Clase_BIELA_MANIVELA (1)

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ESTUDIO DE MECANISMO 
BIELA-MANIVELA BAJO ENFOQUE 
DE CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS 
Ricardo Rodríguez Torres 
Contacto: ricardo.g.rodriguez.t@gmail.com
Coordenadas Polares 
• Se utilizan para describir el movimiento curvilíneo de un punto o
partícula.
• La posición de una partícula se describe por su distancia a un
punto fijo y su desplazamiento angular relativo a una recta fija
Coordenadas Polares 
Luego, la posición del punto P, será:
Ԧ𝑟𝑃/𝑂 = Ԧ𝑟𝑃/𝑂 . 𝑒 𝑟
Donde 𝑒 𝑟, depende de 𝜃, quien a su vez depende del tiempo.
Entonces para calcular la velocidad tenemos:
𝑉𝑃 =
ሶԦ𝑟𝑃/𝑂 = ሶ𝑟𝑒 𝑟 + 𝑟
ሶԦ𝑒𝑟
Hay que tener en cuenta que las direcciones de 𝑒 𝑟 y 𝑒 𝜃 no son
necesariamente fijas, por tanto habrá que considerar sus variaciones al
derivar el vector posición para obtener la velocidad.
Coordenadas Polares 
Derivando 𝑒 𝑟:
ሶ𝑒 𝑟 =
𝑑𝑒𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑𝑒𝑟
𝑑𝜃
∙
𝑑𝜃
𝑑𝑡
Donde: 
𝑑 Ԧ𝑒𝑟
𝑑𝜃
= lim
∆𝜃→0
Ԧ𝑒𝑟 𝜃 + ∆𝜃 − Ԧ𝑒𝑟(𝜃)
∆𝜃
Cuando ∆𝜃 → 0, la distancia 𝛿 Ԧ𝑒𝑟 = Ԧ𝑒𝑟 𝜃 + ∆𝜃 − Ԧ𝑒𝑟 𝜃 , tiende a la
longitud del arco a lo largo de una circunferencia de radio igual a uno
donde ∆𝑠 = 1∆𝜃 y el ángulo 𝛼 tiende a 90° (ver figura 7), por tanto el vector
Ԧ𝑒𝑟 𝜃 + ∆𝜃 − Ԧ𝑒𝑟(𝜃) tiene por módulo ∆𝜃 y como vector dirección a 𝑒 𝜃
Coordenadas Polares 
Entonces:
ሶ𝑒 𝑟 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
∙ lim
∆𝜃→0
∆𝜃 ∙ Ԧ𝑒𝜃
∆𝜃
= ሶ𝜃 Ԧ𝑒𝜃
De manera análoga podemos hallar la derivada de Ԧ𝑒𝜃 respecto al tiempo ( ሶ𝑒𝜃):
ሶ𝑒 𝜃 =
𝑑𝑒𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑𝑒𝜃
𝑑𝜃
∙
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑑 Ԧ𝑒𝜃
𝑑𝜃
= lim
∆𝜃→0
Ԧ𝑒𝜃 𝜃 + ∆𝜃 − Ԧ𝑒𝜃(𝜃)
∆𝜃
Esta vez en el límite cuando ∆𝜃 → 0 , tenemos que la distancia 𝛿 Ԧ𝑒𝜃 =
Ԧ𝑒𝜃 𝜃 + ∆𝜃 − Ԧ𝑒𝜃 𝜃 , también tiende a la longitud del arco de una circunferencia
unitaria donde ∆𝑠 = 1∆𝜃 y nuevamente el ángulo 𝛼 tiende a 90°, por tanto
conserva el módulo igual a ∆𝜃, pero en esta oportunidad la dirección es la del
vector Ԧ𝑒𝑟, pero en sentido contrario. Por tanto:
ሶ𝑒 𝜃 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
∙ lim
∆𝜃→0
−∆𝜃 ∙ Ԧ𝑒𝑟
∆𝜃
= − ሶ𝜃 Ԧ𝑒𝜃
Con esto ya podemos definir la velocidad del punto P:
𝑉𝑃 = ሶ𝑟𝑒 𝑟 + 𝑟
ሶԦ𝑒𝑟
𝑽𝑷 = ሶ𝒓𝒆 𝒓 + 𝒓 ሶ𝜽𝒆𝜽
Podemos expresar esta velocidad en función de sus componentes radial y
transversal:
𝑉𝑃 = 𝑉𝑟𝑒 𝑟 + 𝑉𝜃 Ԧ𝑒𝜃
Para calcular la aceleración del punto P habrá que derivar la expresión anterior.
Ԧ𝑎𝑃 = ሷ𝑟 Ԧ𝑒𝑟 + ሶ𝑟
ሶԦ𝑒𝑟 + ሶ𝑟 ሶ𝜃 Ԧ𝑒𝜃 + 𝑟( ሷ𝜃 Ԧ𝑒𝜃 + ሶ𝜃
ሶԦ𝑒𝜃)
Ԧ𝑎𝑝 = ሷ𝑟 Ԧ𝑒𝑟 + ሶ𝑟 ሶ𝜃 Ԧ𝑒𝜃 + ሶ𝑟 ሶ𝜃 Ԧ𝑒𝜃 + 𝑟 ሷ𝜃 Ԧ𝑒𝜃 + 𝑟 ሶ𝜃 − ሶ𝜃 Ԧ𝑒𝑟
𝒂𝒑 = ሷ𝒓 − 𝒓 ሶ𝜽
𝟐 𝒆𝒓 + (𝟐 ሶ𝒓 ሶ𝜽 + 𝒓 ሷ𝜽)𝒆𝜽
Análisis del mecanismo biela – manivela 
bajo el enfoque de la cinemática de 
partículas 
Para el análisis de este mecanismo se asumirán como datos de partida:
• la longitud (𝑟𝑂𝐴)
• velocidad angular ( ሶθOA) de la manivela
• la separación entre el origen de la manivela y de la biela (L), asumiendo que
ambas partes se encuentran a un mismo nivel.
Primera posición: cuando 𝜽 = 𝟎°
velocidad del pin A respecto del punto O:
𝑉𝐴 = ሶ𝑟𝑂𝐴 Ԧ𝑒𝑟 + 𝑟𝑂𝐴 ሶ𝜃𝑂𝐴 Ԧ𝑒𝜃
𝐕𝐀 = 𝐫𝐎𝐀 ሶ𝛉𝐎𝐀𝐞𝛉
Ahora determinamos la aceleración en el punto A respecto al punto O:
𝑎𝐴 = ሷ𝑟𝑂𝐴 − 𝑟𝑂𝐴 ሶ𝜃𝑂𝐴
2
𝑒𝑟 + 2 ሶ𝑟𝑂𝐴 ሶ𝜃𝑂𝐴 + 𝑟𝑂𝐴 ሷ𝜃𝑂𝐴 Ԧ𝑒𝜃
ሶ𝑟𝑂𝐴 = 0, ሷ𝑟𝑂𝐴 = 0, ሷ𝜃𝑂𝐴 = 0
𝒂𝑨 = − 𝒓𝑶𝑨 ሶ𝜽𝑶𝑨
𝟐
𝒆𝒓
Velocidades: 
𝑉𝐴 = ሶ𝑟𝐵𝐴 Ԧ𝑒𝑟 + 𝑟𝐵𝐴 ሶ𝜑 Ԧ𝑒𝜃
𝑉𝑟 = ሶ𝑟𝐵𝐴 = 0
ሶ𝒓𝑩𝑨 = 𝟎 ……. (Velocidad relativa)
𝑉𝜃 = 𝑟𝐵𝐴 ሶ𝜑 = 𝑉𝐴
ሶ𝝋 =
𝑽𝑨
𝒓𝑩𝑨
…… (Velocidad angular de la biela)
Aceleraciones: 
𝑎𝐴 = ሷ𝑟𝐵𝐴 − 𝑟𝐵𝐴 ሶ𝜑
2 𝑒𝑟 + 2 ሶ𝑟𝐵𝐴 ሶ𝜑 + 𝑟𝐵𝐴 ሷ𝜑 Ԧ𝑒𝜃
𝑎𝑟 = ሷ𝑟𝐵𝐴 − 𝑟𝐵𝐴 ሶ𝜑
2 = 𝑎𝐴
ሷ𝑟𝐵𝐴 = 𝑎𝐴 + 𝑟𝐵𝐴 ሶ𝜑
2 …………… (Aceleración relativa)
𝑎𝜃 = 2 ሶ𝑟𝐵𝐴 ሶ𝜑 + 𝑟𝐵𝐴 ሷ𝜑 = 0
𝑎𝑐𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠 = 2 ሶ𝑟𝐵𝐴 ሶ𝜑 = 0
ሷ𝜑 =
𝑎𝜃 − 𝑎𝑐𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠
𝑟𝐵𝐴
ሷ𝜑 = 0………………………… (Aceleración angular)
𝜽 𝒓𝑩𝑨
0 𝐿 + 𝑟𝑂𝐴
0-90 (𝐿 + 𝑟𝑂𝐴 cos 𝜃)
2+(𝑟𝑂𝐴 sin 𝜃)
2
90 𝐿2 + 𝑟𝑂𝐴
2
90-180 (𝐿 − 𝑟𝑂𝐴 cos(180 − 𝜃))
2+(𝑟𝑂𝐴 sin(180 −𝜃))
2
180 𝐿 − 𝑟𝑂𝐴
180-270 𝐿 − 𝑟𝑂𝐴 cos(𝜃 − 180)
2 + 𝑟𝑂𝐴 sin 𝜃 − 180
2
270 𝐿2 + 𝑟𝑂𝐴
2
270-360 (𝐿 + 𝑟𝑂𝐴 cos(360 − 𝜃))
2+(𝑟𝑂𝐴 sin(360 − 𝜃))
2
𝜽 𝝋
0 0
0-90 tan−1
𝑟𝑂𝐴 sin 𝜃
𝐿 + 𝑟𝑂𝐴 cos 𝜃
90 tan−1(
𝑟𝑂𝐴
𝐿
)
90-180 tan−1
𝑟𝑂𝐴 sin 180 − 𝜃
𝐿 − 𝑟𝑂𝐴 cos 180 − 𝜃
180 0
180-270 tan−1
𝑟𝑂𝐴 sin 𝜃 − 180
𝐿 − 𝑟𝑂𝐴 cos 𝜃 − 180
270 tan−1(
𝑟𝑂𝐴
𝐿
)
270-360 tan−1
𝑟𝑂𝐴 sin(360 − 𝜃)
𝐿 + 𝑟𝑂𝐴 cos(360 − 𝜃)
𝜽 ሶ𝒓𝑩𝑨
0 0
0-90 −𝑉𝐴 sin(𝜃 − 𝜑)
90 −𝑉𝐴 cos(𝜑)
90-180 −𝑉𝐴 sin(𝜃 − 𝜑)
180 0
180-270 𝑉𝐴 cos(𝜃 + 𝜑 − 270)
270 𝑉𝐴 cos(𝜑)
270-360 𝑉𝐴 sin(360 − 𝜃 − 𝜑)
𝜽 ሶ𝛗
0 𝑉𝐴
𝑟𝐵𝐴
0-90 𝑉𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜃−𝜑)
𝑟𝐵𝐴
90 𝑉𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜑)
𝑟𝐵𝐴
90-180 𝑉𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜃−𝜑)
𝑟𝐵𝐴
180
−
𝑉𝐴
𝑟𝐵𝐴
180-270 𝑉𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜃+𝜑−270)
𝑟𝐵𝐴
270 𝑉𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜑)
𝑟𝐵𝐴
270-360 𝑉𝐴 𝑐𝑜𝑠(360−𝜃−𝜑)
𝑟𝐵𝐴
𝜽 ሷ𝝋
0 0
0-90 𝑎𝐴 sin(𝜃−𝜑)−𝑎𝑐𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠
𝑟𝐵𝐴
90 𝑎𝐴 cos(𝜑)−𝑎𝑐𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠
𝑟𝐵𝐴
90-180 𝑎𝐴 sin(𝜃−𝜑)−𝑎𝑐𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠
𝑟𝐵𝐴
180 0
180-270 −𝑎𝐴 cos(𝜃+𝜑−270)−𝑎𝑐𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠
𝑟𝐵𝐴
270 −𝑎𝐴 cos(𝜑)−𝑎𝑐𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠
𝑟𝐵𝐴
270-360 −𝑎𝐴 sin(360−𝜃−𝜑)−𝑎𝑐𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠
𝑟𝐵𝐴
Simulación del mecanismo biela 
manivela en Working Model 2D