto (r, θ) está en el mismo cuadrante
que θ; si r < 0, está en el cuadrante sobre el lado opuesto del polo. Observe que (−r, θ)
representa el mismo punto que (r, θ + π).
1
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Ejemplo 1. Grafique los puntos cuyas coordenadas polares están dadas.
a)
(
1,
5π
4
)
b) (2, 3π) c)
(
2,−2π
3
)
d)
(
−3, 3π
4
)
Solución Vamos graficar cada punto
a)
(
1,
5π
4
)
b) (2, 3π)
c)
(
2,−2π
3
)
d) El punto
(
−3, 3π
4
)
se localiza a tres unidades del polo en el cuarto cuadrante por-
que el ángulo 3π4 está en el segundo cuadrante y r = −3 es negativa.
2
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Observación 1. En el sistema coordenado cartesiano todo punto tiene sólo una represen-
tación, pero en el sistema de coordenadas polares cada punto tiene muchas representa-
ciones. Por ejemplo, el punto
(
1,
5π
4
)
se podrı́a escribir como
(
1,
−3π
4
)
o
(
1,
13π
4
)
o(
−1, π
4
)
.
Transformación (o cambio) de coordenadas
Para establecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares, se hace coin-
cidir el eje polar con el eje x positivo y el polo con el origen.
Puesto que (z, y) se encuentra en un cı́rculo de radio r se sigue que
x2 + y2 = r2
Para r > 0 la definición de las funciones trigonométricas implica que
tan θ =
y
x
; sin θ =
y
r
y cos θ =
x
r
3
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Teorema . [Transformación (o cambio) de coordenadas] Las coordenadas polares (r, θ)
de un punto están relacionadas con las coordenadas rectangulares (x, y) de ese punto
como sigue.
tan θ =
y
x
; x = r cos θ; y = sin θ y r2 = x2 + y2.
4
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(
2,
π
3
)
de coordenadas polares a cartesianas.
Solución Note que (r, θ) =
(
2,
π
3
)
. Luego,
x = r cos θ = 2
(
cos
(π
3
))
= 2
(
1
2
)
= 1
y = r sin θ = 2
(
sin
(π
3
))
= 2
(√
3
2
)
=
√
3
Por tanto, el punto en coordenadas cartesianas es (1,
√
3).
Ejemplo 3. Represente el punto con coordenadas cartesianas (1,−1) en términos de coor-
denadas polares.
Solución Note que (x, y) = (1,−1), entonces
r2 = x2 + y2
r2 = (1)2 + (−1)2 = 1 + 1 = 2
r =
√
2.
Además,
tan θ =
y
x
=
−1
1
= −1
θ = tan−1(−1) = − tan−1(1) = −π
4
Por otra parte, note que el punto (1,−1) pertecene al tercer cuadrante
2π − π
4
=
8π − π
4
=
7π
4
Ası́, punto con coordenadas polares
(√
2,−π
4
)
o
(√
2,
7π
4
)
Gráficas o curvas polares
La gráfica de una ecuación polar r = f (θ), o de manera más general F(r, θ) = 0,
consiste de todos los puntos P que tienen al menos una representación polar (r, θ) cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación.
Ejemplo 4. Describir la gráfica de cada ecuación polar. Confirmar cada descripción trans-
formando la ecuación a ecuación rectangular.
5
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a) r = 2 b) θ =
π
3
c) r = sec θ
Solución Vamos a graficar funciones polares
a) La gráfica de la ecuación polar r = 2 consta de todos los puntos que se encuentran a
dos unidades del polo. En otras palabras, esta gráfica es la circunferencia que tiene
su centro en el origen y radio 2. Esto se puede confirmar utilizan- do la relación para
obtener la ecuación rectangular
x2 + y2 = (2)2 = 4
b) La gráfica de la ecuación polar θ =
π
3
consta de todos los puntos sobre la semirrecta
que forma un ángulo de π3 con el semieje x positivo.. Para confirmar esto, se puede
utilizar la relación
tan θ =
y
x
para obtener la ecuación rectangular, ya que
tan
π
3
=
y
x
⇒ y
3
=
√
3
⇒ y =
√
3x
6
https://wlh.es/v2/1690384993767/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
c) La gráfica de la ecuación polar r = sec θ no resulta evidente por inspección simple,
por o que hay que empezar por pasarla a la forma rectangular mediante la relación
x = r cos θ
Luego,
x = r cos θ ⇒ x = sec θ · cos θ
⇒ x = 1
cos θ
· cos θ
⇒ x = 1.
Por la ecuación rectangular se puede ver que la gráfica es una recta vertical.
Ejemplo 5. a) Trace la curva con ecuación polar r = 2 cos θ
b) Encuentre una ecuación cartesiana para esta curva.
Solución a) Primero se encuentran los valores de r para algunos valores convenientes
de θ y se grafican los puntos correspondientes (r, θ). Después se unen estos puntos
para bosquejar la curva, que aparenta ser una circunferencia. Hemos usado sólo
valores de θ entre θ y π, porque si hacemos que θ se incremente más allá de π,
obtenemos de nuevo los mismos puntos.
7
https://wlh.es/v2/1690384993773/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
b) Sabemos que x = r cos θ, de modo que cos θ = xr , además tenemos que r = 2 cos θ.
Luego,sustituyendo tenemos que
r = 2 cos θ = 2
(x
r
)
=
2x
r
r2 = 2x
Como r2 = x2 + y2, entonces
r2 = x2 + y2
2x = x2 + y2
De modoque,
x2 + y2 − 2x = 0 ⇒
(
x2 − 2x
)
+ y2 = 0
⇒
(
x2 − 2x + 1
)
+ y2 − 1 = 0
⇒ (x − 1)2 + y2 = 1
que es la ecuación de una circunferencia con centro en (1, 0) y radio 1.
Ejemplo 6. Bosqueje la curva r = 1 + sin θ.
Solución bosquejamos primero la gráfica de r = 1+ sin θ en coordenadas cartesianas con
0 ≤ θ ≤ 2π
8
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Esto nos permite leer de un vistazo los valores de r que corresponden a valores crecientes
de θ. Note que cuando θ se incrementa de 0 a π2 , r (la distancia desde O) se incrementa de
1 a 2, ya que
r = 1 + sin(0) = 1 + 0 = 1
r = 1 + sin
(π
2
)
= 1 + 1 = 2
de modo que se bosqueja la parte correspondiente de la curva polar
cuando θ se incrementa de π2 a π, r decrece de 2 a 1, ya que
r = 1 + sin
(π
2
)
= 2
r = 1 + sin(π) = 1 + 0 = 1
de modo que se bosqueja la parte correspondiente de la curva polar
cuando θ se incrementa de π a 3π2 , r decrece de 1 a 0, ya que
r = 1 + sin(π) = 1 + 0 = 1
r = 1 + sin
(
3π
2
)
= 1 − 1 = 0
de modo que se bosqueja la parte correspondiente de la curva polar
9
https://wlh.es/v2/1690384993792/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
https://wlh.es/v2/1690384993792/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
cuando θ se incrementa de 3π2 a 2π, r decrece de 0 a 1, ya que
r = 1 + sin
(
3π
2
)
= 0
r = 1 + sin(2π) = 1 + 0 = 1
de modo que se bosqueja la parte correspondiente de la curva polar
Ası́, la gráfica de la función polar r = 1 + sin θ es
Esta curva se llama cardioide porque tiene forma de corazón.
Ejemplo 7. Dibujar la gráfica de r = 2 cos(3θ)
Solución ara empezar, se expresa la ecuación polar en forma paramétrica.
x = r cos θ
y = r sin θ
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https://wlh.es/v2/1690384993794/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Note que si θ se incrementa de 0 a
π
6
, r decrece de 2 a 0, ya que
r = 2 cos(3(0)) = 2 cos(0) = 2 · 1 = 2
r = 2 cos
(
3 · π
6
)
= 2 cos
(
·π
2
)
= 2 · 0 = 0
Luego, si θ = 0, entonces r = 2, de modo que
x = 2 cos(0) = 2
y = 2 sin(0) = 0
tenemos el punto (2, 0)
si θ =
π
6
, entonces r = 0, de modo que
x = 0 cos
(π
6
)
= 0
y = 0 sin
(π
6
)
= 0
tenemos el punto (0, 0).
si θ se incrementa de
π
6
a
π
3
, r decrece de 0 a −2, ya que
r = 2 cos
(
3 · π
6
)
= 2 cos
(
·π
2
)
= 2 · 0 = 0
r = 2 cos
(
3 · π
3
)
= 2 cos (π) = 2 · (−1) = −2
pasamos del punto (0, 0) al punto punto (−1,−
√
3) ya que , si θ =
π
3
, entonces r = −2,
de modo que
x = −2 cos
(π
3
)
= −2 · 1
2
= −1
y = −2 sin
(π
3
)
= −2 ·
√
3
2
= −
√
3
11
https://wlh.es/v2/1690384993800/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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 θ se incrementa de
π
3
a
π
2
, r crece de −2 a 0, ya que
r = 2 cos
(
3 · π
3
)
= 2 cos (π) = 2 · (−1) = −2
r = 2 cos
(
3 · π
2
)
= 2 cos
(
·3π
2
)
= 2 · 0 = 0
pasamos del punto (−1,−
√
3) al punto punto (0, 0) ya que , si θ =
π
2
, entonces r = 0, de
modo que
x = 0 cos
(π
3
)
= 0 · 1
2
= 0
y = 0 sin
(π
2
)
= 0 · (1) = 0
si θ se incrementa de
π
2
a
2π
3
, r crece de 0 a 2, ya que
r = 2 cos
(
3 · π
2
)
= 2 cos
(
·3π
2
)
= 2 · 0 = 0
r = 2 cos
(
3 · 2π
3
)
= 2 cos (2π) = 2 · (1) = 2
12
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pasamos del punto (0, 0) al punto punto (−1,
√
3) ya que , si θ =
2π
3
, entonces r = 2, de
modo que
x = 2 cos
(
2π
3
)
= 2 · −1
2
= −1
y = 2 sin
(
2π
2
)
= 2 ·
√
3
2
=
√
3
si θ se incrementa de
2π
3
a
5π
6
, r crece de 2 a 0, ya que
r = 2 cos
(
3 · 2π
3
)
= 2 cos (2π) = 2 · (1) = 2
r = 2 cos
(
3 · 5π
6
)
= 2 cos
(
·5π
2
)
= 2 · 0 = 0
pasamos del punto (−1,
√
3) al punto punto (0, 0) ya que , si θ =
5π
6
, entonces r = 0, de
modo que
x = 0 cos
(
5π
6
)
= 0 · −
√
3
2
= 0
y = 0 sin
(
5π
6
)
= 0 · 1
2
= 0
13
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si θ se incrementa de
5π
6
a π, r decrece de 0 a −2, ya que
r = 2 cos
(
3 · 5π
6
)
= 2 cos
(
·5π
2
)
= 2 · 0 = 0
r = 2 cos (3π) = 2 cos (3π) = 2 · (−1) = −2
pasamos del punto (0, 0) al punto punto (2, 0) ya que , si θ = π, entonces r = −2, de
modo que
x = −2 cos (π) = −2 · (−1) = 2
y = −2 sin (π) = −2 · 0 = 0
14
https://wlh.es/v2/1690384993816/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Ası́, la gráfica de la función polar r = 2 cos(3θ) es
la gráfica es llamada una rosa de tres pétalos
Ejemplo 8. Bosqueje la curva r = cos(2θ).
Solución bosquejamos primero la gráfica de r = cos(2θ), 0 ≤ θ ≤ 2π en coordenadas
cartesianas.
Cuando θ se incrementa de 0 a
π
4
, se observa que r decrece de 1 a 0 (indicada por (1)).
Cuando θ se incrementa de
π
4
a
π
2
, r va de 0 a −1. Esto significa que la distancia desde
O se incrementa de 0 a 1, pero en lugar de estar en el primer cuadrante esta porción de la
curva polar (indicada por (2)) se ubica en el lado opuesto del polo en el tercer cuadrante.
15
https://wlh.es/v2/1690384993823/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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 resto de la curva se traza en forma similar, con flechas y números indicando el orden
en el cual se trazan las porciones. La curva resultante tiene cuatro bucles y se llama rosa
de cuatro hojas.
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