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Aplicacion a la Dinamica
Sebastian Sanchez Guerrero
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Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Universidad de Piura Abril 2010 Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial 1 Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración 2 Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares 3 Moviemiento con aceleración radial Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Los caminos f : I ⊆ < → <3 se usan para estudiar el movimiento de un punto material en el espacio (o en el plano). La variable t suele ser el tiempo y en lugar de f se acostumbra usar r. Al vector r(t) se le denomina “vector posición”. Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Los caminos f : I ⊆ < → <3 se usan para estudiar el movimiento de un punto material en el espacio (o en el plano). La variable t suele ser el tiempo y en lugar de f se acostumbra usar r. Al vector r(t) se le denomina “vector posición”. Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Los caminos f : I ⊆ < → <3 se usan para estudiar el movimiento de un punto material en el espacio (o en el plano). La variable t suele ser el tiempo y en lugar de f se acostumbra usar r. Al vector r(t) se le denomina “vector posición”. Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Sea r(t) = (x(t), y(t), z(t)) el vector posición de un punto material en función del tiempo. La velocidad de un punto material es la velocidad de cambio del vector posición: u(t) = r′(t) = (x′(t), y′(t), z′(t)). La aceleración de un punto material es la velocidad de cambio del vector velocidad: a(t) = u′(t) = r′′(t) = (x′′(t), y′′(t), z′′(t)). Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Sea r(t) = (x(t), y(t), z(t)) el vector posición de un punto material en función del tiempo. La velocidad de un punto material es la velocidad de cambio del vector posición: u(t) = r′(t) = (x′(t), y′(t), z′(t)). La aceleración de un punto material es la velocidad de cambio del vector velocidad: a(t) = u′(t) = r′′(t) = (x′′(t), y′′(t), z′′(t)). Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Sea r(t) = (x(t), y(t), z(t)) el vector posición de un punto material en función del tiempo. La velocidad de un punto material es la velocidad de cambio del vector posición: u(t) = r′(t) = (x′(t), y′(t), z′(t)). La aceleración de un punto material es la velocidad de cambio del vector velocidad: a(t) = u′(t) = r′′(t) = (x′′(t), y′′(t), z′′(t)). Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial El vector velocidad de una partı́cula material tiene la dirección de la tangente y se puede escribir como: u = r′(t) = ‖r′(t)‖T(t) = 3(t)T(t) Derivamos esta expresión: r′′(t) = 3′(t)T(t) + 3(t)T ′(t) La derivada T ′(t) = T ′(s) ds dt Pero ds dt = d dt (∫ t t0 ‖r′(u)‖ du ) = ‖r′(t)‖ = 3(t) Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial El vector velocidad de una partı́cula material tiene la dirección de la tangente y se puede escribir como: u = r′(t) = ‖r′(t)‖T(t) = 3(t)T(t) Derivamos esta expresión: r′′(t) = 3′(t)T(t) + 3(t)T ′(t) La derivada T ′(t) = T ′(s) ds dt Pero ds dt = d dt (∫ t t0 ‖r′(u)‖ du ) = ‖r′(t)‖ = 3(t) Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial El vector velocidad de una partı́cula material tiene la dirección de la tangente y se puede escribir como: u = r′(t) = ‖r′(t)‖T(t) = 3(t)T(t) Derivamos esta expresión: r′′(t) = 3′(t)T(t) + 3(t)T ′(t) La derivada T ′(t) = T ′(s) ds dt Pero ds dt = d dt (∫ t t0 ‖r′(u)‖ du ) = ‖r′(t)‖ = 3(t) Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial El vector velocidad de una partı́cula material tiene la dirección de la tangente y se puede escribir como: u = r′(t) = ‖r′(t)‖T(t) = 3(t)T(t) Derivamos esta expresión: r′′(t) = 3′(t)T(t) + 3(t)T ′(t) La derivada T ′(t) = T ′(s) ds dt Pero ds dt = d dt (∫ t t0 ‖r′(u)‖ du ) = ‖r′(t)‖ = 3(t) Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Entonces: T ′(t) = κ(t)N(t)3(t) La aceleración queda como: r′′(t) = 3′(t)T(t) + κ(t)(3(t))2N(t) Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Entonces: T ′(t) = κ(t)N(t)3(t) La aceleración queda como: r′′(t) = 3′(t)T(t) + κ(t)(3(t))2N(t) Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Recordemos que r′′(t) mide la velocidad de cambio de r′(t). El vector r′′(t) es consecuencia de la velocidad de cambio de dirección y cambio de tamaño del vector r′(t). El vector aceleración se puede descomponer según una base como la î, ĵ, k̂ . Sin embargo, la descomposición del vector aceleración según la base T̂ , N̂ y B̂ tiene la gran ventaja de separar el efecto del cambio de dirección del efecto del cambio de tamaño. Aplicaciones a la dinámica MSc DanielG. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Recordemos que r′′(t) mide la velocidad de cambio de r′(t). El vector r′′(t) es consecuencia de la velocidad de cambio de dirección y cambio de tamaño del vector r′(t). El vector aceleración se puede descomponer según una base como la î, ĵ, k̂ . Sin embargo, la descomposición del vector aceleración según la base T̂ , N̂ y B̂ tiene la gran ventaja de separar el efecto del cambio de dirección del efecto del cambio de tamaño. Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Recordemos que r′′(t) mide la velocidad de cambio de r′(t). El vector r′′(t) es consecuencia de la velocidad de cambio de dirección y cambio de tamaño del vector r′(t). El vector aceleración se puede descomponer según una base como la î, ĵ, k̂ . Sin embargo, la descomposición del vector aceleración según la base T̂ , N̂ y B̂ tiene la gran ventaja de separar el efecto del cambio de dirección del efecto del cambio de tamaño. Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Recordemos que r′′(t) mide la velocidad de cambio de r′(t). El vector r′′(t) es consecuencia de la velocidad de cambio de dirección y cambio de tamaño del vector r′(t). El vector aceleración se puede descomponer según una base como la î, ĵ, k̂ . Sin embargo, la descomposición del vector aceleración según la base T̂ , N̂ y B̂ tiene la gran ventaja de separar el efecto del cambio de dirección del efecto del cambio de tamaño. Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial r′′(t) = 3′(t)T(t) + κ(t)(3(t))2N(t) Puesto que 3 = ‖r′(t)‖, 3′(t) mide la velocidad del cambio de tamaño del vector 3 = ‖r′(t)‖. κ(t)(3(t))2 medirá entonces la velocidad de cambio de dirección del vector r′(t). Justamente en este término aparece la curvatura. Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial r′′(t) = 3′(t)T(t) + κ(t)(3(t))2N(t) Puesto que 3 = ‖r′(t)‖, 3′(t) mide la velocidad del cambio de tamaño del vector 3 = ‖r′(t)‖. κ(t)(3(t))2 medirá entonces la velocidad de cambio de dirección del vector r′(t). Justamente en este término aparece la curvatura. Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial r′′(t) = 3′(t)T(t) + κ(t)(3(t))2N(t) Puesto que 3 = ‖r′(t)‖, 3′(t) mide la velocidad del cambio de tamaño del vector 3 = ‖r′(t)‖. κ(t)(3(t))2 medirá entonces la velocidad de cambio de dirección del vector r′(t). Justamente en este término aparece la curvatura. Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Ejemplo: Consideremos el movimiento en el plano, de una partı́cula que se mueve según r(t) = (t , t2). La velocidad está dada por: r′(t) = (1, 2t). La aceleración está dada por: r′′(t) = (0, 2). El vector aceleración es constante todo el tiempo. 3(t) = ‖r′(t)‖ = √ 1 + 4t2 3 ′(t) = 4t √ 1 + 4t2 κ(t) = 2 (1 + 4t2)3/2 Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Ejemplo: Consideremos el movimiento en el plano, de una partı́cula que se mueve según r(t) = (t , t2). La velocidad está dada por: r′(t) = (1, 2t). La aceleración está dada por: r′′(t) = (0, 2). El vector aceleración es constante todo el tiempo. 3(t) = ‖r′(t)‖ = √ 1 + 4t2 3 ′(t) = 4t √ 1 + 4t2 κ(t) = 2 (1 + 4t2)3/2 Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Ejemplo: Consideremos el movimiento en el plano, de una partı́cula que se mueve según r(t) = (t , t2). La velocidad está dada por: r′(t) = (1, 2t). La aceleración está dada por: r′′(t) = (0, 2). El vector aceleración es constante todo el tiempo. 3(t) = ‖r′(t)‖ = √ 1 + 4t2 3 ′(t) = 4t √ 1 + 4t2 κ(t) = 2 (1 + 4t2)3/2 Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Ejemplo: Consideremos el movimiento en el plano, de una partı́cula que se mueve según r(t) = (t , t2). La velocidad está dada por: r′(t) = (1, 2t). La aceleración está dada por: r′′(t) = (0, 2). El vector aceleración es constante todo el tiempo. 3(t) = ‖r′(t)‖ = √ 1 + 4t2 3 ′(t) = 4t √ 1 + 4t2 κ(t) = 2 (1 + 4t2)3/2 Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial r′′(t) = 3′(t)T(t) + κ(t)(3(t))2N(t) r′′(t) = 4t √ 1 + 4t2 T(t) + 2 (1 + 4t2)3/2 ( √ 1 + 4t2 )2 N(t) Se tiene entonces (0, 2) = 4t √ 1 + 4t2 T(t) + 2 √ 1 + 4t2 N(t) Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Ejemplo: Movimiento circular Un punto se mueve a lo largo de una circunferencia según el camino r(t) = (R cos θ(t),R sin θ(t)). r′(t) = (−Rθ′(t) sin θ,Rθ′(t) cos θ) = Rω(t)(− sin θ, cos θ) ω(t) = θ′(t) r′′(t) = 3′(t)T(t) + κ(t)(3(t))2N(t) = Rω′(t)T(t) + 1 R (R2ω2(t))N(t) = Rω′(t)T(t) + Rω2(t)N(t) Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial En el sistema cartesiano un punto se ubica con las coordenadas cartesianas x, y. En el sistema polar un punto se ubica con las coordenadas polares ρ y θ. Las coordenadas cartesianas y polares están relacionadas por las ecuaciones: x = ρ cos θ y = ρ sin θ Al considerar un camino en el plano r : I ⊆ < → <2, r(t) = (x(t), y(t)), podemos escribir las funciones coordenadas como: x(t) = ρ(t) cos θ(t) y(t) = ρ(t) sin θ(t) Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polaresAceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial ρ = ρ(t) y θ = θ(t) son funciones que para cada real t ∈ I, asignan las coordenadas polares del punto r(t) ∈ <2. cos θ(t) resulta de la composición de cos θ con θ(t). Ası́ mismo lo es sin θ(t). r(t) = (ρ(t) cos θ(t), ρ(t) sin θ(t)) r(t) = ρ(t)(cos θ(t), sin θ(t)) Definimos el vector unitario ur = (cos θ(t), sin θ(t)), entonces: r(t) = ρ(t)ur(t). Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Definimos también el vector uθ(t) = (− sin θ(t), cos θ(t)) que se obtiene girando el vector ur(t), 90◦ en sentido antihorario. Derivando respecto a t : r′(t) = ρ′(t)ur(t) + ρ(t)u′r(t) Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Velocidad en coordenadas polares ur(t) es un vector función del ángulo θ, pero θ = θ(t), entonces ur(t) es función compuesta de t . Usando la regla de la cadena: u′r(t) = d dt (cos θ(t), sin θ(t)) = (−θ′(t) sin θ(t), θ′(t) cos θ(t)) = θ′(t)(− sin θ(t), cos θ(t)) = θ′(t)uθ(t) Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial De modo que r′(t) = ρ′(t)ur(t) + ρ(t)θ′(t)uθ(t) Los factores ρ′(t) y ρ(t)θ′(t) se denominan componente radial y componente transversal del vector velocidad r′(t). La rapidez del movimiento es: 3(t) = ‖r′(t)‖ = √ (ρ′(t))2 + (ρ(t)θ′(t))2 Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Para hallar la aceleración derivamos respecto al tiempo la velocidad: r′(t) = ρ′(t)ur(t) + ρ(t)θ′(t)uθ(t) r′′(t) = ρ′(t)u′r(t) + ρ ′′(t)ur(t) + ρ(t)θ′(t)u′θ(t) + ρ ′(t)θ′(t)uθ(t) + ρ(t)θ′′(t)uθ(t) Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Pero: u′r(t) = θ ′(t)uθ(t). También: u′θ(t) = −θ ′(t)ur(t). Entonces, la expresión para la aceleración se puede escribir como: r′′(t) = ρ′(t)θ′(t)uθ(t) + ρ′′(t)ur(t) − ρ(t)θ′(t)θ′(t)ur(t) + ρ′(t)θ′(t)uθ(t) + ρ(t)θ′′(t)uθ(t) Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Agrupando los términos: r′′(t) = (ρ′′(t) − ρ(t)(θ′(t))2)ur(t) (ρ(t)θ′′(t) + 2ρ′(t)θ′(t))uθ(t) La componente de la aceleración en la dirección de ur se denomina aceleración radial. La componente en la dirección de uθ se denomina aceleración transversal. Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Movimiento con aceleración radial Consideremos el caso en que sólo existe aceleración radial. Demostraremos el siguiente teorema: Teorema: Supongamos que un punto se mueve en el plano según el camino r(t) = ρ(t)ur(t), con aceleración radial. Sea A(t) el área barrida por el vector r(t) entre el instante t0 (dado) y el instante t > t0. Entonces, A(t) es proporcional al tiempo t . Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Siendo la aceleración radial, se tiene: aθ(t) = ρ(t)θ′′(t) + 2ρ′(t)θ′(t) = 0 Esta igualdad se puede escribir como: 1 ρ(t) d dt ( (ρ(t))2θ′(t) ) = 0 Lo que quiere decir que: (ρ(t))2θ′(t) = m = constante Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Sea ρ(t) = f(θ(t)), donde f(θ) es la función que nos da, en coordenadas polares, la curva descrita por r(t). El área limitada por la curva f(θ) entre θ0 y θ se calcula según: A(θ) = 1 2 ∫ θ θ0 (f(θ?))2 dθ? Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Calculamos A ′(t): dA dt = dA dθ dθ dt = ( d dθ ( 1 2 ∫ θ θ0 (f(θ?))2 dθ? )) θ′(t) = 1 2 (f(θ))2θ′(t) = 1 2 (ρ(t))2θ′(t) Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Pero sabemos que: (ρ(t))2θ′(t) = m = constante Entonces: dA dt = 1 2 m En consecuencia A(t) = 1 2 mt + C Es decir, el área A(t) es proporcional a t . Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial La ley de la gravitación universal establece que la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masa M y m es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. F = G Mm d2 Consideremos el movimiento de un planeta alrededor del sol. Sea M la masa del sol y m la masa del planeta. Sea r(t) = ρ(t)ur(t) el camino en<3 que describe la trayectoria del planeta. Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Suponiendo al sol en el origen de coordenadas, aplicando a este caso la segunda ley de Newton: F = ma, F es la fuerza que el sol ejerce y a es la aceleración del planeta. Entonces: a = GM d2 El vector aceleración es: a(t) = − GM d2 ur(t) donde d = ‖r(t)‖. Se puede apreciar que la aceleración del planeta es radial. Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Lema: Si el movimiento de un punto en el espacio descrito por el camino r(t) = ρ(t)ur(t) es tal que su aceleración a = r′′(t) es a = − GM d2 ur(t), d = ‖r(t)‖ entonces, el punto se mueve sobre un plano que pasa por el origen. Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Vamos a demostrar que cuando la aceleraciónes radial, el movimiento debe ser en un plano. d dt (r(t) × r′(t)) = r(t) × r′′(t) + r′(t) × r′(t) = r(t) × r′′(t) = (ρ(t)ur(t)) × ( − GM d2 ur(t) ) = − GMρ(t) d2 ur(t) × ur(t) = 0 Aplicaciones a la dinámica MSc Daniel G. Camacho Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial Entonces, r(t) × r′(t) = c es un vector constante. Si c = 0, r(t) y r′(t) serı́an paralelos. Si c , 0, multiplicamos r(t) × r′(t) escalarmente por r(t) y nos queda: r(t) · r(t) × r′(t) = c · r(t) = 0 y r(t) es siempre ortogonal a c. r(t) se encuentra en un plano cuya normal es c. Aplicaciones a la dinámica Velocidad y aceleración Descripción del movimiento usando coordenadas polares Velocidad en coordenadas polares Aceleración en coordenadas polares Moviemiento con aceleración radial
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