TP Vectores - Recta y plano Ej 17

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UBA XXI Modalidad virtual 
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
 
17. Encontrá la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta 
1
1zy
2
1x:L
−
−
==
+ con el plano Π = x - 2y + 5z + 1 = 0 y es paralelo a las rectas: 
1
1z
2
1y
1
1x:L1
+
=
−
=
−
− y 
2
4z
1
2y
1
x:L2 −
+
=
−
= 
 
 
Solución y comentarios 
• Necesitamos encontrar el punto por el que pasa el plano: la intersección del plano y la recta L. 
• Su vector normal: lo podemos encontrar mediante el producto vectorial de los vectores dirección 
de L1 y L2. 
 
Para hallar la intersección entre la recta y el plano, tenemos dos caminos: 
• Escribir las ecuaciones de la en forma paramétrica y reemplazar el valor de las coordenadas del 
punto genérico en la ecuación del plano para hallar el parámetro. 
• O bien, escribir las ecuaciones de la recta en forma implícita y formar, junto a la ecuación del 
plano un sistema de ecuaciones cuya solución es el punto de intersección. 
Lo hacemos según la primera opción y luego plantemos la segunda para que la terminen. 
Escribimos las ecuaciones de la recta en forma paramétrica 





+λ−=
λ=
−λ=
1z
y
12x
:L 
Y reemplazamos x, y z en la ecuación del plano Π = x - 2y + 5z + 1 = 0 
01)1(5212 =++λ−+λ−−λ 
Operamos: 
2λ -1 - 2λ - 5λ + 5 + 1= 0 
- 5λ + 5 = 0  λ = 1 
Al reemplazar λ = 1 en la ecuación paramétrica de la recta hallamos el punto de intersección 
0z
1y
111.2x
=
=
=−=
 
Luego el plano y la recta se cortan en (1, 1, 0) 
 
Ahora buscamos el vector normal que es el resultado del producto vectorial de los vecotres directores 
de las rectas: 
1
1z
2
1y
1
1x:L1
+
=
−
=
−
− y 
2
4z
1
2y
1
x:L2 −
+
=
−
= 
1d

= (-1, 2, 1) y 2d

= (1, 1, -2) (explicá por qué) 
Entonces 
n

 = 1d

 x 2d

= (-1, 2, 1) x (1, 1, -2) 
 n

 = (-5,-1,-3) 
 
Práctico 10 – Parte 3-Rectas y Planos _ Ejercicio 17 1 
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Por lo que el plano pasa por (1,1, 0) y tiene como vector normal a n

 = (-5,-1,-3). 
Su ecuación es; 
Π: [(x, y, z) – (1,1,0)]. (-5,-1,-3)= 0 
Operando: 
Π: (x – 1, y – 1, z) . (-5,-1,-3)= 0 
Y calculando el producto escalar: 
 (x – 1)(-5) + (y – 1)(-1)+ z(-3)= 0 
 -5x + 5 – y + 1 – 3z = 0 
 -5x – y– 3z + 6= 0 
La ecuación del plano que cumple las condiciones del enunciado es: 
Π:-5x – y– 3z + 6= 0 
 
 
Otra forma para hallar la intersección del plano con la recta 
 
Para encontrar la intersección de 
1
1zy
2
1x:L
−
−
==
+ con el plano Π = x - 2y + 5z + 1 = 0 
escribimos las ecuaciones de la recta en forma implícita: 
1
1zy
2
1x:L
−
−
==
+
 



1)-2(z = (-1) 1) +(x 
2y = 1 +x 
 
De donde es: 



+
+



→
0 = 1 2z-x -
 0 = 1 -2y+x 
2-2z = 1-x -
2y = 1 +x 
 
 
A este sistema le agregamos la ecuación del plano. Su solución nos dará el punto de 
intersección: 




+
+
 0 = 1 + 5z +2y -x 
0 = 1 2z-x -
 0 = 1 -2y+x 
 
 
Equivalente a: 




=
+
+
 1 - 5z +2y -x 
0 = 1 2z-x -
 0 = 1 -2y+x 
 
Resolviendo el sistema se llega al mismo vector solución: (1,1,0) 
Les dejamos verificarlo. 
 
 
 
Práctico 10 – Parte 3-Rectas y Planos _ Ejercicio 17 2