Camino en Rn

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Caminos en<n
MSc Daniel G. Camacho
Universidad de Piura
Marzo 2010
1 Caminos en<n
2 Camino cerrado, simple y cerrado simple
3 Traza
Caminos en
<n
MSc Daniel G.
Camacho
Caminos en
<n
Camino
cerrado, simple
y cerrado
simple
Traza
Caminos en<n
Definición:
Una función f : I ⊆ < → <n continua, definida en el intervalo I
de<, se llama camino o trayectoria en el espacio<n.
Si la función continua f : I ⊆ < → <n está definida en el
intervalo cerrado I = [a, b], diremos que el punto f(a) ∈ <n es
el punto inicial del camino o trayectoria f , en tanto que
f(b) ∈ <n es el punto final.
Caminos en
<n
MSc Daniel G.
Camacho
Caminos en
<n
Camino
cerrado, simple
y cerrado
simple
Traza
Definición: Camino cerrado
Si sucede que f(a) = f(b), diremos que el camino f es
cerrado.
Definición: Camino simple
Si la función f es inyectiva en I diremos que f es un camino
simple.
Definición: Camino cerrado simple
Si se tiene f(a) = f(b) y la función f restringida al intervalo
[a, b) es inyectiva, diremos que el camino es cerrado simple.
Caminos en
<n
MSc Daniel G.
Camacho
Caminos en
<n
Camino
cerrado, simple
y cerrado
simple
Traza
Traza de un camino
Definición: Traza
Se llama traza del camino f : I ⊆ < → <n al conjunto de las
imágenes de f ; es decir:
traza de f = {f(t) ∈ <n |t ∈ I} ⊂ <n
Designaremos con la palabra curva a la traza de un
camino f : I ⊆ < → <n.
En ocasiones será necesario distinguir al camino en sı́, el
cual es una función continua f : I ⊆ < → <n, del aspecto
visual que está constituido por el conjunto de sus
imágenes que forman la curva.
Caminos en
<n
MSc Daniel G.
Camacho
Caminos en
<n
Camino
cerrado, simple
y cerrado
simple
Traza
La imagen de un camino simple es una curva simple.
La imagen de un camino cerrado es una curva cerrada.
La imagen de un camino cerrado simple es una curva
cerrada simple.
Caminos en
<n
MSc Daniel G.
Camacho
Caminos en
<n
Camino
cerrado, simple
y cerrado
simple
Traza
Ejemplo
Consideremos la función continua ϕ : <→ < con variable
x ∈ I. Su gráfica está formada por el conjunto
{(x, y)|x ∈ I, y = ϕ(x)} ⊂ <2
La gráfica de ϕ es igual a la traza de la función f : I ⊆ < → <2
definida como
f = (t , ϕ(t))
La imagen de f es una curva.
Caminos en
<n
MSc Daniel G.
Camacho
Caminos en
<n
Camino
cerrado, simple
y cerrado
simple
Traza
Ejemplo
f : [0, 2π]→<2
f(t) = (r cos t , r sin t)
Ejemplo
f : <→ <2
f(t) = (t3 − t , t2 − 1)
f(−1) = (0, 0) = f(1)
Ejemplo
Cicloide
Caminos en
<n
MSc Daniel G.
Camacho
Caminos en
<n
Camino
cerrado, simple
y cerrado
simple
Traza
Ejemplo
f : [0, 2π]→<2
f(t) = (r cos t , r sin t)
Ejemplo
f : <→ <2
f(t) = (t3 − t , t2 − 1)
f(−1) = (0, 0) = f(1)
Ejemplo
Cicloide
Caminos en
<n
MSc Daniel G.
Camacho
Caminos en
<n
Camino
cerrado, simple
y cerrado
simple
Traza
Ejemplo
f : [0, 2π]→<2
f(t) = (r cos t , r sin t)
Ejemplo
f : <→ <2
f(t) = (t3 − t , t2 − 1)
f(−1) = (0, 0) = f(1)
Ejemplo
Cicloide
Caminos en
<n
MSc Daniel G.
Camacho
Caminos en
<n
Camino
cerrado, simple
y cerrado
simple
Traza
Ejemplo
g : [0, π]→<2
g(t) = (r cos 2t , r sin 2t)
La curva que representa el camino f(t) = (r cos t , r sin t)
es una circunferencia recorrida en sentido antihorario que
empieza en (r , 0).
La misma curva representa el camino
g(t) = (r cos 2t , r sin 2t).
Caminos en
<n
MSc Daniel G.
Camacho
Caminos en
<n
Camino
cerrado, simple
y cerrado
simple
Traza
Ejemplo
g : [0, π]→<2
g(t) = (r cos 2t , r sin 2t)
La curva que representa el camino f(t) = (r cos t , r sin t)
es una circunferencia recorrida en sentido antihorario que
empieza en (r , 0).
La misma curva representa el camino
g(t) = (r cos 2t , r sin 2t).
Caminos en
<n
MSc Daniel G.
Camacho
Caminos en
<n
Camino
cerrado, simple
y cerrado
simple
Traza
Ejemplo
g : [0, π]→<2
g(t) = (r cos 2t , r sin 2t)
La curva que representa el camino f(t) = (r cos t , r sin t)
es una circunferencia recorrida en sentido antihorario que
empieza en (r , 0).
La misma curva representa el camino
g(t) = (r cos 2t , r sin 2t).
Caminos en
<n
MSc Daniel G.
Camacho
Caminos en
<n
Camino
cerrado, simple
y cerrado
simple
Traza
Un camino no es sólo el conjunto de sus imágenes.
Un camino está caracterizado por:
Su imagen, la curva que lo representa.
Por el sentido en que es recorrida la curva.
Por la velocidad con que se recorre la curva.
Caminos en
<n
MSc Daniel G.
Camacho
Caminos en
<n
Camino
cerrado, simple
y cerrado
simple
Traza
Un camino no es sólo el conjunto de sus imágenes.
Un camino está caracterizado por:
Su imagen, la curva que lo representa.
Por el sentido en que es recorrida la curva.
Por la velocidad con que se recorre la curva.
Caminos en
<n
MSc Daniel G.
Camacho
Caminos en
<n
Camino
cerrado, simple
y cerrado
simple
Traza
Un camino no es sólo el conjunto de sus imágenes.
Un camino está caracterizado por:
Su imagen, la curva que lo representa.
Por el sentido en que es recorrida la curva.
Por la velocidad con que se recorre la curva.
	Caminos en n
	Camino cerrado, simple y cerrado simple
	Traza