TP Vectores - Recta y plano Ej 20

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UBA XXI Modalidad virtual 
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
20. Encontrá el número real a para que los puntos (a, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3) y (7, 2, 1) sean coplanarios. 
Calculá también la ecuación del plano que los contiene. 
 
 
Solución y comentarios 
Tenemos 4 puntos: A=(a, 0, 1), B=(0, 1, 2), C=(1, 2, 3) y D=(7, 2, 1) 
• Con B, C y D determinamos el plano que los contiene. 
• Para hallar la coordenada, reemplazamos en la ecuación del plano hallado pues A también 
pertenece al plano. 
Buscamos el plano que contiene a B = (0, 1, 2), C = (1, 2, 3) y D = (7, 2, 1) 
El vector normal es 
 n

 = (C – B) x (C – D) = (1, 1,1) x (6, 0, -2) 
 n

= (-2, 8, -6) 
Como n

= (-2, 8, -6) = (-2)(1, -4, -3) podemos usar (1, -4, -3) como el vector normal del plano. 
Tomando X = (x, y, z) y el punto (0, 1, 2) la ecuación del plano es: 
 
Π: [(x, y, z) – (0,1,2)]. (1,-4,-3)= 0 
Operando 
(x - 0, y – 1, z- 2). (1,-4,-3)= 0 
 
Calculando el producto escalar: 
 x + (y – 1)(-4)+ (z-2)(-3)= 0 
 
x – 4y + 3z – 2 = 0 
Entonces, la ecuación del plano que cumple las condiciones del enunciado es: 
Π: x – 4y + 3z – 2 = 0 
Para que el punto A=(a, 0, 1) pertenezca al plano Π debe verificar la ecuación del mismo. 
Reemplazamos x, y z por las coordenadas de A. 
a – 4. 0 + 3. 1 – 2 = 0 
 a + 1 = 0 
 a = -1 
Luego para que el punto A pertenezca al plano debe ser a = -1. 
 
 
Práctico 10 – Parte 3-Rectas y Planos _ Ejercicio 20 1