Sistemas de Datos Muestreados Tarea 11

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CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
JORGE ANTONIO JIMENEZ BERNAL
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO
F.E.S. CUAUTITLAN CAMPO 4
Carrera: Ingeniería en Telecomunicaciones, Sistemas y Electrónica
Materia: Sistemas de Datos Muestreados
Docente: Ing. Omar Tequipaneca Escobar
Grupo: 1759
Semestre 2017-1
Fecha de entrega: 23/11/2016
Resumen. -Anteriormente nos ocupábamos de analizar un sistema respecto a la relación entre su salida respecto a la entrada , sin embargo es importante el análisis de elementos que conforman un sistema , mismos que pueden o no afectar en su comportamiento final, en esta ocasión se definirán los conceptos de controlabilidad y observabilidad , la primera se ocupa del problema de poder dirigir el sistema de un estado inicial ya dado a otro elegido arbitrariamente, mientras que la observabilidad , es la tarea de con solo analizar la salida y el estado , determinar cuáles son los elementos del sistema en cuestión.
Palabras Clave: Rango de una Matriz, Matlab, Ubicación de Polos, Controlabilidad de estado, Controlabilidad a la Salida, Observabilidad, Matrices.
DEFINICION DE CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
	La controlabilidad se ocupa del problema de poder dirigir un sistema de un estado inicial dado, a un estado arbitrario (el que nosotros queramos). Un sistema es controlable si puede mediante un vector de control no acotado, transferir dio sistema de cualquier estado inicial a cualquier otro estado, en un numero finito de periodos de muestreo. (por tanto, el concepto de controlabilidad trata de la existencia de un vector de control que puede causar que el estado del sistema llegue a algún estado arbitrario).
	La observabilidad se ocupa del problema de determinar el estado de un sistema dinámico a partir de observaciones de los vectores y de control en un numero finito de periodos de muestreo. Un sistema es observable si, con el sistema en estado x (0), se puede determinar el estado a partir de las observaciones de los vectores de salida y de control a lo largo de un numero finito de periodos de muestreo.
PRUEBA DE CONTROLABILIDAD DE ESTADO
		Se dice que un sistema de control es de “estado completamente controlable”, si es posible transferir el sistema desde un estado inicial arbitrario a cualquier otro estado deseado en un intervalo de tiempo finito.
Si se tiene un sistema dado por:
La variación del estado solo depende de las matrices A y B, así que, expandiendo el estado hasta n, tenemos que:
La expresión anterior se puede escribir en la forma:
Si conocemos el estado final  y el estado inicial  la ecuación se puede reescribir como:
El vector de estados  tiene una dimensión de , de esta forma implica que se deben generar ecuaciones simultaneas, y para ello la matriz  debe ser igual a , osea debe tener rango completo.
PRUEBA DE CONTROLABILIDAD A LA SALIDA
Se dice que un sistema de control es de “Salida completamente controlable”, si es posible transferir la salida del sistema desde un valor inicial arbitrario a cualquier otro valor deseado en un intervalo de tiempo finito. 
Para eso tomamos la salida y la expandimos hasta m, miremos que aqui usaremos el valor del estado  para poder involucrar la entrada  con la salida , recordemos que .
Podemos relacionar asi la salida del sistema
 
El vector de salida  tiene una dimensión de , de esta forma implica que se deben generar ecuaciones simultaneas, y para ello la matriz  debe ser igual a , osea debe tener rango completo.
Así mismo, se puede demostrar que si el sistema tiene la matriz de paso , puede representarse de la forma
 
PRUEBA DE OBSERVABILIDAD
	El concepto de observabilidad, se relaciona con la posibilidad de obtener el estado de un sistema a partir de la medición o el conocimiento de las entradas y de las salidas del mismo.
Partiendo de la representación de estados discretos
Se dice que el sistema es complemente observable si cualquier estado inicial puede determinarse a partir de la observación de  en  períodos de muestreo como máximo.
Para eso se asume que 
Si variamos k desde cero hasta n:
De forma matricial las ecuaciones anteriores son representadas por:
 
El vector de salida tiene n elementos, por lo tanto, se deben generar n ecuaciones simultáneas, esta condición solo es posible si:
Una condición suficiente y necesaria para la observabilidad completa del estado es que no se presente cancelación de ceros y polos en la función de transferencia de pulso.
RELACION DE CONTROLABILIDAD, OBSERVABILIDAD Y FUNCION DE TRANSFERENCIA
	Para obtener la controlabilidad y observabilidad se debe primero empezar a desarrollar las ecuaciones de estado, y a dar valores de k, ya que necesitamos condiciones iniciales, una vez hecho eso podemos determinar la controlabilidad y posteriormente la observabilidad . La controlabilidad se relacionan con la función de transferencia debido a que los coeficientes usados en ella representan los polos de la FT.
CONCLUSIONES
	Según lo investigado, la mayor parte de los sistemas físicos con completamente controlables, sin embargo, matemáticamente quizá no tengan esta propiedad. Por lo tanto, es necesario saber la condición bajo la cual un sistema es controlable o no. Mientras que el concepto de observabilidad es útil para resolver el problema de la reconstrucción de variables de estado no medibles, o bien hacer una estimación de los elementos que conforman el sistema.
REFERENCIAS
Ogata, K. (1996). Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Pearson Educación.