Pruebas de independencia o de asociación

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Pruebas de independencia o de asociación.
Prueba de Ji-cuadrada (2)
 De acuerdo con las leyes de probabilidad, si dos variables ocurren independientemente una de otra la probabilidad de observar dos valores simultáneamente es igual al producto de sus probabilidades:
Leyes de probabilidades
P(A o B) = P(A) + P(B); 
P(A y B) = P(A) x P(B), cuando A y B son independientes.
Si consideramos a las probabilidades a posteriori calculadas a partir de frecuencias como estimadores de las verdaderas probabilidades, entonces la frecuencia relativa (A y B) debe corresponder a P(A y B), cuando A y B son independientes:
F(A y B) = P(A y B);
Si no se cumple con esas dos condiciones ( independencia y probabilidad a posteriori) entonces se puede supone que A y B no son independientes:
Si F(A y B) =/= P(A y B), A y B no ocurren independientemente y por lo tanto hay ASOCIACIÓN.
Ejemplo:
De acuerdo con la Gaceta Salud Digna (abril-junio, 2018) las frecuencias de tipo sanguíneos en México son como sigue:
Sistema ABO
	Fenotipo
	Frecuencia
	A
	0.2744
	B
	0.0893
	AB
	0.0181
	O
	0.6182
Sistema Rh
	Fenotipo
	Frecuencia
	Rh +
	0.9558
	Rh -
	0.0442
Si los alelos de cada gen segregan independientemente y las frecuencias observadas representan su probabilidad, entonces la probabilidad de observar una persona con tipo sanguíneo ORh- sería entonces P(O, Rh-) = 0.6282 x 0.0442 = 0.027766.
En la misma fuente bibliográfica se muestra que la frecuencia observada del tipo sanguíneo ORh- es de: 2.56% o 0.0256, una diferencia de un poco mas de 2 milésimas.
En la misma fuente la frecuencia observada del tipo sanguíneo ABRh- es de 0.001. La frecuencia esperada en caso de independencia será de 0.081 x 0.0442 = 0.0035, con una diferencia de 2 milésimas, también.
Para establecer si la diferencia es tan pequeña como para demostrar independencia se requiere de una prueba estadística que nos permita descartar o no la independencia.
Se puede recurrir a la distribución de Ji-cuadrada.
Esta distribución surge de variables en unidades cuadradas: si z sigue una distribución normal, entonces la distribución de z2 es una Ji-cuadrada.
Esta distribución permite modelar la probabilidad de que un valor observado corresponda o no con un valor esperado:
Z = (x – ) / s
 2 = (x – )2 / 2
Esta variable es la comparación de la diferencia con el parámetro central elevada al cuadrado (x – )2 con su valor esperado (2 ). Si la diferencia observada es mucho mayor que el valor esperado se concluye que las variables no son independientes. 
Por lo tanto si F(A y B) > P(A y B) entonces A y B no son independientes.