Forma Estándar 2

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Investigación de Operaciones I. 
Ramirez Ramirez Jesus Guadalupe. 
FORMA ESTANDAR DE UN MODELO MATEMÁTICO. 
 
Consiste en convertir todas las desigualdades de la forma <, >, en IGUALDADES (=). 
 
Agregando para ello, 2 Variables de Equilibrio denominadas: 
 
Variables de Holgura : (+Sj) que se agrega de forma POSITIVA a todas las Restricciones de la Forma (<=) 
 
X1 + 2X2 <= 10 EN SU FORMA ESTANDAR, SERÍA X1 + 2X2 + S1 = 10 
 3X2 <= 36 EN SU FORMA ESTANDAR, SERÍA 3X2 + S2 = 36 
 
Tome en cuenta que este tipo de Variables DE HOLGURA, deben de condicionarse en la Función Objetivo 
con: 
a) un Valor CERO (0) para problemas de Minimizar ó Maximizar. 
 
Variables de Excedencia: (-Ej) que se agrega de forma NEGATIVA a todas las Restricciones de la Forma (>=) 
 
3X1 + X2 >= 100 EN SU FORMA ESTANDAR, SERÍA 3X1 + X2 - E1 = 100 
 X1 >= 15 EN SU FORMA ESTANDAR, SERÍA X1 - E2 = 15 
 
Tome en cuenta que este tipo de Variables DE EXCEDENCIA, deben de condicionarse en la Función Objetivo 
con: 
a) un Valor CERO (0) para problemas de Minimizar ó Maximizar. 
 
Y un Tipo de Variable FICTICIA, denominada 
 
Variable Artificial: (+Aj) que se agrega de forma POSITIVA a todas las Restricciones de la Forma (>=) y (=), de 
tal forma que ayude a la estructura en el modelo que forme una Diagonal Principal con valores 1, de forma 
positiva. 
 
3X1 + X2 >= 100 EN SU FORMA ESTANDAR, SERÍA 3X1 + X2 - E1 + A1 = 100 
 X1 = 15 EN SU FORMA ESTANDAR, SERÍA X1 + A2 = 15 
 
Tome en cuenta que este tipo de Variables Artificiales, deben de condicionarse en la Función Objetivo con: 
 
b) un Valor MUY POSITIVO para problemas de Minimizar. 
 
c) un Valor MUY NEGATIVO para problemas de Maximizar. 
 
A continuación de presentan una serie de Modelos Matemáticos, con su Forma Estándar a la derecha, 
analice, como en cada uno de ellos, dependiendo de la forma de su desigualdad, se agregan de forma 
POSITIVA Y NEGATIVA, lo que se denominan VARIABLES DE HOLGURA, VARIABLES DE EXCEDENCIA y 
VARIABLES ARTIFICIALES. 
 
Así como se penalizan o condicionan sus valores o coeficientes en la Función Objetivo. 
 
 
 
 
 
Investigación de Operaciones I. 
Ramirez Ramirez Jesus Guadalupe. 
Problema 1. 
 
Max Z = 3X1 + 2X2 
 
SUJETO A: 
 X1 ≤ 10 
 X2 ≤ 10 
 X1 + X2 ≤ 16 
 X1, X2 ≥ 0 
 
 
Problema 2. 
 
 
Max Z = 8X1 + 12X2 + 10X3 
 
SUJETO A: 
 2X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 60 
 9X1 + 4X2 + 16X3 ≤ 242 
 5X1 + 4X2 + 6X3 ≤ 125 
 X1, X2, X3 ≥ 0 
 
 
 
Problema 3. 
 
Max Z = 3X1 + 5X2 + 2X3 
 
SUJETO A: 
 -2X2 + X3 ≥ 2 
 X1 + 4X2 + 2X3 = 5 
 X1, X2, X3 ≥ 0 
 
 
 
Problema 4. 
 
Min Z = 3X1 + 5X2 
 
SUJETO A: 
 X1 ≤ 4 
 2X2 ≤ 12 
 3X1 + 2X2 ≥ 5 
 X1, X2 ≥ 0 
 
 Forma estándar. 
 
Max Z = 3X1 + 2X2 + 0S1 + OS2 + 0S3 
 
SUJETO A: 
 X1 + S1 ≤ 10 
 X2 +S2 ≤ 10 
 X1 + X2 +S3 ≤ 16 
 X1, X2 , S1 , S2 , S3 ≥ 0 
 Forma estándar. 
 
Max Z = 8X1 + 12X2 + 10X3 + 0S1 + OS2 + 0S3 
 
SUJETO A: 
 2X1 + 4X2 + 2X3 +S1 ≤ 60 
 9X1 + 4X2 + 16X3 + S2 ≤ 242 
 5X1 + 4X2 + 6X3 +S3 ≤ 125 
 X1, X2, X3 , S1 , S2 , S3 ≥ 0 
 
 Forma estándar. 
 
Max Z = 3X1 + 5X2 + 2X3 - 30 A1 –30A2 –0E1 
 
SUJETO A: 
 -2X2 + X3 + A1 – E1 ≥ 2 
 X1 + 4X2 + 2X3 + A2 = 5 
 X1, X2, X3 , S1 , S2 ≥ 0 
 
 Forma estándar. 
 
Min Z = 3X1 + 5X2 + 0S1 + 30 A1 + 30A2 – 0E1 
 
SUJETO A: 
 X1 + S1 ≤ 4 
 2X2 + A1 ≤ 12 
 3X1 + 2X2 + A2 – E1 ≥ 5 
 X1, X2, X3 , S1 , E1 ≥ 0 
 
DEBEN SER: 
= 
DEBEN SER: 
= 
DEBEN SER: 
= 
DEBEN SER: 
= 
 
 
Investigación de Operaciones I. 
Ramirez Ramirez Jesus Guadalupe. 
Problema 5. 
 
Max Z = 9X1 + 3X2 
 
SUJETO A: 
 14X1 + 10X2 ≥ 280 
 -8X1 + 16X2 ≤ 64 
 X1, X2 ≥ 0 
 
 
Problema 6. 
 
Min Z = 5X1 + 10X2 
 
SUJETO A: 
 -10X1 + 6X2 ≥ 60 
 8X1 + 15X2 ≤ 120 
 X1, X2 ≥ 0 
 
 
 
 
 
 Sj – Variables de Holgura – Forma POSITIVA 
 
 Ej – Variables de Excedencia – Forma NEGATIVA 
 
 Aj – Variables Artificiales – Forma POSITIVA 
 Forma estándar. 
 
Max Z =9X1 + 3X2 + 0S1 – 90 A1 – 0E1 
 
SUJETO A: 
 14X1 + 10X2 + A1 –E1 = 280 
 -8X1 + 16X2 +S1 = 64 
 X1, X2, S1 , E1 ≥ 0 
 
 
 Forma estándar. 
 
Min Z = 5X1 + 10X2 + 100 A1 – 0E1 + 0S1 
 
SUJETO A: 
 -10X1 + 6X2 + A1 –E1 = 60 
 -8X1 + 15X2 + S1 =120 
 X1, X2, S1 , E1 ≥ 0