Calculo Vectorial-I

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CALCULO VECTORIAL
Campos Vectoriales
Integrales de Línea
Integrales de Superficies
Teoremas de Stokes y de la Divergencia
CAMPO VECTORIAL
Definición Sea E un subconjunto de Un campo vectorial sobre 
 es una función F que asigna a cada punto (x, y, z) de E un vector de V3 F(x, y, z).
Un campo vectorial sobre queda expresado a través de sus funciones componentes P, Q, y R como:
	F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
EJEMPLO
Un campo vectorial en está definido por F(x, y)= –yi+xj= (-y, x)
 
	((	
	(1, 0)	(0, 1)
	(0, 1)	(-1, 0)
	(-1, 0)	(0, -1)
	(0, -1)	(1, 0)
	(3, 0)	(0, 3)
	(0,3)	(-3, 0)
 (x, y) F=(-y, x)
 y
F(0, 3) = (-3, 0)
 F(1, 0)=(0,, 1)=j
 0 x
 F(0, -1)=(1, 0)=i
Ejemplo de campo vectorial en Física
La velocidad V = ωR
 R3
 R2 R2 R2
 
 
 θ 
ω
Ejemplo de campo vectorial
CAMPO GRAVITACIONAL
La fuerza gravitacional es la fuerza conque la Tierra atrae a los cuerpos hacia su centro y es directamente proporcional al producto de sus masas e 
inversamente proporcional 
al cuadrado de su distancia entre sus centros.
X=(x, y, z)
CAMPOS DE GRADIENTE
Si “f” es una función escalar de dos variables, el gradiente de dicha función f(x, y) es un campo de vectores 
Ejemplo
Dada la función 
 es un campo vectorial, de las curvas de nivel que se obtienen de la función f(x, y), si f(x, y) = 1 define una circunferencia, y f asigna a cada punto de esta un vector:
	z=f(x, y)	f(x, y) =	f (x, y)
	1	f(0,1)=1	(0, 2)
	1	f(0,-1)=1	(0.-2)
	4	f(2,0)=4	(4, 0)
 z f =(0. 2)
 0 1 2 f =(4. 0)
 -1
 f =(0. -2)
Si tenemos una función de tres variables: w = f(x, y, z), definimos las superficies de nivel, luego :
 es un campo vectorial que asigna a cada punto de la superficie un vector perpendicular a la superficie en ese punto.
Por ejemplo si w = 1, la superficie de nivel es una esfera de centro en el origen y radio unidad. Para un punto de esta por ejemplo (1, 0, 0), el 
Es un vector perpendicular a la esfera en dicho punto.
Un Campo Vectorial, F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
Es conservativo, si existe una función escalar f(x, y, z) cuyo gradiente f = F(x, y, z). Esta función “f” se llama función potencial.
EJEMPLO
Si F(x, y) = 2xi + yj, hacer un estudio para determinar si es conservativo, en caso afirmativo determinar la función potencial.
Entonces por definición tenemos que f(x, y) = F(x, y) 
f(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)) = 2xi + yj
Por igualdad de vectores se tiene que:
 
Comparando los dos resultados tenemos que:
g(y) = ; h(x) = 
Luego la función f(x, y) = + + 
Si determinamos su gradiente comprobaremos que coincide con F(x, y)
INTEGRALES DE LINEA
La naturaleza de una integral de línea es similar a la de una integral simple, la única diferencia está en que en vez de integrar en un intervalo lo hacemos a lo largo de una curva C de V3
Se inventaron en el S. XIX para resolver problemas en donde intervienen corrientes de fluido, fuerzas, electricidad, magnetismo
Consideramos una superficie S definida por z = f(x, y) en un dominio D y una curva plana C, que pertenece a D, definida por las ecuaciones paramétricas 
 
Esta curva estará dada mediante la función vectorial
Suponemos que C es una curva suave, con r’ continua y 
Si dividimos el intervalo de variación de t en n sub-intervalos 
 de longitud igual a 
Por tanto si luego los puntos 	 dividen a C en n sub-arcos con longitudes 
Como se muestra en la figura:
	
Tomamos el punto medio del 
Intervalo esto es 
Que da lugar a =r( )
Esta curva C al llevarla al espacio
tridimensional me define un cilin-
dro que corta a la superficie S en una curva C1 como se muestra en la siguiente figura: 
 Y
 r(ti) r(b)
 r(ti-1)
 C
 r(a)
 0 x
Tenemos un cilindro definido por las dos curvas C y C1 y lo que se pretende es calcular el área que está bajo la
curva C1, que corresponde al área del 
cilindro mencionado.
Una aproximación la haremos a través
del área del sub-intervalo genérico
dada por Aij = 
Sumando las n áreas:
 
Definición: si f está definida sobre una curva suave C, dada por las ecuaciones paramétricas ,en donde t ϵ [a, b] entonces la integral de línea de f a lo largo de C es:
 
 
 z
 Superficie z=f(x, y)
 
 C1 
 
 0 y
 D
 
Por lo visto anteriormente sabemos que 
//r’(t)//dt= 
Luego: 
EJEMPLO
 Evalúe ,en donde C es la mitad superior de la circunferencia de centro en el origen y radio R=1 el sentido es el antihorario. 
Las ecuaciones paramétricas de la circunferencia
Son x = cost e y = sent
Luego r(t) = (cost, sent) = (x, y)
Derivando respecto a t:
r’(t)= (-sent, cost) entonces //r’(t)//=1
 z
 C
 -1 0 1 x
Como: //r’(t)//= 1 , 0 ≤ t ≤ π y f(x, y) = 2x+ 
cambio de variable f(r(t)) = 2cost+ reemplazando valores, tenemos:
CALCULO DE LA MASA Y DEL CENTRO DE MASA DE LA CURVA C
Dada la densidad lineal, masa por unidad de longitud, entonces el dm = ρ(x, y) ds, luego:
Si la curva C es una curva suave a trozos, es decir, C es la unión de un número finito de curvas suaves C1, C2, C3, …….Cn, como se ilustra en la figura. Entonces definimos la integral a lo largo de C como la suma de las integrales de f a lo largo de cada una de las partes de C.
En la figura se muestra a C como la unión de cinco curvas suaves, luego la integral a lo largo de C
 y
 C1 C2
 C3
 C4
 C5
 0 x
 
EJEMPLO Dada la curva C dada por la figura
Luego la curva C estará dada por:
EJEMPLO
Calcular donde C es la curva suave a trozos de la figura: 
Por tanto, sumando estos resultados:
EJEMPLO
 
 :
Tenemos por definición que la integral de línea de f a lo largo de C viene dada por:
Luego si en vez de poner i en la sumatoria ponemos i o i 
tendríamos:
Vienen a ser las integralesde línea respecto a x y a y. Es frecuente que estas dos integrales aparezcan juntas. Cuando esto ocurre, se acostumbra abreviar escribiendo:
En éstas integrales es importante tener en cuenta el sentido de las curvas, debido a que serán positivas o negativas dependiendo del sentido de integración.
EJEMPLO
Evalúe en donde C = C1 es el segmento de recta de (-5, -3) y C= C2 es el arco de parábola x = 4- de (-5, -3) a (0, 2).
Con los datos hacemos el gráfico:
La forma paramétrica de la recta es:
x= 5t-5 ; y = 5t-3 en donde 0 ≤ t ≤ 1
Luego dx = 5dt y dy=5dt
Como el sentido es de P a Q, t va de 1 a 0
 y
 P= (0, 2)
 
 0 4 x
 C1 C2
 Q= (-5, -3)
Parametrizando la parábola, usando como parámetro a y:
x=4- ; y = y en donde -3 ≤ y ≤ 2 debido a que el sentido es de Q a P.
Luego: dx = -2ydy remplazando en la integral 
INTEGRALES DE LINEA EN EL ESPACIO
Ahora consideremos una curva suave en el espacio, dada por las ecuaciones paramétricas: x = x(t); y = y(t) ; z = z(t) si a
La integral de línea a lo largo de C se define de un modo semejante al caso anterior:
En forma paramétrica sería:
También se pueden definir integrales de línea a lo largo de C con respecto a x, y y z:
Al remplazar por , , como se muestra en las siguientes definiciones:
De modo similar éstas integrales aparecen juntas y pueden expresarse de modo más simple:
Ejemplo: Calcular donde C es la hélice circular dada por
Luego:
Remplazando:
 
 z
 Q=(3, 4, 5)
 C1 C2 
 0 y
 P=(2, 0,0) R=(3, 4, 0)
EJEMPLO: Evaluar la integral a lo largo de la curva C dada por:
C2: A2= (3, 4, 0)-(3, 4, 5) = (0, 0, -5)
L2= { (3, 4, 5)+t(0, 0, -5)}:
 
El sentido es QR: 0 ≤ t ≤ 1
Integrando en C1: 
Integrando en C2: A2=QR=R-Q= (3, 4, 0)-(3, 4, 5) = (0, 0, -5)
L2= { (3, 4, 5)+t(0, 0, -5)}: 
El sentido es QR:
 
Luego: 0 ≤ t ≤ 1
 
INTEGRALES DE LÍNEA DE CAMPOS VECTORIALES
Si tenemos un cuerpo de masa M, y se le aplica una fuerza F que forma un ángulo α con la horizontal, y se desliza en una trayectoria rectilínea una distancia e, y el coeficiente de rozamiento es μ, el trabajo realizado por la fuerza será:
Fx = //F//cos α- μMg
Fy= //F//sen α-Mg
F=(//F//cos α- μMg, //F//sen α-Mg)
r=(e, 0)
El trabajo realizado por la fuerza:
W = F.r = (//F//cos α- μMg)e el trabajo realizado por la fuerza la realiza la componente de Fx en la dirección del desplazamiento.
 
 F
 N 
 α
 
 r
Fu= μN Mg e
La integral de línea de un Campo Vectorial F=(P, Q, R) es el trabajo realizado por F al llevar una partícula a lo lago de una curva C en V3, definida por la función vectorial:
 r(t) = (x(t), y(t), z(t)) en donde a ≤ t ≤ b
Dividimos el intervalo de t= [a, b] en “n” partes iguales 
como r(t)= (x, y, z) la curva C también queda dividida en n sub-arcos con longitudes si
Determinamos el punto medio del sub-intervalo genérico[ti-1, ti] y definimos el punto medio , que tiene su imagen en C en el punto r( ) = 
Sobre dicho punto el campo le asignará una fuerza
que actuará sobre la partícula a lo largo de , pero como el trabajo se aplica a desplazamientos rectilíneos, lo aplicaremos sobre la tangente unitaria en ese punto multiplicada por 
Luego tenemos que:
Wi = . Tu 
Como tenemos n sub-arcos:
Por la suma de Riemann:
 
Tu
 
 F
Parametrización de la Integral de Línea:
Como C está dado por r(t) = (x(t), y(t), z(t) ) =(x, y, z)
EJEMPLO
Calcular el trabajo realizado por que actúa sobre una partícula que recorre la curva :
C: desde el punto (1, 0, 0) hasta el punto (-1, 0, 3
Como r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k= cost i +sent j+t k 
 
EJEMPLO
a) 
 I
 
 I
 
 I = 
 
Ejemplo: 
Hallar el W realizado por el campo de fuerza al mover una partícula a lo largo (del cuadrante) de la circunferencia situada en el I cuadrante de R=1
 y
 r(t) = costi+ sent j
 1
 0 ≤ t ≤ π/2
 
 0 1 x 
 
Relación existente entre las integrales línea de campos vectoriales con las integrales de línea de campos escalares.
TEOREMA FUNDAMENTAL PARA INTEGRALES DE LINEA
El teorema fundamental del cálculo para integrales simples dice si:
donde f(x) es continua en [a, b].
Si consideramos a (vector gradiente) de una función de f, como una especie de derivada de f , entonces el teorema siguiente puede considerarse como una versión del teorema fundamental para integrales de línea 
TEOREMA:
Sea C una curva suave dada por la función vectorial . Sea f una función diferenciable de dos o tres variables cuyo vector gradiente es continuo en C. Entonces:
Dice que podemos calcular la integral de un campo vectorial conservativo cuando F = 
Esta integral de línea de es el cambio total en f.
Si función z=f(x, y) y C es una 
curva plana:
 y
 curva plana C
 P=(x1, y1)
 P=(x2, y2)
 0 x
Si f es una función de tres variables f(x, y, z) y C una curva en el espacio que une los puntos P y Q, entonces:
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA
 z
 P=(x1, y1, z1)
 Curva en el espacio=r(t)=(x,y,z)
 
 Q=(x2, y2, z2)
Ejemplo: Calcule el W realizado por el campo gravitacional 
 
Al mover una partícula con masa m del punto P=(3, 4, 12) al punto Q=(2, 2, 0) a lo largo de una curva C suave a trozos.
 
Se puede demostrar que la función potencial de dicho campo es:
Luego FG = 
Calculamos el gradiente:
Luego FG es conservativo, por tanto podemos aplicar el teorema fundamental:
INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA
Por el teorema fundamental hemos demostrado que si el campo vectorial es conservativo, la integral de línea es independiente del camino.
Teorema: es independiente de la trayectoria en D si y sólo 
si para cualquier trayectoria cerrada C en D.
 
Si dividimos a la curva C en dos C1 y C2: 
 
 
 C1
 B A
 C2
TEOREMA:
Supongamos que F es un campo vectorial continuo en una región convexa abierta D (por tanto D no contiene ninguno de los puntos de su frontera). Si es independiente de la trayectoria en D, entonces F es un campo vectorial conservativo en D, es decir, existe una función tal que 
Demostración:
Sea A=(a, b ) un punto fijo en D. La función potencialdeseada f se define como para cualquier punto (x,y)єD
 C’1
 P1=(x1, y) X=(x,y) 
 C1 c’2
 P2=(y2,x)
 A= (a,b) C2
 D
Como es independiente de la trayectoria, no importa cual trayectoria C, de (a,b) a (x,y), se utilice para evaluar f(x,y). Como D es abierta, existe un disco contenido en D con centro (x,y). 
Elijamos cualquier punto(x,y) del disco, con y construyamos C de manera que este formada por cualquier trayectoria de (a,b) a (x,y) seguida por el segmento de recta horizontal de 
Entonces 
Derivando respecto a x
Como: 
Como en 
Como es independiente del camino, ahora vamos de A a P2 y de este a X, en donde y es constante.
Luego: 
Derivando respecto a y:
Como en
Por tanto 
Si 
Como:
Como en 
 
 lqqd
Tipos de Curvas y regiones 
Curvas
Simple no cerrada
No simple no cerrada
Simple cerrada
No simple cerrada
Teorema: Si es un campo vectorial conservativo donde P y Q tienen derivadas parciales continuas de primer orden en un dominio D, entonces en todo D se tiene que:
Demosración:
 
.
A
Teorema de Green
 
Green (1793 – 1841) científico ingles, estudio la teoría matemática de electricidad y magnetismo. Autodidacta y a los 40 ingreso a Cambridge y murió 4 años después de graduarse.
Teorema de Green
 
Sea una curva C suave a trozos, cerrada, simple y positivamente orientada del plano, y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales contínuas en una región abierta que contiene a D entonces:
Vamos a demostrar el Teorema de Green considerando una situación particular, luego iremos generalizando su aplicación.
y procedemos seguir el mismo camino anterior
 
 y
 1
 0 C1 1 x
Luego el área puede calcularse usando cualquiera de estas tres alternativas:
Parametrizando a la elipse:
Aunque el Teorema de Green se ha demostrado para regiones simplemente conexas es posible entenderlo para los casos cuando D es la unión finita de regiones simples.
b
 y
 
 0 a x
GENERALIZACION DEL TEOREMA DE GREEN
1) Aunque el Teorema de Green se ha demostrado para regiones simplemente conexas es posible entenderlo para los casos cuando D es la unión finita de regiones simples.
Considerando que C = C1 υ C2 y que
D = D1 υ D2 
Aplicando Green a D1 y D2 ya que cumplen
Las condiciones que exige el Teorema: 
 y
 
D1
D2
C2
C1
Sumando miembro a miembro estas dos igualdades:
2) También el Teorema de Green se puede extender para calcular las integrales de regiones con agujeros o no simples conexas.
Sean C1 y C2 dos curvas cerradas simples
están orientadas de modo que al recorrer 
ambas curvas, la región D esta siempre a la 
Izquierda de la dirección positiva C1 y la dirección negativa C2. 
 
 C2
Si dividimos D en dos regiones D1 y D2 por rectas como se muestran en la siguiente figura y aplicamos el Teorema de Green a cada una de ellas.
En D1 la curva CA=C’1υC’2υC3υC4
En D2 la curva CB=C’’1υC’’2υ-C3υ-C4
Aplicando el Teorema de Green a D1 y D2:
 
desarrollando cada una de éstas integrales:
 D1 C’1
 C3 C’2 C4
 -C3 C’’2 -C4
 D2
 C’’1 
Sumando y simplificando:
66
2
2
1
3
2
1
:
)
,
,
(
X
m
m
G
F
será
medida
o
módulo
Su
z
y
x
X
donde
en
X
X
m
m
G
F
G
G
=
=
=
r
r
j
y
x
f
i
y
x
f
y
x
f
y
x
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,
(
)
,
(
)
,
(
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=
Ñ
2
2
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,
(
y
x
y
x
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+
=
yj
xi
y
x
f
2
2
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,
(
+
=
Ñ
k
z
y
x
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j
z
y
x
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i
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y
x
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y
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y
y
x
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,
(
´
)
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(
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,
(
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,
,
(
+
+
=
Ñ
k
f
j
f
i
f
f
z
y
x
)
0
,
0
,
1
(
´
)
0
,
0
,
1
(
)
0
,
0
,
1
(
)
0
,
0
,
1
(
+
+
=
Ñ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
¶
=
¶
®
=
¶
¶
=
¶
=
¶
®
=
¶
¶
=
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2
(
)
1
(
2
2
y
y
f
y
y
f
f
x
x
f
x
x
f
f
y
x
1
2
)
(
)
,
(
tan
2
:
)
1
(
c
y
g
x
y
x
f
te
cons
permanece
y
como
x
x
f
Integrando
+
+
=
¶
=
¶
ò
ò
2
2
)
(
2
)
,
(
tan
:
)
2
(
c
x
h
y
y
x
f
te
cons
permanece
x
como
y
y
f
Integrando
+
+
=
¶
=
¶
ò
ò
)
(
*
i
t
r
)
,
(
*
*
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ò
ò
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ø
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÷
ø
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C
b
a
dt
t
r
t
y
t
x
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dt
dt
dy
dt
dx
t
y
t
x
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ds
y
x
f
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))
(
),
(
(
´
))
(
),
(
(
)
,
(
2
ò
+
C
ds
y
x
x
)
2
(
2


C
dsyxx )2(
2
3
2
:
tan
3
2
3
)
1
(
)
1
(
3
cos
2
3
cos
2
)
cos
cos
2
(
)
cos
cos
2
(
)
2
(
3
3
0
3
0
3
0
2
0
2
2
=
=
-
-
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
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ú
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ù
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ò
ò
I
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Por
t
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I
t
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t
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t
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x
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p
p
p
p
ò
ò
ò
ò
ò
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=
C
C
C
C
C
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y
x
ds
y
x
y
y
ds
y
x
ds
y
x
x
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masa
de
centro
El
ds
y
x
m
será
masa
La
)
,
(
)
,
(
;
)
,
(
)
,
(
:
)
,
(
:
r
r
r
r
r
r
r
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ò
ò
=
=
5
1
)
,
(
)
,
(
i
C
C
i
ds
y
x
f
ds
y
x
f
ò
C
xds
ò
C
xds
ò
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¥
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D
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n
i
i
i
i
n
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y
x
f
s
y
x
f
)
,
(
)
,
(
lim
1
*
*
ò
å
ò
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¥
®
=
¥
®
=
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D
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)
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lim
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,
(
)
,
(
lim
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*
*
1
*
*
ò
ò
ò
+
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C
C
C
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Q
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y
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y
x
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)
,
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y
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ò
ò
ò
-
-
-
=
-
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C
C
C
C
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y
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y
x
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y
x
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,
(
)
,
(
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,
(
)
,
(
6
5
41
6
5
40
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4
2
(
)
4
(
)
2
(
2
1
2
3
2
3
2
2
3
2
2
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+
=
®
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-
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ò
ò
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I
dy
y
ydy
y
xdy
dx
y
I
C
6
5
6
24
6
75
6
50
5
4
2
25
3
25
5
)
4
25
25
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5
5
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5
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5
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3
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1
0
1
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3
0
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0
1
2
2
1
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ú
û
ù
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ò
ò
ò
I
t
t
t
dt
t
t
I
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t
dt
t
xdy
dx
y
I
C
ò
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=
¥
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D
C
n
i
i
i
i
i
n
ds
z
y
x
f
s
z
y
x
f
)
,
,
(
)
,
,
(
lim
1
*
*
*
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx
t
z
t
y
t
x
f
ds
z
y
x
f
b
a
C
ò
ò
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
2
2
2
))
(
),
(
),
(
(
)
,
,
(
ò
ò
å
ò
ò
å
ò
ò
å
=
=
=
D
=
=
=
D
=
=
=
D
=
¥
®
=
¥
®
=
¥
®
C
C
n
i
i
i
i
i
n
C
C
n
i
i
i
i
i
n
C
C
n
i
i
i
i
i
n
dz
z
y
x
R
dz
z
y
x
f
z
z
y
x
f
dy
z
y
x
Q
dy
z
y
x
f
y
z
y
x
f
dx
z
y
x
P
dx
z
y
x
f
x
z
y
x
f
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
lim
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
lim
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
lim
1
*
*
*
1
*
*
*
1
*
*
*
ò
ò
ò
ò
+
+
=
+
+
C
C
C
C
Rdz
Qdy
Pdx
dx
z
y
x
R
dx
z
y
x
Q
dx
z
y
x
P
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
ï
î
ï
í
ì
-
=
®
-
=
=
®
=
=
®
=
5
5
5
0
4
0
3
dz
t
z
dy
y
dx
x
ò
+
+
C
xdz
zdy
ydx
ò
+
+
C
xdz
zdy
ydx
ï
î
ï
í
ì
-
=
®
-
=
=
®
=
=
®
=
t
dz
t
z
dy
y
dx
x
5
5
5
0
4
0
3
ò
+
+
C
xdz
zdy
ydx
[
]
2
19
15
2
49
15
15
15
)
5
(
3
0
)
(
)
0
(
4
2
1
1
0
1
0
1
0
2
=
-
=
+
=
-
=
-
=
-
=
-
+
-
+
=
ò
ò
I
I
I
t
dt
dt
t
I
)
.
,
(
*
*
*
i
i
i
z
y
x
F
)
.
,
(
*
*
*
i
i
i
z
y
x
F
ò
å
å
=
D
D
=
=
¥
®
=
C
u
i
u
i
i
n
i
i
n
i
u
i
i
n
i
i
s
ds
T
z
y
x
F
s
T
x
x
x
F
por
dado
vendrá
Vectorial
Campo
del
Línea
de
Integral
la
Luego
s
T
x
x
x
F
W
.
)
,
,
(
.
)
,
,
(
lim
:
,
.
)
,
,
(
*
*
1
*
*
*
1
*
ò
C
u
ds
T
z
y
x
F
.
)
,
,
(
ò
ò
ò
ò
ò
=
=
=
®
=
=
=
=
=
=
£
£
=
b
a
C
b
a
u
C
b
a
u
u
u
dr
t
r
F
dt
t
r
t
r
F
ds
T
z
y
x
F
Luego
dt
t
r
dr
t
r
dt
dr
entonces
t
r
r
Como
dt
t
r
t
r
F
ds
T
z
y
x
F
mplazando
t
r
F
z
y
x
F
y
dt
t
r
ds
T
entonces
t
r
t
r
T
b
t
a
donde
en
dt
t
r
ds
.
))
(
(
)
(
'
.
))
(
(
.
)
,
,
(
:
)
(
'
)
(
')
(
)
(
'
.
))
(
(
.
)
,
,
(
:
Re
))
(
(
)
,
(
)
(
'
:
)
(
'
)
(
'
)
(
'
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
+
+
=
=
=
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Rdz
Qdy
Pdx
dr
F
dt
t
Rz
dt
t
Qy
dt
t
Px
dr
F
dt
t
Rz
t
Qy
t
Px
dr
F
dt
k
t
z
j
t
y
i
t
x
Rk
Qj
Pi
dr
F
dt
t
r
t
r
F
dr
F
.
)
(
'
)
(
'
)
(
'
.
))
(
'
)
(
'
)
(
'
(
.
)
)
(
'
)
(
'
)
(
'
(
.
)
(
.
)
(
'
.
))
(
(
.
))
(
(
))
(
(
.
))
(
(
))
(
(
))
(
(
.
))
(
(
:
))
(
),
(
),
(
(
)
(
)
,
,
(
:
)
(
'
)).
(
(
.
a
r
f
b
r
f
dr
f
t
r
f
t
r
f
dt
t
r
f
t
dr
f
t
z
z
f
t
y
y
f
t
x
x
f
t
r
f
t
Entonces
t
z
t
y
t
x
t
r
y
z
y
x
f
Como
dt
t
z
z
f
t
y
y
f
t
x
x
f
dt
t
r
t
r
f
dr
f
C
b
a
b
a
b
a
C
b
a
C
b
a
-
=
Ñ
=
¶
=
¶
¶
=
Ñ
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
=
ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
Ñ
=
Ñ
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
),(
),(
'
2
yxQQdy
yy
yxf
C







 
 
Luego 
fj
y
f
i
x
f
jQiPF 






____
 
 
Regiones 
Simplemente conexas 
 No son simplemente 
conexas 
Como F =(P, Q, R) tiene derivadas parciales continuas de 
er
1
orden 
 
 
x
yxQ
yx
f
y
yxP
xy
f









 ),(
;
),(
22
 
 
Como 
yx
f
xy
f





22
 por el Teorema de Clairaut 
Por lo tanto se tiene que 
),(),( yxQ
y
f
yyxP
x
f






 
Entonces 
x
yxQ
y
yxP




 ),(),(
 lqqd 
Teorema: Sea 
__
jQiPF 
 un campo vectorial sobre una región D abierta y 
simplemente conexa. Supongamos que P y Q tienen derivadas parciales continuas 
de 
er
1
orden y 
x
Q
y
P





 en toda la región D 
Entonces F es conservativo. 
Como 
2 xQyyxP
 
11 





x
Q
y
y
P
 
Como 
x
Q
y
P





 no es conservativo 
Ejemplo: 
_
22
_
)3()23(),( jyxixyyxF 
 ¿Es conservativo o no? 
 






x
x
Q
x
y
P
2;2
x
Q
y
P





 
Si 
_
22
_
)3()23(),( jyxixyyxF 
 es conservativo encuentre
f
 tal que 
fF
 
 
Evalúe la integral de línea 

C
drF.
 

C es la curva dada por 
 tjteisentetr
tt
0;cos)(
__
 
dxxydf
x
f
P )23(



 
 )(
2
2
3
2
yg
yx
xf
 cte de integración 
Como es conservativo solo depende de las entonces 







tey
sentex
t
t
cos
 
Si 
)1,0(100 Pyxt 
 
 
),0()1(0

 ePeeyxt 
 
 
keef
kf
kyyxxyxf



3
32
),0(
1)1,0(
3),(
 
 
D 
C 
C 
D 
Tipos de orientaciones 
Orientación negativa 
 
Orientación positiva 
 














C
D
dA
y
P
x
Q
QdyPdx
 
 
La notación 


C
QdyPdx
 se utiliza para indicar que la integral de línea 
se calcula usando la orientación positiva de la curva cerrada. 
 
Otra notación: 
 















D
D
QdyPdxdA
y
P
x
Q
 
D
 indica orientación positiva de la curva fron tera 
Esta ecuación comparada con el enunciado del Teorema Fundamental 
del Cálculo 
 


b
a
aFbFdxxF )()()('
 
Los 
eros
1
miembros comprenden las derivadas 
dy
dP
dx
dQ
xF ,),('
 y el segundo 
los valores de las funcione s originales F, Q, P solo en la frontera. 
 
Demostración del Teorema de Green para los casos en que D es una región 
 tipo I o II 
Si 
 
)()(,/),(
21
xgyxgbxayxD 
 Región tipo I 
Tenemos que 
 













C
D
dA
y
P
x
Q
QdyPdx
 
 
 



C
D
dA
y
P
Pdx
)1(
 y 
 



C
D
dA
x
Q
Qdy
)2(
 
De (1) 
 








b
a
xg
xg
D
b
a
xg
xg
dy
y
yxP
dxdydx
y
yxP
dA
y
P
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
),(),(
= 
 
 
 
 



D
b
a
dxxgxPxgxPdA
y
P
))(,())(,(
12
 
Descomponiendo C en 
4321
,,, CyCCC
calcularemos 

C
dxyxP),(
 en c/u de ellas 




4
1
),(),(
i
CC
i
dxyxPdxyxP
 
En 
1
C
: Si tenemos como parámetro 
)(
1
xgyxx 
 
 


1
))(,(),(
1
C
b
a
dxxgxPdxyxP
bxa
 
En
3
C
: Como el sentido es de derecha a izquierda, invertimos la orientación y 
calculamos 


3
),(
C
dxyxP
 . De modo análogo tomamos como parámetro a x luego 
)(
2
xgy
 

bxa
 
 


31
3
))(,(),(),(
2
C
b
aC
dxxgxPdxyxPdxyxP
 
 
La 
 
dxxgxPxgxPdxxgxPdxxgxPdxyxP
b
a
b
a
b
aC
 
 ))(,())(,())(,())(,(),(
2121
 
 
 
  



C
b
a
D
dA
y
P
dxxgxPxgxPdxyxP ))(,()(,(),(
12
 
 En C2 y C4, como x=b y x=a respectivamente, entonces dx = 0, luego: 
 
420),( oisidxyxP
Ci


 
Para demostrar la otra hipótesis tomamos 
 
)()(,/),(
21
yhxyhdycyxD 
 
Ejemplo: Evaluar 


C
xydydxx
4
 donde C es la región definida por los segmentos de 
recta que unen los puntos (0,0), (1,0) y (0,1) en ese sentido 
 
Este problema lo podemos resolver como si fuera una integral a lo largo de 
321
, CyCC
. 
El cálculo se simplifica mucho si usa el Teorema de Green. 
 














C
D
dA
y
P
x
Q
QdyPdx
 
 
Por el T. de G: 
yxQxyyxQ
yPxyxP


/),(
0/),(
4
 
Otra aplicación en el cálculo de áreas. Esto se da cuando 
 
 







D
AdA
y
P
x
Q
11
 
 
Existen varias posibilidades, por ejemplo cuando 
a) 
10110),(0),( 












y
P
x
Q
x
Q
y
y
P
xyxQyyxP
 
b) 
0),(),(  yxQyyyxP
 
 
c) 
2/),(2/),( xyxQyyyxP 
 
Ejemplo: calcular el área limitada por la elipse 
1
2
2
2
2

b
y
a
x
 
  


31 1 3
CC C C
QdyPdxQDyPdxQdyPdx
 
   

 
2 3321 2 3
C CCC C C
QdyPdxQdyPdxQdyPdxQDyPdxQdyPdx
 
dA
y
P
x
Q
Qdy
Pdx
D
D
D
y
C
C
C
Como
dA
y
P
x
Q
dA
y
P
x
Q
Qdy
Pdx
Qdy
Pdx
dA
y
P
x
Q
dA
y
P
x
Q
D
C
D
D
C
C
D
D
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
òò
ò
òò
òò
ò
ò
òò
òò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
=
+
=
È
=
È
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
=
+
+
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
=
+
=
-
+
+
=
+
È
-
È
2
1
2
1
2
1
1
3
2
1
2
1
3
2
3
1
3
1
3
2
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
+
+
+
=
+
+
+
=
È
=
È
+
+
+
=
+
+
+
2
1
'
2
'
'
2
'
1
'
'
1
2
'
'
2
'
2
1
'
'
1
'
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Qdy
Pdx
Qdy
Pdx
Qdy
Pdx
Qdy
Pdx
C
C
C
y
C
C
C
Como
Qdy
Pdx
Qdy
Pdx
B
A
B
A
òò
òò
òò
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
D
D
D
dA
y
P
x
Q
dA
y
P
x
Q
dA
y
P
x
Q
1
2
'
ò
ò
+
+
+
=
2
1
C
C
Qdy
Pdx
Qdy
Pdx
Ejemplo: Si 
22
__
),(
yx
jxiy
yxF




 demuestre que 


C
drF 2.
 para toda trayectoria 
cerrada simple que contiene al origen. 
 
Como C es arbitraria es difícil calcular la integral dada, por tanto consideremos un 
círculo C’ orientado positivamente con centro en el origen y radio a de modo que se 
encuentre dentro de C 
 
C 
D 
C’ 
Por el teorema visto 
  















C C D
dA
y
P
x
Q
QdyPdxQdyPdx
'
Como 
_
22
_
22
),( j
yx
x
i
yx
y
yxF





 
Entonces 
222
22
222
22
222
22
22
)()()(
)2(
),(
yx
xy
yx
yx
yx
xyyx
y
P
yx
y
yxP















 
 
222
22
222
22
22
)()(
)2(
),(
yx
xy
yx
xxyx
x
Q
yx
x
yxQ











 
Por tanto: 


'C
QdyPdx
si podemos calcularla 


2/2
cos
)(')).((
cos
))((
cos)('
cos)(:'
2
0
22
__
__
__






radt
r
a
r
a
r
ta
r
tasen
trtrF
j
a
t
i
a
sent
trF
jtaiasenttr
jasentitatrC