1 Números reales (1)

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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES
1
LOS NÚMEROS REALES1
Números Naturales
Los números que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una colección u
ordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los números naturales, simbolizado por N.
N = {1, 2, 3, 4, ...}
 N es un conjunto infinito.
 El primer elemento de N es el 1.
 Cada número natural tiene un sucesor o siguiente.
 Un número natural y su siguiente se denominan consecutivos.
N0 denota el conjunto de los números naturales al que se le agrega el cero.
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = N {0}
 N0 es un conjunto infinito.
 El primer elemento de N0 es el 0.
Al representar en la recta numérica al conjunto N0:
se observa que
 Entre un número de N0 y su siguiente no hay otro número natural.
 Los conjuntos de números que tienen esta propiedad se llaman discretos.
Números Enteros
Los números naturales, los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los números enteros
que simbolizamos con la letra Z.
Z = N {0} {..., -3, -2, -1} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 , ....}
En la recta numérica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero:
Se observa que cada número negativo es simétrico respecto del cero de un número natural.
Por ejemplo 2 y -2 son simétricos respecto del cero.
Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2.
1 Elizondo, Giuggiolini; Módulo 1, Números y operaciones, UBA XXI, Articulación, 2007
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Conviene recordar que:
El opuesto de un número a lo simbolizamos –a
Si a es un número entero, su opuesto –a es un
número entero.
El opuesto de 0 es 0.
Si a es el opuesto de b, b es el opuesto de a
 Si a = 2 el opuesto de a es –a = - 2
 Si a = -2 el opuesto de a es –a = -(-2) = 2
La expresión –a no significa que el número
sea negativo. Sólo indica el opuesto de a.
-2 es un número entero. Su opuesto –(-2) = 2
es también un número entero
Y también
Z es un conjunto infinito
Cada número entero es el siguiente de otro.
Entre un número entero y el siguiente no hay
otro número entero.
Por poseer esta propiedad se dice que el
conjunto de los enteros es un conjunto
discreto.
 N es un conjunto discreto
 El conjunto de los números naturales es un
subconjunto de los enteros: N Z
 A los números naturales también se los
llama enteros positivos: N = Z+ .
(El símbolosignifica incluido)
Números Racionales
Un sistema más amplio de números lo constituye el de los números racionales (Q)
Los números racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos números enteros, donde el
divisor es distinto de cero (es decir,
q
p
con p y q enteros, q 0).
Cada número entero a puede representarse
como un número racional en la forma
1
a (por
ejemplo,
1
22  ).
Todo número entero es racional:
Z Q
Además N Z Q
Entre dos números racionales siempre hay otro
número racional.
Por ello se dice que los números racionales
forman un conjunto denso.
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 Cualquiera que sea el número entero m  0 las expresiones
bm
amy
b
a

 son equivalentes y
representan el mismo número racional.
20
12;
15
9;
10
6;
5
3 son fracciones equivalentes y representan el mismo número racional.
 De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo número racional existe sólo una
cuyo numerador y denominador son números primos entre sí. Estas fracciones se denominan
irreducibles.
5
3
es una fracción irreducible
 Simplificar una fracción es hallar una fracción irreducible equivalente a ella.
Para comparar fracciones:
 Una fracción positiva es siempre mayor que una negativa. Por ejemplo:
5
-1
3
10 
 Si las fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. Por
ejemplo:
2
-3
2
-1
;
5
1
5
3 
 Si las fracciones tienen distinto denominador, conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador. Por ejemplo para comparar
7
1
y
4
3
podemos
escribirlas en forma equivalente
7
1
4
3entonces
28
4
7
1y
28
21
4
3 
Expresión fraccionaria y decimal de los números racionales
Todo número racional puede expresarse en forma de fracción o en forma decimal.
 Para obtener la expresión decimal de un número racional expresado en forma fraccionaria se divide el
numerador por el denominador.
Al hacerlo puede suceder:
 El cociente es un número decimal exacto porque después de
varios pasos el resto de la división es cero.
Decimos que es una expresión decimal finita.
 Que luego de un número de pasos los restos comiencen
a repetirse y también las cifras del cociente se repiten.
Se trata de expresiones decimales periódicas.
Al número o bloque de números que se repite se lo llama
período.
70,2.0,277777..
18
5
630,.0,636363..
11
7
61,1,66666...
3
5



5,5
4
22;0,4
5
2 
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 Si la expresión decimal es finita, escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales:
 Si la expresión decimal es periódica:
1. Expresión de a = 5̂,0 como una fracción
Si a = 5̂,0 , multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10a = 5̂,5 .
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera), resulta 9a = 5 ; con lo que a =
9
5
2. Expresión de b = 2̂3,0 como fracción
Si b = = 2̂3,0
Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos: 100b = 2̂,32 (1)
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10b = 2̂,3 (2)
Restando (1) y (2) se tiene que 100b – 10 b = 29.
De donde: 90b = 29
Así
90
29b
Operaciones con números racionales
Adición de fracciones
b
ca
b
c
b
a 

m
c
d
m
m
a
b
m
d
c
b
a 


 Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
 Si los numeradores no son iguales, se sustituyen las
fracciones por otras equivalentes que tengan el mismo
denominador.
donde m es el mínimo común múltiplo entre b y d
Ejemplos
1.
3
5
3
41
3
4
3
1 
2.
20
23
20
158
20
15
20
8
4
3
5
2



Los decimales exactos y periódicos pueden expresarse en forma de fracción.
1000
3512
1000
2
100
1
10
53512,3 
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Los números reales
Entre los números conocidos, existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos números
enteros. Son los llamados números irracionales (I)
Los números irracionales (I), junto con los números racionales (Q) forman el conjunto de los números reales
().
= I Q
Además
= I Q
Son números irracionales:
0, 01001000100001...
0,123456789101112...
...718281,2e
...1415926535,3
...4142135623,12



 Estos números no pueden expresarse como
cociente de dos números enteros.
 Los números irracionales tienen un desarrollo
decimal infinito no periódico.
Operaciones en los reales. Propiedades
En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones:
Adición y multiplicación.
 Por adición entendemos que a todo par de números reales a, b se le asigna un número real
llamado la suma de a con b que indicamos a + b.
 Por multiplicación entendemos que a todo par de números reales a, b se le asigna un número real
llamado producto de a con b que indicamos a b.
Multiplicación y división de fracciones
Ejemplos
1.
2.
3
5 es el inverso multiplicativo de
5
3
3.
6
-7
.23
(-1)7
2
-1
3
7 


12
5
3
5
4
1
5
3:
4
1 
10
-3
2
-1
5
3
(-2):
5
3

 Para multiplicar dos fracciones se multiplican los
numeradores entre sí y los denominadores entre sí.
 Para dividir una fracción por otra distinta de cero, se
multiplica la primera por el inverso multiplicativo de la
segunda.
Si c0
db
ca
d
c
b
a


cb
da
c
d
ba
d
c
1
b
a
d
c
:
b
a



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Propiedades de la adición Propiedades de la multiplicación
Cualesquiera sean los números reales a, b y c se
verifica:
 La adición es conmutativa:
a + b = b + a
 La adición es asociativa:
( a + b) + c = a + (b + c)
 a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro para la adición)
 a + (-a) = (-a) + a = 0
(-a es el inverso aditivo de a)
Cualesquiera sean los números reales a, b y c se
verifica:
 La multiplicación es conmutativa:
a b = b a
 La multiplicación es asociativa:
( a b) c = a ( b c)
 a 1 = 1 . a = a
(1 es el elemento neutro para el producto)
 a a-1 = 1 (si a 1)
(a-1 es el inverso multiplicativo de a)
La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, vincula ambas operaciones:
 Cualesquiera sean los números reales a, b y c vale que a . (b + c) = a . b + a . c
Observación
 En el conjunto de los números naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivo
para la adición, ni la de inverso multiplicativo.
 En el conjunto de los números enteros, no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo
Otras propiedades importantes
 El opuesto de la suma es la suma de los opuestos:
- (a + b) = - a + (- b )
 El producto de cualquier número real por (-1) es igual al opuesto del número real:
a (-1) = (-1) a = (-a)
 El producto de un número real por cero es cero:
a 0 = 0 a = 0
 Si a b = 0 entonces a = 0 ó b = 0
 Ley cancelativa:
o de la suma: Si a + c = b + c entonces a = b
o del producto: Si a c = b c y c 0 entonces a = b
Recordamos que:
 Restar dos números reales a y b significa sumar a con el opuesto de b.
a – b = a + (- b )
 Dividir dos números reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativo
de b
a : b = a . b-1
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Orden en 
En  consideramos la relación “menor que”, que denotamos “<” que satisface las siguientes propiedades:
1. Tricotomía. Si a y b son dos números reales, vale una y sólo una de las siguientes
posibilidades:
a < b ó a = b ó a > b
2. Transitividad: a < b y b < c  a < c
3. Monotonía de la suma: a < b  a + c < b + c
4. Monotonía del producto: a < b ; c > 0  a c < bc
También escribiremos:
 a > b para indicar que a es mayor que b.
 a < b < c para indicar a < b y b < c.
 a b para indicar que a es mayor o igual que b.
 a b para indicar que a es menor o igual que b.
es un conjunto ordenado
Otras propiedades de orden.
Sean a, b y c elementos cualesquiera de . Entonces:
1. Si a < 0 entonces –a > 0
2. a < b  -b < -a
3. Si a < b y c < 0 entonces a c > b c
4. a b > 0  a < 0 y b < 0 ó a > 0 y b > 0
5. a b < 0  a < 0 y b > 0 ó a > 0 y b < 0
6. a > b  a – b > 0
Los números reales y la recta real
Consideremos una recta, donde se fija un origen y la unidad de
longitud.
Cada número positivo está representado por un punto situado a
la derecha del origen, y cada número negativo a la izquierda del
mismo.
Para ubicar los números enteros dibujamos consecutivamente
sobre la recta el segmento unidad.
Los números reales se pueden ubicar sobre la recta: a cada punto de la recta le corresponde
un único número real y a cada número real un único punto en la recta.
-3 -2 -1 0 1 2 3
a b sí y solo sí a > b ó a = b
a b sí y solo sí a < b ó a = b
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Para ubicar los números racionales de la forma 0q;
q
1
 dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
partes iguales.
En forma análoga procedemos para los
números racionales de la forma
q
p con
q 0 y menores que la unidad (p < q).
Es suficiente tomar a partir del origen p
segmentos de longitud
q
1 .
Algunos números irracionales, pueden
ubicarse en la recta numérica mediante
construcciones geométricas.
La posibilidad de hacerlo permite ver que
los puntos que han ocupado estaban
vacíos de números racionales. Algunos de
los infinitos huecos que dejan entre sí los
números racionales son ocupados por
ellos.
Otros números irracionales no pueden
ubicarse en la recta mediante
construcciones geométricas.
Por ejemplo: ; e; 3 2 .
Por ejemplo, para q = 5
A partir de 0 dibujamos una semirrecta que forme
un ángulo agudo con el segmento unidad y sobre
ella marcamos 5 segmentos de igual longitud. El
último extremo (E) se une con 1 y se trazan
paralelas por A, B, C y D, dividiendo al segmento
unidad en 5 partes iguales. Cada segmento en que
queda dividido el segmento unidad representa
5
1
del mismo.
Ejemplo: representación de
5
3
5
3
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En general para representar los números irracionales en la recta numérica usamos una aproximación
decimal de los mismos. Por ejemplo:
 3,14 representa una aproximación del número irracional .
 3 2 1, 25 representa una aproximación del número irracional 3 2 .
 4,41 representa una aproximación del número irracional 3 + 2 .
 1 - 3 5 -0,71 representa una aproximación del número irracional 1 - 3 5
Su representación aproximada es:
Conviene recordar
 Cualquier segmento sobre la recta por pequeño que sea contiene infinitos puntos racionales
(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos, también infinitos: los números irracionales
(I).
 Ambos conjuntos: los irracionales (I) junto con los racionales (Q), forman el conjunto de los números
reales  (es decir, tanto los racionales como los irracionales son números reales).
 Los números reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real).
 Esta propiedad de los números reales se conoce como propiedad de completitud de los números
reales.
Otras operaciones en 
Potenciación y radicación de números reales.
Definición
Si a es un número real cualquiera, y n es un entero positivo entonces la potencia enésima de a es:
   
factoresn
n aaaaa 
 an es la potencia enésima de a
 a se denomina base
 n es el exponente
Recordamos que:
 a0 = 1 para a 0
 a1 = a
 Si n es un entero positivo y a 0, entonces
n
n
a
1a 
 En particular:
a
b
b
a
1
b
a 1 



 
Ejemplos:
5
1
5 1 
9
1
3
13
2
2- 
3
5
5
3
1
5
3 1














9
16
3
4
3
4
4
3
2
222











 
exponentean
base
01 - 3 5 3 2  3 + 2
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Propiedades de la potenciación
Si a y b son números reales y además n y m enteros valen las siguientes:
Propiedades
(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos
nmnm aaa.1  Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232  
a
a
a
.2 n-mn
m
 Cociente de potencias de igual base
933
3
3 22-5
2
5

nmnm a)(a3.  Potencia de potencia 15.6255)(-(-5) 6
32 


mmm bab)(a.4  Potencia de un producto   51264)8(4(-2)4(-2 333 
n
nn
b
a
b
a.5 





Potencia del cociente
27
8
3
2
3
2
3
33






0asi
a
b
b
a6.
n
nn





 
25
16
5
4
5
4
4
5
2
222








 
Exponente fraccionario.
La expresión n
1
a , con n entero mayor que 1, recibe el nombre de raíz n-ésima de a
Así: 2
1
a es la raíz cuadrada de a y 3
1
a es la raíz cúbica de a.
La expresión n
1
a se representa también mediante n a .
Recordamos que:
 Si n es par, a debe ser mayor o igual que cero.
 Si n es impar, a puede tomar cualquier valor real, positivo, nulo o negativo.
Definición:
Si a0 es un número real llamamos raíz cuadrada de a y lo simbolizamos a al único número real b 0
tal que b2 = a.
Es decir que:
a = b si y sólo si b 0 y b2 = a
Proposición: Si a es un número real cualquiera |a|a2 n a
Índice de la
raíz
Radicando
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Definición.
 Si m y n son números naturales
Propiedades
Si a es un número real y a > 0 valen las siguientes propiedades:
q
p
n
m
q
p
n
m
aaa.1

 Producto de potencias de igual base
qn
pm
q
p
n
m
aa2. )( 

 Potencia de potencia
n
m
n
m
n
m
ba)b(a.3  Distributividad respecto a la multiplicación.
Ejemplos: Calcular aplicando propiedades
1. 63 1616  Solución:
Usando la notación de exponente fraccionario y propiedades de la
potenciación escribimos:
2. 4
625
216 Solución:
Por propiedad 3 escribimos:
5
4
625
216
625
216
4
4
4 
3. 53 )6( Solución:
Usando la definición de exponente fraccionario y operando:
4. 2)16( Solución:
a. Aplicando la propiedad ||2 aa  , es: 16|-16|)16( 2 
b. También podemos resolverlo así: 16256)16( 2 
3
55
3
1
5
3
1
53
66
6)6(











n mn
1
mn
1
.m
n
m
a)(aaa 
416
16
16
16161616
2
1
6
1
3
1
6
1
3
1
63





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Supresión de raíces en el denominador
Expresiones como:
que contienen raíces en el denominador, pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nueva
expresión no contenga raíces en el denominador. Vemos algunos ejemplos.
Ejemplo 1.
2
1
Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciación
es:
  2
2
2
2
22
21
2
1
2




Ejemplo 2.
5 32
2
Multiplicando numerador y denominador por
5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicando
propiedades de la potenciación es:
5 2
5 2
5 5
5 2
5 25 3
5 2
5 3
2
2
22
2
22
22
22
2
2








En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresión del tipo n ma . Se busca multiplicar
numerador y denominador por otra expresión con el mismo índice, n pa , y tal que el producto de sus
bases am y ap sea una potencia de an.
Ejemplo 3.
51
4

El denominador es en este caso una diferencia entre dos números. Multiplicando numerador y denominador
por la suma de ellos, y operando es:
)51(-
4
)51(4
)5(-1
)51(4
)51()51(
)51(4
51
4
22










Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos números, en donde uno de ellos o ambos es un
irracional cuadrático, se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los términos del
denominador, en el caso de una suma, o por la suma en el caso de una diferencia.
Así el denominador queda expresado en la forma:
(a + b)(a – b) = a2 – b2
36
4
;
5-3
1
;
16
1
;
2
1
3 