1 Sistemas de ecuaciones

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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
 
 Recordamos algunos conceptos que ya utilizamos en unidades anteriores y a los que 
haremos referencia en adelante. 
 
 • Una ecuación es una igualdad que contiene uno o más números 
desconocidos llamados incógnitas. 
• Plantear una ecuación significa expresar en símbolos matemáticos una 
condición planteada con palabras, es una traducción del lenguaje 
corriente al lenguaje matemático. 
• Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita (o 
incógnitas) que hace verdadera la igualdad. A estos valores se los 
llama solución de la ecuación. 
• Resolver una ecuación significa hallar todas las soluciones si las tiene o 
demostrar que no las tiene. 
• Cuando un número es solución de una ecuación suele decirse que 
“satisface” o “verifica” la ecuación. 
• Cada paso que damos para resolver una ecuación la transforma en otra 
más simple. Se forman así ecuaciones equivalentes la última de las 
cuales es la solución. 
 
ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS 
 
 Una ecuación lineal con dos incógnitas es toda expresión del tipo ax + by = c 
siendo a, b y c números reales, a y b diferentes de 0 y x e y son las incógnitas. 
 Por ejemplo 
3x – y - 2 = 2y + 4 
es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. 
 Para resolver una ecuación de este tipo, se necesita encontrar un par de valores 
que asignados a las incógnitas satisfacen la ecuación. 
 Sea por ejemplo la ecuación: x – y = 5. 
Una solución de la misma es x = 8 e y = 3 ya que 8 – 3 = 5. 
Pero no es la única. También lo son: 
• x = 100; y = 95 pues 100 – 95 = 5 
• x = 5; y = 0 pues 5 – 0 = 5 
• x = 3; y = -2 pues 3 – (-2) = 5 
• x = 0; y = - 5 
 
 
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 A cada una de las soluciones encontradas se la puede escribir como un par 
ordenado de números reales: (100; 95); (-5; -10); (3; -2); (0; -5) donde el primer 
valor es el que se le asigna a “x” y el segundo es el valor de “y” obtenido al 
reemplazar ”x” en la ecuación dada. 
Si la ecuación dada se escribe en forma equivalente y = x – 5; cada par 
ordenado que es solución de la misma tiene la forma (x; y = x - 5), con x e y 
números reales. 
Se observa que hay infinitos pares de números que cumplen la condición de que 
su diferencia es 5. 
 Gráficamente, las soluciones de la 
ecuación x – y = 5 pertenecen a una 
recta. 
Al conjunto de soluciones se lo puede 
expresar mediante: 
S = {(x; y) ∈ ℜ2 / y = x - 5} 
 
Con ℜ2 indicamos el plano real. 
 
 
Para 
recordar 
• Toda ecuación lineal con dos incógnitas admite un número infinito de 
soluciones. 
• Los pares ordenados que representan todas las soluciones de una 
ecuación lineal o de primer grado con dos incógnitas pertenecen a una 
recta. 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS 
 
Sistemas 
de dos 
ecuaciones 
lineales 
con dos 
incógnitas 
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas -también llamado 
sistema lineal 2x2- es un par de ecuaciones consideradas simultáneamente: 




=+
=+
22221
11211
b aa
b aa
yx
yx
 
donde a11; a12; a21; a22; b1 y b2 son números conocidos. Mientras que x e y son 
desconocidos. 
A los números: 
• a11; a12; a21; a22; se los llama coeficientes del sistema 
• b1 y b2 se los llama términos independientes 
• x e y son las incógnitas del sistema. 
 
 Cada una de las ecuaciones que forma el sistema es una ecuación de primer 
grado con dos incógnitas. 
 
(0; -5) 
(3; -2) 
(5; 0) 
x - y = 5 
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 Con la expresión “sistema de ecuaciones” se indica que deben cumplirse 
simultáneamente las condiciones que cada una de las ecuaciones plantea. 
 
 Por ejemplo: 



=−
=+
8yx
14yx
 
es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. 
Este sistema puede pensarse como una interpretación del siguiente enunciado: 
“La suma de dos números reales es 14 y su diferencia es 8” 
 La primera ecuación x + y = 14 tiene infinitas soluciones. Por ejemplo, (6; 8); 
(0; 14); (11; 3); (-2; 16) son algunas de ellas. 
La segunda ecuación x – y = 8 tiene infinitas soluciones. Por ejemplo: (10; 2); 
(-5; 13); (11; 3); (100; 92) son algunas de ellas. 
Pero sólo un par de estos números satisface las dos ecuaciones. (11; 3) ya que 
verifica que su suma es 14 y su diferencia es 8. 
 
Resolución 
de sistemas 
de 
ecuaciones 
lineales 
Para resolver un sistema de ecuaciones hay que realizar en ellas ciertas 
transformaciones que las simplifiquen y que mantengan sus soluciones. Será 
válida toda transformación que permita pasar de un sistema a otro equivalente. 
Dos sistemas de ecuaciones se dicen equivalentes cuando tienen las mismas 
soluciones. 
 
Por ejemplo: 



=
=+



=−
=+
 8 y-x
282y2x
 y 
8yx
14yx
 
son equivalentes pues ambos tienen como única solución x = 11; y = 3. 
• Al reemplazar en el primer sistema es: 
11+ 3 = 14 y 11 – 3 = 8 
• Al reemplazar en el segundo sistema es: 
2.11 + 2.3 = 28 y 11 – 3 = 8 
 
También son equivalentes los sistemas: 
 
 3y -x 
 173y -5x 
 y
7yx2
5yx



=
=



=−
=+
 
pues ambos tienen como única solución x = 4; y = 1. 
• Al reemplazar en el primer sistema es: 
4 + 1 = 5 y 2. 4 –1 = 8 – 1 = 7 
• Al reemplazar en el segundo sistema es: 
5. 4 – 3.1 = 20 - 3 = 17 y 4 – 1 = 3 
 
 
 
 
 
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Resolución 
algebraica 
de un 
sistema de 
ecuaciones 
Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar todas sus soluciones o 
demostrar que no tiene solución. 
Hay distintas maneras de resolver un sistema de ecuaciones en forma 
algebraica. 
Recordamos aquí: 
• El método de sustitución 
• El método de reducción o eliminación de Gauss. 
 
 Método de sustitución 
Consiste en: 
1. Elegir una de las dos incógnitas. 
2. Aislar las incógnitas seleccionada en una de las ecuaciones. 
3. Reemplazar el valor de la incógnita seleccionada en la ecuación restante, 
con lo que se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita. 
4. Resolver la ecuación resultante con el fin de hallar el valor de la 
incógnita. 
5. Reemplazar el valor encontrado en la expresión hallada en el paso 2 
para obtener la otra incógnita. 
6. Verificar la solución obtenida en ambas ecuaciones. 
 
 
 Ejemplo 1 
Resolver 



−=−
−=+
1yx3
12y2x
 
 Solución 
 x = –12 – 2y Elegida “x” se la despeja en la primera ecuación 
 3 (-12 –2y) – y = -1 Se reemplaza el valor de la incógnita en la segunda ecuación. 
 - 36 –6y –y = -1 -36 –7y = -1 
 -7y = -1 + 36 
 -7y = 35 
 y = 35 : -7 
 y = -5 
Se resuelve la ecuación resultante con 
el fin de hallar “y” 
 x = -12 - 2(-5) 
 
 
Se reemplaza el valor de y hallado en 
x = -12 –2y 
 x = -12 +10 x = -2 
Operando 
 (-2) + 2(-5) = -2 –10 = -12 
 3(-2) – (-5) = -6 + 5 = -1 
 
Verificamos que los valores hallados 
satisfacen ambas ecuaciones. 
 Luego es S = {(-2; -5)} 
 
Damos la solución del sistema. 
 
 
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 Método de eliminación o método de Gauss 
 
Dado un sistema lineal



=+
=+
22221
11211
b aa
b aa
yx
yx
 
se trata de transformarlo en otro equivalente de la forma: 



=
=+
nn2
11211
b ya 
b yaxa
 
aplicando sucesivamente alguna de las siguientes operaciones: 
 
 
 • Intercambiar las ecuaciones 
• Cambiar el orden de las incógnitas en las dos ecuaciones. 
• Multiplicar ambos miembros de una ecuación por un número distinto de 
cero. 
• Sumar y restar miembro a miembro dos ecuaciones y reemplazar una de 
ellas por la suma o diferencia. 
 
 
Ejemplo 2 
Resolver 



=+
=−
1y3x2
5yx2
 
 Solución 
 



=+
=−
1y3x2
5yx2
 
 
Al observar el sistema se ve que el 
coeficiente de x en las dos ecuaciones 
es el mismo. 
 
 



−=−−
=−
15y3y
5yx2 
 
Se restan miembro a miembro las 
ecuaciones para eliminar la “x” en la 
segunda. 
 
 
 



−=
=−



−=
=−



=−
=−
1y 
5yx2 
)4(:4y 
5yx2 
4y4 
5yx2 
 
Operando resultan los sistemas 
equivalentes. 
 
 2x – (-1) = 5 
 
El valor de y se reemplaza en la 
primera ecuación para hallar x. 
 
 2x + 1 = 5 
 2x = 5 – 1 
 2x = 4 
 x = 2 
 
 
Se obtiene el valor de x. 
 2.2 –(-1) = 4 + 1 = 5 
 2.2 + 3(-1) = 4 – 3 = 1 
 
 
Verificamos si los valores hallados 
satisfacen ambas ecuaciones. 
 
 Luego la solución es S = {(2; -1)} 
 
 
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 Ejemplo 3 
Resolver 



=+
=−
1 yx3
5y3x2
 
 Solución 
 En el sistema dado las incógnitas tienen distintos coeficientes en las dos ecuaciones. Cuando esto sucede conviene observar para cuál de las dos 
incógnitas es más fácil igualar los valores absolutos de sus coeficientes. En este 
caso elegimos la y. 
 



=+
=−
3y3x9
5y3x2
 
Multiplicando la segunda ecuación por 
 resulta el sistema equivalente. 
 
 




=
=−



=
=−



+=+
=−
11
8x
5y3x2
8x11 
5y3x2
35 x9x2
5y3x2
 
En el sistema resultante los términos 
en y tienen sus coeficientes iguales en 
valor absoluto pero de distinto signo. 
 
 
Para eliminar y en la segunda ecuación 
sumamos las dos ecuaciones y 
reemplazamos la segunda, obteniendo 
sistemas equivalentes al dado. 
 
 
 
y
11
13 
y35
11
16 
5y3
11
8.2
=
−
=−
=−
 
En el último sistema se halló el valor 
de x. 
 
Reemplazando en la primera ecuación. 
 
Operando convenientemente hallamos 
el valor de y. 
 
11
8 x 
5 
11
133x2
=
=
−
⋅−
 
El valor de y hallado lo reemplazamos 
en la primera ecuación para hallar x. 
 
 
1 
11
11 
11
13
11
24 
11
13
11
83
5
11
55
11
39
11
16 
11
133
11
82
==−=
−
+⋅
==+=
−
−⋅
 
Se verifica que los valores de x e y 
hallados verifican las dos ecuaciones 
del sistema. 
 Como los valores hallados verifican el sistema concluimos que 











 −=
11
13;
11
8S 
 
 En los ejemplos que planteamos de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, siempre encontramos una solución. 
Pero puede suceder también que el sistema 
• tenga infinitas soluciones. 
• no tenga solución 
 Un sistema que: 
• tiene una única solución se dice compatible determinado 
• tiene infinitas soluciones se dice compatible indeterminado 
• ninguna solución se dice incompatible 
 
 
 
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Resolución 
gráfica de 
un sistema 
de 
ecuaciones 
lineales 
con dos 
incógnitas 
 
Cada una de las ecuaciones que forman un sistema de ecuaciones del tipo 
 
 
 
 
es una ecuación lineal con dos incógnitas. Si se las considera en forma 
independiente, el conjunto de soluciones está representado por una recta en el 
plano. 
Para determinar la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos 
incógnitas puede representarse la gráfica de las dos ecuaciones y determinar si 
existen el punto o los puntos comunes a ambas gráficas. 
 
 Ejemplo 4 
Resolver gráficamente 



=+
−=−
6 y2x 
2y4x3
 
 Solución 
 Para graficar las rectas escribimos el sistema en la forma 
 






+−=
+=



−=
−−−=
3x
2
1y
2
1x
4
3y
 
 Operando
2:)x6(y
4:)x32(y
 
 
 
Para representar cada ecuación basta con elegir dos puntos. 
 
Por ejemplo; 
en la primera ecuación: (0; ½) y (-2/3; 0). 
en la segunda ecuación: (0; 3) y (6; 0) 
 
 Las dos rectas se cortan en el punto 
(2; 2). 
 Verificamos si esta es la solución del 
sistema reemplazando en la primera 
ecuación: 
3.2 –4.2 = 6 – 8 = -2 
vemos que la satisface. 
Reemplazando en la segunda 
2 + 2.2 = 2 + 4 = 6 
también la satisface. 
Concluimos que S = {(2; 2)} 
(verifiquenlo analíticamente) 
 
 
 
 
 



=+
=+
22221
11211
b yaxa
b yaxa
2 
2 x +2y = 6 
3x – 4y = -2 
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 Ejemplo 5 
Resolver gráficamente 



−=+
=−+
y21x2
0 2yx
 
 Solución 
 Escribimos el sistema en la forma: 




−−=
+−=
2
1xy
2xy
 
Y representamos las rectas eligiendo, 
por ejemplo: 
• Para la primera ecuación los 
puntos (0; 2) y (1; 1) 
• Para segunda ecuación los 
puntos (0; -1/2) y (-1/2; 0) 
 
Observamos que las rectas no tienen 
mingún punto en común. Concluimos 
que el sistema es incompatible, es decir 
no tiene solución 
 
 
 
Ejemplo 6 
Resolver gráficamente 



=+−
−=−
06y6x9
2y2x3 
 
 Solución 
 Al aislar y en las dos ecuaciones y resolver las operaciones iindicadas 
resulta 






+=
+=






−
−−
=
−
−−
=
1x
2
3y
1x
2
3y
 
6
6x9y
2
2x3y
 
 
Las dos ecuaciones resultantes son 
iguales, por lo que el sistema tiene 
infinitas soluciones que están todas 
sobre la recta de ecuación 
1x
2
3y += 
 
 Por ejemplo los pares ordenados (0 1) y (2; 4) verifican el sistema. 
En general lo verifica cualquier par ordenado de la forma: 





 + 1x
2
3;x 
Se trata de un sistema indeterminado (verifiquenlo) 
 
x + y – 2 = 0 
2x + 1 = – 2y 
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Sistemas de 
ecuaciones y 
resolución 
de problemas 
 
Para resolver problemas en cuya solución interviene más de una variable, el 
proceso es esencialmente el mismo que para aquellos en los que interviene sólo 
una, solo que aquí la respuesta al problema se alcanza resolviendo un sistema 
de ecuaciones lineales. 
 
 
Ejemplo 7 
 Esteban pagó una cuenta de $300 con billetes de $2 y de $5. En total empleó 90 billetes para hacer el pago. ¿Cuántos billetes de cada valor utilizó? 
 Solución 
 Las variables son la cantidad de billetes de $2 y de $5 que utilizó. 
Designemos con x e y la cantidad de billetes de $2 y de $5 que utilizó. 
Además x e y deben ser números naturales. 
Buscamos la forma de expresar las condiciones que deben cumplir las variables: 
• En total empleó 90 billetes se lo puede escribir como x + y = 90 
• Pagó la cuenta de $300 con billetes de $2 y de $5, como 300 = 2x + 5y 
 
 Resolvemos el sistema por el sistema, por ejemplo por el método de sustitución: 
 Aislando “y” en la primera ecuación es y = 90 – x. 
Reemplazando en la segunda ecuación: 2x + 5(90 –x) = 300 
Operando 2x + 450 – 5x = 300 
Asociando los términos en x: -3x + 450 = 300 
Restando miembro a miembro 450:- 3x = -150 
Dividiendo miembro a miembro por –3: x = 50. 
Reemplazamos en y = 90 – x: y = 90 – 50 
 y = 40. 
 
Finalmente analizamos los resultados obtenidos y damos la respuesta. 
a. Se comprueba que x = 50 e y = 40 satisfacen las ecuaciones del sistema 
pues: 
• Sumados dan 90: 50 + 40 = 90 
• Y cumplen que 2x + 5y = 300 
 2.50 + 5. 40 = 100 + 200 = 300 
b. Además x e y son números naturales. 
 
Concluimos que la solución del sistema es S = {(50; 40)}. 
 
Luego, Esteban utilizó 50 billetes de $2 y 40 billetes de $50. 
(no olviden verificar el resultado) 
 
 Ejemplo 8 
 Gustavo es dueño de un negocio y quiere saber cuánto dinero entró en la 
caja durante el fin de semana. Sabe que cuando el sábado abrió la caja la 
misma estaba vacía y que el domingo al cerrarla había $400. Además 
recuerda que el domingo se hicieron 52$ más que el sábado. 
 
 
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 Solución 
 Las incógnitas del problema son la cantidad de dinero que entró el 
sábado y la cantidad de dinero que entró el domingo. Llamemos s y d a 
las incógnitas que representan esas cantidades. 
Lo que entró en la caja el sábado y lo que entró el domingo lo 
simbolizamos mediante: 
s + d = 400 
Y que el domingo se hicieron $52 más que el sábado, mediante d = s + 
52 
Con estas dos ecuaciones planteamos el sistema: 



+=
=+
52sd
400ds
 
Resolvemos el sistema sustituyendo d en la primera ecuación: s + (s + 
52) = 400. 
De donde es s = 174. 
Reemplazando en la segunda ecuación: d = 174 + 52 
 d = 226. 
Se verifica que la solución del sistema es S = {(174; 226)}. 
Luego el sábado entraron en la caja $174 y el domingo $226 
(no olviden verificar el resultado) 
 
Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas 
 
 Consideremos ahora sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas de la 
forma: 





=++
=++
=++
3333231
2232221
1131211
b zayaxa
b zayaxa
b zayaxa
 
donde a11; a12; a13; a21; a22; a23; a31; a32; a33; b1; b2 y b3 son números 
conocidos, mientras que x e y son desconocidos. 
A los números: 
• a11; a12; a13; a21; a22; a23; a31; a32; a33 se los llama coeficientes 
del sistema. 
• b1; b2 y b3 se los llama términos independientes 
• x , y, z son las incógnitas del sistema. 
 Por ejemplo; 





=+−−
=−+
=++
022
12
4
zyx
zyx
zyx
 
Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas donde: 
• los coeficientes de x son: 1; 1 y -1. 
 
 
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 • los coeficientes de y son: 1; 2 y -2 
• los coeficientes de z son: 1; -1 y 2 
• 4; 1 y 0 los términos independientes. 
 Cada ecuación que constituye el sistema representa un plano. 
Podemos verificar que las soluciones del sistema son: x = 4; y = -1; z = 1, que 
podemos escribir como una terna ordenada: (4; -1; 1) 
 
 Para recordar 
Si los coeficientes a. b y c son tres números reales no simultáneamente nulos la 
gráfica de la ecuación ax + by + cz + d = 0 es un plano en el espacio ℜ3 
 
 Para resolver un sistema lineal 3 x3 podemos usar los mismos procedimientos 
que los utilizados para sistemas 2 x 2. 
Vamos a centrarnos en el método de eliminación de Gauss. Recordemos que al 
usar este método, dado un sistema lineal de la forma 





=++
=++
=++
3333231
2232221
1131211
b zayaxa
b zayaxa
b zayaxa
 
se trata de transformarlo en otro equivalente de la forma: 




=
=+
=++
nn3
mmm
1131211
b za 
bzaya
b zayaxa
32 
aplicando sucesivamente alguna de las siguientes operaciones: 
• Intercambiar las ecuaciones 
• Cambiar el orden de las incógnitas en las dos ecuaciones. 
• Multiplicar ambos miembros de una ecuación por un número distinto de 
cero. 
• Sumar y restar miembro a miembro dos ecuaciones y reemplazar una de 
ellas por la suma o diferencia. 
 
 Resolvemos un ejemplo. 
Ejemplo 9 





=−+
=++
=++
1
2435
123
zyx
zyx
zyx
 
 
Solución 
 Para comenzar, cambiemos el orden de las ecuaciones, dejando en 
primer lugar la que tiene el coeficiente de x igual a 1. 
 





=++
=++
=−+
123
2435
1
zyx
zyx
zyx
 
y llamemos E1, E2 y E3 a la primera, segunda y tercera ecuación 
respectivamente: 
 
 
UBA XXI. Matemática. Ecuaciones lineales. 
 
11 
UBA XXI Modalidad virtual 
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
 





=++
=++
=−+
3
2
1
123
2435
1
Ezyx
Ezyx
Ezyx
 
Entonces para eliminar el término en x de la segunda ecuación multiplicamos la 
primera ecuación por 5, le restamos la segunda y ponemos como segunda 
ecuación el resultado de la operación. 
Lo anotamos 5 E1 – E2 → E2 
 
5 E1 → 5x+ 5y – 5z = 5 
 E2 → 5x+ 3y +4z = 2 
 5 E1 – E2 → 2y – 9 z = 3 
Y reemplazamos la tercera ecuación haciendo: 3 E1 – E3 → E3 
3 E1 → 3x+ 3y – 3z = 3 
 E3 → 3x+ 2y + z =1 
3 E1 – E3 → 1y – 4 z =2 
 Luego: 





=++
=++
=−+
123
2435
1
zyx
zyx
zyx
 





=−
=−
=−+
24
392
1
zy
zy
zyx
 
 
Ahora nos proponemos transformar la tercer ecuación de modo de eliminar el término en y. 
Para ello restamos de la segunda ecuación, la tercera multiplicada por 2: 
E2 → 2y – 9 z = 3 
2E3 → 2y – 8z =4 
 E2 – 2 E3 → z =-1 
 





=++
=++
=−+
123
2435
1
zyx
zyx
zyx
 





=−
=−
=−+
24
392
1
zy
zy
zyx
 
 
 





−=
=−
=−+
1
392
1
z
zy
zyx
 
 
En este último paso, conseguimos un sistema equivalente al original, en forma 
escalonada. Y nos resulta fácil encontrar las soluciones. 
• De la última ecuación es z = -1. 
• Reemplazamos en la segunda y obtenemos y = 6 
• Y luego reemplazamos esos dos valores en la primera para obtener x = - 4 
Luego, la solución del sistema es: 
x = -4; y = 6; z = -1 
que podemos escribir como S= {(-4; 6; -1)} 
(Conviene verificar las soluciones) 
 
 
5 E1 – E2 
 
3 E1 – E3 
 
 
5 E1 – E2 
 
3 E1 – E3 
 
 
(Observar que 
indicamos la 
transformación) 
 
 
 
E2 – 2E3 
 
 
UBA XXI. Matemática. Ecuaciones lineales. 
 
12 
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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
 Un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas puede tener: 
• una única solución. En este caso se dice compatible determinado 
• infinitas soluciones. En este caso se dice compatible indeterminado 
• ninguna solución. En este caso se dice incompatible 
 
 
 Ejemplo 10 Resolvemos el sistema: 
 





=+−
=+−
=+
0152
15762
432
zyx
zyx
zy
 
 
Intercambiemos el orden de las ecuaciones, 
 





=+−
=+
=+−
15762
432
0152
zyx
zy
zyx
 
 
De este modo dejamos como primera ecuación la que tiene el coeficiente de x igual 
a 1, y como segunda ecuación el coeficiente de x igual a cero. 
Y llamamos E1, E2 y E3 a la primera, segunda y tercera ecuación respectivamente: 
 





=+−
=+
=+−
3
2
1
15762
432
0152
Ezyx
Ezy
Ezyx
 
 
Necesitamos eliminar el término en x de la tercera ecuación. 
Transformamos E3 haciendo 2 E1 – E3 → E3 
 





=+
=+
=+−





=+−
=+
=+−
532
432
0152
15762
432
0152
zy
zy
zyx
zyx
zy
zyx
 
 
Para eliminar el término en y de la tercera ecuación, directamente restamos E3 de 
E2: E2 – E3 → E3 
 





=+
=+
=+−





=+−
=+
=+−
532
432
0152
15762
432
0152
zy
zy
zyx
zyx
zy
zyx




−=
=+
=+−
10
432
0152
zy
zyx
 
Al hacerlo llegamos a un absurdo ya que no puedes ser 0 = -1. Para el sistema de 
ecuaciones, significa que el mismo no tiene solución por lo que decimos que es 
incompatible. 
 
 
2 E1 – E3 
2 E1 – E3 
 E2 – E3 
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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 Ejemplo 11 
Resolvemos el sistema 
 





=+
=+
=++
0
02
024
zx
yx
zyx
 
 
Observamos que en este sistema todos los términos independientes son iguales a 
cero. Estos sistemas se denominan homogéneos. 
Para hallar sus soluciones procedemos utilizando el método de eliminación de 
Gauss. Comenzamos por cambiar el orden de las ecuaciones. 





=++
=+
=+
024
02
0
zyx
yx
zx
 
Y llamamos E1, E2 y E3 a la primera, segunda y tercera ecuación respectivamente 
Queremos eliminar el término en x de la segunda y la tercera ecuación. Hacemos: 
• 2E1 - E2 → E2 
• 4E1 – E3 → E3 





=+−
=+−
=+





=++
=+
=+
02
02
0
024
02
0
zy
zy
zx
zyx
yx
zx
 
Y sumamos E2 y E3 para eliminar el término en y de la tercer ecuación: 
E2 – E3 → E3 
 





=+−
=+−
=+





=++
=+
=+
02
02
0
024
02
0
zy
zy
zx
zyx
yx
zx
 
 





=+
=+−
=+
000
02
0
zy
zx
 
Al hacerlo la última ecuación nos quedó igual a cero – ya que es una combinación 
de las dos primeras- . Queda el sistema equivalente: 
 



=+−
=+





=++
=+
=+
02
0
024
02
0
zy
zx
zyx
yx
zx
 
 
De la primera ecuación, tenemos que x = -z 
De la segunda ecuación. y = 2z 
Como z es un número real puede tomar infinitos valores, Por lo que x e y también 
ya que dependen de z. Luego el sistema tiene infinitas soluciones, de la forma: 
S = {(-z; 2z; z); z ∈ℜ} 
De este sistema decimos que es compatible indeterminado. Al darle un valor a z 
encontramos una solución particular del sistema. 
 
2E1 - E2 
4E1 – E3 
2E1 - E2 
4E1 – E3 
E2 – E3 
 
UBA XXI. Matemática. Ecuaciones lineales. 
 
14 
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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 Por ejemplo 
• si z = 2 una soluión particular es (-2; 4; 2) 
• si z = 0 una soluión particular es (0; 0; 0) 
• si z = -1 una soluión particular es (1; -2; -1) 
 
 
 
 
 
Ejemplo 12. 
Resolver el sistema 



=+−
=+−
232
132
zyx
zyx
 
Este sistema tiene 2 ecuaciones y tres incógnitas por lo que podemos 
suponer que es un sistema compatible indeterminado o un sistema 
incompatible. Para que sea determinado deberíamos tener tres ecuaciones 
y ninguna de ellas ser combinación de las demás. 
Para resolverlo procedemos del mismo modo utilizando el método de 
Gauss. 
Reordenamos las ecuaciones: 



=+−
=+−
232
132
zyx
zyx
 



=+−
=+−
132
232
zyx
zyx
 
Y reemplazamos la segunda ecuación por su diferencia con el doble de la 
primera: 2E1 – E2 → E2 



=+−
=+−
232
132
zyx
zyx
 



=+−
=+−
132
232
zyx
zyx
 



=+
=+−
35
232
zy
zyx
 
Como no podemos seguir eliminando términos, de la segunda ecuación 
despejamos y. Resulta: 
y = 3 – 5z 
En la primera despejamos x y reemplazamos y por y = 3 – 5z 
x = 1 + 2y – 3z 
 = 1 + 2(3 – 5z) – 3z 
 = 7 – 13z 
Entonces la solución, queda expresada en función de z. 
x = 7 – 13z; y = 3 – 5z ; z 
Como z es un número real puede tomar infinitos valores, Por lo que x e y 
también ya que dependen de z. Luego el sistema tiene infinitas soluciones, 
de la forma: 
S = {(7-13z; 3-5z; z); z ∈ℜ} 
Podemos hallar una solución particular dándole valores a z. Por ejemplo 
• si z = 0 una soluión particular es (7; 3; 0) 
• si z = 1 una soluión particular es (-6; -2; 1) 
• si z = -1 una soluión particular es (20; 8 -1) 
 
2E1 – E2 
UBA XXI. Matemática. Ecuaciones lineales. 
 
15 
	Método de eliminación o método de Gauss 
	Resolvemos un ejemplo. 
	Ejemplo 9 
	 Para comenzar, cambiemos el orden de las ecuaciones, dejando en primer lugar la que tiene el coeficiente de x igual a 1.
	5 E1 ( 5x+ 5y – 5z = 5
	 E2 ( 5x+ 3y +4z = 2
	3 E1 ( 3x+ 3y – 3z = 3
	 E3 ( 3x+ 2y + z =1
	2E3 ( 2y – 8z =4
	En este último paso, conseguimos un sistema equivalente al original, en forma escalonada. Y nos resulta fácil encontrar las soluciones.