Tarea2 - Modelación, ecuaciones de diferencia y simulaciones

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INSTITUCIÓN: TECNOLÓGICO DE LA LAGUNA 
 
CARRERA: MECATRÓNICA 
 
MATERIA: CONTROL DIGITAL 
 
PROFESOR: DR. VÍCTOR SAMUEL DE LEÓN GÓMEZ 
 
ALUMNO: RODRÍGUEZ GUERRA EDUARDO ANTONIO 
 
MATRICULA: 19131252 
 
TAREA 2: MODELACION Y ECU. DE DIFERENCIA 
 
FECHA DE ENTREGA: 03 DE NOVIEMBRE 2023 
 
 
 
 
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Para resolver el siguiente inciso decidí emplear de simulink a fin de modificar 
diversos detalles de la simulación además es con el que me sentía más cómodo. 
Las herramientas que use fueron 4 fuentes diferentes para simular distintos tipos 
de entrada, escalón, rampa las más usadas y sinusoidal y diente de sierra, otras 
fuentes vistas dentro del mundo de la electrónica. 
También use switch para seleccionar el tipo de entrada al que 
sometería a mi sistema, un retenedor de orden 0, básicamente nos 
ayuda a muestrear nuestra entrada tal y como aparece en el 
problema inicial. 
 
También use scope para ver las diferentes respuestas, también bloques de 
ganancia, de función de transferencia y de función de transferencia discreta y por 
último un delay, quedando así. 
 
 
 
 
 
 
 
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Cabe destacar que las variables encontradas dentro de algunos bloques las tengo que declarar desde la ventana de 
comandos de Matlab. Y en el caso de esta simulación realice la redundancia de ingresar a e como variable, entonces 
también la debo declarar en la ventana de comandos. Por ultimo la T que se encuentra en la función de transferencia 
discreta y en el bloque de ganancia 1, está ahí para brindarle estabilidad a la simulación, ya que, a diferentes valores, 
tendía a fallar, dando ganancias infinitas. Este fue un consejo que me brindó el Dr. Samuel y funcionó de maravilla. 
 
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Para las primeras simulaciones decidí someter mi sistema a una señal escalón, típica de 
cuando enciendes un circuito con un interruptor. 
Para T=0.5 R=10k C=0.01F 
 
Vemos que el sistema se comporta super mega lento, con una respuesta transistoria que 
demora hasta 500 segundos, algo que en la practica no es de todo bueno. Pero eso si 
presenta un error estacionario muy pequeño casi nulo. 
 
Como la grafica esta hecha con 500 unidades, tuve que realizar zoom para apreciar las 
respuestas que nos arrojaba la función de tranferencia discreta (Z) y el sumador que es 
la respuesta en el dominio de (KT). 
 
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Para T=1 R=10k C=0.01F 
Decidí incrementar el valor de tiempo de muestreo a fin de ver que ocurría 
 
La respuesta transitoria no sufrió cambio alguno, ni tampoco el error en estado 
estacionario, pero lo que, si note, es que la respuestas en el dominio de Z y KT se veían 
menos emparejadas con la función de transferencia. 
 
Presentaba una resolución menor. 
 
 
 
 
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Para T=0.1 R=100 C=0.1F 
Si modifico el tiempo de muestreo en determinados rangos puedo modificar la resolución 
de la respuesta. Ahora que ocurre cuando vario RC o simplemente R. 
 
Lo primero que note fue que la respuesta transitoria se hizo muchísimo mas rápida, 
pasando de 500 segundos a solo 6 segundos, aun que el costo de lograr esto fue tener 
un error estacionario más elevado. 
 
Y las repuesta en el dominio de Z y KT se comportaron iguales, toda la simulación 
permaneciendo en el mismo error estacionario por lo que este sistema sigue siendo 
estable. 
 
 
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Por el momento puedo concluir que variando el valor de las variables RC puedo modificar 
sorprendentemente el tiempo que demora la respuesta transitoria. 
Por ejemplo, varie C para que, a pesar del cambio realizado en R, la relación fuera igual 
a la primera simulación, dando las siguientes repuestas. 
Para T= 0.1 seg R= 100 ohm C= 1 F 
 
 
Donde la respuesta transitoria demora 500 segundos, pero el error en estado 
estacionario vuelve a ser minúsculo y el sistema sigue siendo estable. 
 
 
 
 
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Para T= 10 seg R= 100 ohm C= 1 F 
Para un tiempo exageradamente alto 
 
Vemos que la respuesta transitoria no sufre cambio alguno, pero el error en estado 
estacionario es diferente para el sistema en el dominio de la S que para los dominios de 
Z y KT, algo que podría llegar a afectar la estabilidad del sistema. 
 
 
 
 
 
 
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Para T= 0.01 seg R= 220 ohm C= 0.001 F 
En esta última simulación busque reducir el tiempo que demoraba la respuesta transitoria 
y minimizar lo mejor posible el error en estado estacionario. 
 
La verdad el resultado me gusto, la respuesta transitoria duro poco mas de un segundo 
y el error no fue mayor a 10%. 
 
La repuesta en el dominio Z y KT fueron congruentes. 
Entonces para las otras entradas usare estos mismos valores para ver que sucede. 
 
 
 
 
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Para T= 0.01 seg R= 220 ohm C= 0.001 F RAMPA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es interesante ver que la respuesta en el dominio de S permanece estable, y jamás 
supera a la señal de entrada, las salidas del dominio discreto parecen que serán 
inestables pues comienzan siendo menores y conforme pasa el tiempo la respuesta 
incrementa mas que la entrada misma, tanto para la señal verde y azul. 
 
Ya que el tiempo es muy pequeño podemos ver que las respuestas son casi lineales. 
 
 
 
 
 
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Para T= 0.01 seg R= 220 ohm C= 0.001 F SINUSOIDAL 
 
Ante una entrada sinusoidal, vemos que el sistema con los mejores valores es estable, 
y presenta un error pequeño pero constante. 
 
Y la resolución es la misma. 
 
 
 
 
 
 
 
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Para T= 0.01 seg R= 220 ohm C= 0.001 F DIENTE SIERRA 
 
La verdad en ninguna otra materia había analizado el comportamiento de un sistema 
sometido a una entrada diente de sierra, la curvatura presente en la señal proveniente 
del dominio s me parece interesante, pero sorprendentemente la respuesta es constante. 
Por lo que este sistema si es estable. 
 
 
 
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Las otras respuestas son constantes con el comportamiento del dominio s, y al igual 
son estables, pero ese error si me genera mucha curiosidad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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La ecuación X(KT), esta dada para cualquier tipo de entrada, para responder el inciso 
dos de este problema empleare la simulación, contemplando los dos tipos de entrada 
solicitados. 
Algo que note apenas simulaba el sistema fue que al considerar la salida como la 
posición, era complicado analizar la simulación, ya que al mover un objeto a una fuerza 
constante (entrada escalón), somos conscientes de que la posición siempre 
incrementara por lo que al principio pensé que el sistema era inestable, pero que tal si 
analizamos otra variable de salida que sea constante al igual que la entrada, así es 
analice la velocidad, por ejemplo si a un objeto lo desplazamos a una fuerza constante 
este se moverá a una velocidad constante, claro si el sistema es estable. Y para obtener 
la velocidad con funciones de transferencia, que consideran posición, tuve que agregar 
un bloque derivativo. 
De ahí en fuera, use los mismos componentes que en la simulación anterior. 
 
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 Para T=1.05 M=10 kg B=1 ESCALON 
 
Analizando solo la posición de la masa vemos que a medida quemantengamos la misma 
fuerza la posición del bloque permanecerá constante. 
Ahora bien, analizando las velocidades, tenemos algo más fácil de analizar. 
 
El tiempo que demora la respuesta transitoria me parece demasiado, pero el error en 
estado estacionario, es aceptable. 
 
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La salida de X(KT), se comporta igual que la salida de X(Z), entonces para la siguiente 
simulación reduciré el tiempo de muestreo haber que sucede. 
Para T=1.02 M=10 kg B=1 ESCALON 
 
De comienzo noto que el tiempo en el que la respuesta transitoria ocurre permanece 
igual a la simulación pasada, pero el error en estado estacionario reduce. Las salidas 
X(Z) y X(KT), siguen siendo iguales. 
 
 
 
 
 
 
 
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Para T=1.01 M=10 kg B=1 ESCALON 
 
Mismo cambio mismo resultado, el error cada vez se acerca mas a cero, pero 
considerando las características de este modelo dudo que el error llegue al 0. 
Ahora intentare modificar las variables buscando reducir el tiempo que dura la respuesta 
transitoria. 
Para T=0.5 M=20 kg B=5 ESCALON 
 
De entrada, la respuesta transitoria dura 3 veces menos, ya es un avance jejeje, pero el 
error en estado estacionario quedo demasiado grande . 
 
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Aun que a pesar de ello el sistema sigue siendo estable. 
Para T=0.5 M=20 kg B=10 ESCALON 
 
La respuesta transitoria sigue reduciendo, pero en consecuencia el error creció, ya voy 
viendo por donde tienen que ir los valores para obtener la mejor respuesta posible, antes 
de continuar quiero destacar que el sistema sigue siendo estable a pesar de estos 
cambios. 
 
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Para T=1.01 M=5 kg B=1 ESCALON 
 
Analizando fríamente los valores de las simulaciones pasadas vi que la relación de m y 
b era algo grande entonces busqué reducir dicha relación aunado a este tiempo de 
muestreo, la simulación fue capaz de arrojar un tiempo de respuesta estacionaria de 30 
segundos y un error estacionario mínimo, en verdad se mejoró, aunque no me gusta el 
pico arrojado al inicio por las respuestas en el dominio de Z y de KT. 
Una teoría es que este pico que apareció en la mayoría de las simulaciones de este 
inciso es gracias a que la derivada tiende a corromper en un nivel mínimo las señales. 
Por eso mismo considerando que los valores no causaron este pico, tomare estos últimos 
valores y los someteré a las otras entradas a ver que sucede. 
 
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Para T=1.01 M=5 kg B=1 Rampa 
 
Si con un escalón la posición tendía a incrementar como una rampa, al someter una 
señal tipo rampa, la posición incrementa a una mayor razón, como si fuese una función 
exponencial. 
 
El sistema sigue siendo estable, y presenta un error en estado estacionario algo grande 
la verdad. 
 
 
 
 
 
 
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Para T=1.01 M=5 kg B=1 Sinusoidal 
 
En esta grafica logramos ver como la posición del bloque varia en un rango menor en 
comparación a la fuerza que se le esta aplicando, aun que es importante destacar que 
ese rango de movimiento permanece constante, y pues la verdad si me suena lógico es 
como si dos personas estuvieran jalando el bloque con una cuerda en direcciones 
opuestas. Ahora analizando las velocidades 
 
En las velocidades al momento de que el bloque atraviesa por una fuerza cero indica que 
habrá un cambio de velocidad, ósea que se moverá en otra dirección, por eso produce 
senoides mas pequeñas, y lo chato de la señal se debe a los tiempos de muestreo de 
hecho la señal que está entrando al sistema noes la amarilla si no está: 
 
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Y reduciendo el tiempo de muestreo imagino que se vera mejor la señal, bueno lo 
averiguaremos. 
Reduciendo T a 0.5 segundos 
 
Vemos que la resolución mejora considerablemente, incluso la salida se ve mucho mejor, 
aun que es importante destacar que existe un incremento en el error de las señales de 
la velocidad en el dominio de Z y en el dominio de KT. De ahí en fuera el sistema se sigue 
comportando de manera estable. 
 
 
 
 
 
 
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Para T=1.01 M=5 kg B=1 DIENTE de SIERRA 
 
Me sorprendió ver una respuesta similar a la del sistema pasado, aun que para ser 
honestos el error en este sistema parece ser menor. 
Y siempre permanece estable. Las señales analizadas son la de entrada y la de la función 
de transferencia en el dominio de S. 
 
Aquí analizamos la entrada con el retenedor de orden 0, como realmente la están leyendo 
los bloques, y también la velocidad obtenida por el bloque en el dominio Z. 
 
 
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 La respuesta en cada bloque parece mostrar el mismo error y la misma estabilidad. 
Entonces este sistema responde bien a la entrada tipo diente de sierra y hablando acerca 
de la posición de la masa, esta parece crecer muy rápido. 
 
Entonces imaginando como seria esta fuerza aplicada, es cuando le ayudamos a un 
extraño a empujar su carro, entre todos aplicamos una fuerza que a medida que pase el 
tiempo incrementa por que el carro es más fácil de mover hasta que nos cansamos, y 
volvemos a empezar, por eso que la posición crezca de esta manera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para simular la entrada tipo impulso use el bloque de impulse discrete el cual me permite establecer un impulso de la 
amplitud que desee y en el tiempo que sea requerido, dentro de la tarea se establece que introduzcamos entrada de 
impulso, entonces pues analizando el porqué de esta entrada, recordé como es que un péndulo empieza a oscilar, diría un 
inge de vibraciones, los sistemas empiezan a oscilar por que tu los pones a oscilar, y la manera en que comúnmente se 
excita un péndulo es por medio de un golpe que provoca que la masa empiece a oscilar y las fuerzas que actúan sobre 
ese péndulo ayudan a que la oscilación no sea permanente.
 
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Considerando que estamos dentro del sistema internacional las unidades son las 
siguientes 
T=0.5 seg m=10 kgs l=2 mts g=9.81 m/s^2 B=0.1 
Dando asi los siguientes resultados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con estas características, vemos que el sistema oscila muy poco, ya que se desplaza 
dentro de los milímetros, pero hay un error muy pequeño, me atrevería a insinuar que 
parece hasta nulo. 
Para la siguiente simulación aumentare la amplitud del impulso ya que aquí es de 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Al ser sometido a un impulso de amplitud 10 vemos que las oscilaciones dejan de estar 
dentro de los milímetros y están en el rango de los centímetros. 
Para la siguiente simulación modificare el tiempo de muestreo a uno mayor haber si la 
estabilidad o el error sufren cambio alguno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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La respuesta del sistema se deforma demasiado, valla que se volvió susceptible a 
tiempos altos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Minimizando el tiempo de muestreo a milisegundos note que la respuesta del sistema en 
el dominio Z es muy fiel a la respuesta arrojada en el dominio Z. Claramente ante tiempos 
de muestreo pequeños podríamos considerar el dominio Z como uno lineal, tal y como 
ocurre en Matlab, ya que al emplear de métodos meramente matemáticos, las funciones 
supuestamente lineales, son funciones muestreadas en un tiempo tan pequeño que no 
hay problema al ser considerado lineal y estopuede ser visto si a una gráfica por ejemplo 
defunción sinusoidal le das un zoom bastante grande. 
Ya por último destacar que hay sistemas más difíciles de modelar que otros, pero la clave 
para un modelo correcto se encuentra en tomar en cuenta las características mas 
importantes, pues en otras clases ya había trabajado con la ecuación de un péndulo, 
pero como siempre ignorábamos la fricción el resultado de dichos modelados era 
respuesta que tendían a oscilar permanentemente, o bueno por lo menos en cantidades 
muy grandes de tiempo. 
Y el tiempo de muestreo puede afectar la estabilidad de los sistemas si este impide que 
el análisis de la entrada sea correcto, pero gracias a los últimos avances tecnológicos, 
contamos con equipos, microcontroladores y dispositivos con la capacidad de trabajar 
con tiempos tan pequeños que este problema cada vez aparece menos.